《高数A》教学大纲.doc

《高等数学A》教学大纲 课程编号：12050 、12009 课程名称：高等数学A Higher Mathematics A先修课程：初等数学总学时：176学时 （实验学时：0 授课学时：176学时 上机学时：0）一、课程的性质和任务高等数学是工科院校中一门重要的基础理论课对培养高级工程技术人才起着奠基的作用高等数学课所涉及的内容，对学生顺利地完成其它理论课和专业课的学习都是必须的，对学生毕业之后的技术技能和科学研究提供了有力的工具和正确的思想方法本课程的任务是：1.通过本课程的学习使学生获得函数、极限、连续、一元函数微积分；多元函数微分学、积分学；向量代数与空间解析几何；级数；常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本技能为进一步学习后继课程奠定必要的数学基础2.培养学生抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力3.培养学生比较熟练的运算能力，辨证的思维能力，运用所学知识分析和解决实际问题的能力二、课程教学内容的基本要求、重点和难点及学时分配1．函数、极限与连续（14学时）基本要求：理解函数概念，了解函数性质（奇偶性、单调性、有界性和周期性），理解复合函数概念，了解反函数及隐函数概念，掌握基本初等函数的性质及其图形，会建立简单应用问题中的函数关系式；理解数列极限、函数极限及函数左右极限的概念，及极限存在与左右极限之间的关系，掌握极限的性质、四则运算法则及极限存在的两个准则，掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限；理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型，了解初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值、最小值和介值定理）， 并会应用这些性质。

重点与难点：函数概念、极限概念，无穷小，极限四则运算法则，两个重要极限，函数的连续性2．一元函数微分学（28学时）基本要求：理解导数和微分的概念及其几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程；了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量；理解函数的可导性与连续性之间的关系；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法；了解高阶导数概念，会求简单函数的n 阶导数；会求分段函数的一阶、二阶导数；会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数；掌握导数与微分之间的关系，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用；理解并会用罗尔定理、拉格朗日定理及泰勒定理，了解并会用柯西中值定理；掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；理解函数极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法，掌握函数最大值、最小值的求法及简单应用；会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求水平、铅直渐近线，会描绘函数的图形；了解弧微分、曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径；了解方程近似解的二分法和切线法重点与难点：导数和微分的概念及几何应用，初等函数的求导法，洛必达法则，中值定理的应用。

3．一元函数积分学（32学时）基本要求：理解原函数、不定积分和定积分的概念，掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及换元积分法与分部积分法；会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分；理解变上限定积分定义的函数及其求导法则，掌握牛顿——莱布尼茨公式；了解广义积分的概念并会计算广义积分，了解定积分的近似计算法；掌握元素法并会用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、平行截面面积为已知的立体的体积、旋转体的体积、变力作功、引力及压力）及函数的平均值等重点与难点：原函数与不定积分及定积分的概念和性质，基本积分公式，换元积分法及分部积分法，变上限定积分定义的函数及其求导法则，牛顿——莱布尼茨公式，元素法，定积分在几何及物理上的应用4． 向量代数与空间解析几何（14学时）基本要求：理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示法，掌握向量的坐标表示式及向量的运算（线性运算、数量积向量积及混合积），会求单位向量、方向数及方向余弦，会求两向量的夹角及向量在另一向量上的投影；掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交）解决有关问题。

会求点到平面和点到直线的距离理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面上的投影并会求其方程重点与难点：向量的坐标表示式及向量的运算，平面、直线方程及其位置关系，旋转曲面、柱面，空间曲线在坐标面上的投影5．多元函数微分学（16学时）基本要求：理解多元函数的概念，了解二元函数的极限与连续性概念，及有界闭区域上连续函数的性质；理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用；了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏导数；了解空间曲线的切线和法平面及空间曲面的切平面和法线的概念并会求其方程；了解二元函数的二阶泰勒公式；理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题重点与难点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数偏导数的求法，多元函数最大值、最小值的求法，条件极值的求法。

6．元函数积分学（34学时）基本要求：理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握两类曲线积分的计算方法，掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数；了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握高斯公式，了解斯托克斯公式；了解散度、旋度的概念并会计算；会用重积分、线积分、面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）重点与难点：重积分、线积分、面积分的计算，格林公式，高斯公式7． 无穷级数（20学时）基本要求：理解常数项级数收敛、发散及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；掌握几何级数及p级数的收敛性，掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值判别法，掌握交错级数的莱布尼茨定理，了解无穷级数的绝对收敛与条件收敛概念；了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和，了解函数展开成泰勒级数的充分必要条件，掌握等的麦克劳林展开式，会用间接展开法将一些简单函数展开成幂级数，了解幂级数在近似计算中的简单应用；了解傅立叶级数的概念，掌握狄利克雷收敛定理，会将定义在上的函数展开为傅立叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数或余弦级数。

重点与难点：常数项级数敛散性的判定，幂级数和函数的求法，将函数展开成幂级数，将函数展开成傅立叶级数8． 常微分方程（18学时）基本要求：了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念，掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法，会解齐次方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降阶法解方程：；理解线性微分方程解的性质及解的结构定理；掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解高阶常系数齐次线性微分方程；会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解；了解微分方程的幂级数解法，会解欧拉方程，会用微分方程解决一些简单的应用题重点与难点：微分方程的概念，变量可分离微分方程及一阶线性微分方程的解法，可降阶的高阶微分方程的解法，二阶常系数线性微分方程的解法三、能力培养要求1．分析能力：对实际问题能用数学思想去观察、分析，并建立简单的数学模型2．逻辑推理能力：思考问题严谨、全面3．运算能力：对极限、微积分、微分方程及级数等数学问题能够快速准确地计算出来4．自学能力：具有自学或阅读课外参考书的能力5．表达能力：作业要清晰、整洁、严谨。

四、教材高等数学（第四版），同济大学数学教研室主编，高等教育出版社，1996年12月五、考核形式闭卷考试六、有关说明1.本课程要精讲多练，建议增加习题课课时数2.本课程中的“梯度、散度、旋度、环流量”等概念，可视学生所学专业，决定是否讲解3．在讲解过程中，根据所讲内容，适当引进实际应用题，引导学生建立数学模型，并用所学数学知识解决实际问题，加强学生的实际应用能力．七、课程建议与改革摘要改革旧的教学方法在教学过程中，由以教授理论知识为主，逐步转向在教授理论知识的同时，加强数学研究方法的教学，提高学生用数学的方法研究相关专业和实际问题的能力在教学手段上，借助多媒体教学工具进行自引导式教学，培养学生的自学能力及发现问题解决问题的能力，利用数学软件Mathematica、Matlab 和Mathcad来解决数值计算问题，培养学生的动手能力及解决实际问题的能力修订人： 隋梅真 审 核 人：李秀珍批准人： 修订日期：2006.8.《高等数学A》课程简介课程名称：高等数学A课程编号：12050 、12009课程简介：本课程是工科院校中一门重要的基础理论课，主要介绍了一元函数、极限、连续；一元函数微积分；多元函数微分学、积分学；向量代数与空间解析几何；级数；常微分方程等知识。

考核形式：闭卷笔试教材与参考书目：高等数学（第四版），同济大学数学教研室，高等教育出版社，1996年12月；高等数学学习指导 机械工业出版社，2004年9月。