03-08晶体热容的量子理论.ppt

固体物理Solid State Physics,§ 3.8 晶体热容的量子理论,第三章 晶格振动,晶体的热容,固体的定容热容,— 固体的平均内能,固体内能 —— 晶格振动的能量和电子热运动的能量,实验结果 —— 低温下金属的热容,—— 温度不是太低的情况，忽略电子对比热的贡献,—— 电子对比热的贡献,—— 晶格振动对比热的贡献,晶格振动对热容的贡献 —— 经典理论,一个简谐振动平均能量,N个原子，总的平均能量,摩尔固体热容,—— 杜隆－珀替定律,实验表明 —— 在低温时热容量随温度迅速趋于零 !,—— 能量均分定律, 一个频率为j的振动模对热容的贡献,频率为j的振动模由一系列量子能级 组成,—— 子体系,子体系处于量子态 的概率,晶格振动对热容的贡献 —— 量子理论,—— 与晶格振动频率和温度有关,一个振动模对热容贡献,一个振动模的平均能量,零点能,平均热能,高温极限,,一个振动模对热容贡献,—— 忽略不计,,,高温极限,—— 与杜隆－珀替定律相符,,这一结果在量子理论的基础上说明了在较高温度时杜隆－珀替定律成立（CV与经典值kB一致）的原因,（当振子的能量kBT远大于能量的量子 时，量子化的效应就可以忽略）,低温极限,—— 与实验结果相符,,一个振动模对热容贡献,低温极限,从物理意义上看：由于振动能量是量子化的，在 时，振动被“冻结”在基态，很难被热激发，因而对热容的贡献趋向于0。

可知：当T↓时，CV↓↓，且当 时，, 晶体中有3N个振动模，总的能量,晶体总的热容,1、根据以上的分析与讨论可以看出，温度T由0→高温时，CV由0→3NkB，这与试验结果符合，这说明晶格振动的量子理论是成功的结论：,2、由经典理论只能证明CV=3NkB（常数），这只与高温实验结果相符合，而与低温的结果不符合上面我们讨论了频率为 的振子对热容的贡献，晶体中包含3N个简正振动总的热容：,总的能量：,1 爱因斯坦模型,—— N个原子构成的晶体，所有原子以相同的频率0振动,热容,总能量,爱因斯坦温度,—— 选取合适的E值，在较大温度变化的范围内，理论计算的结果和实验结果相当好地符合,—— 大多数固体,—— 爱因斯坦热容函数,金刚石,理论计算和实验结果比较,温度较高时,—— 与杜隆 — 珀替定律相符,晶体热容,,,温度非常低时,T→0时，,晶体热容,——与实验符合,在极低温时，实验测得,爱因斯坦模型在低温时，CV值比T3更快地趋于0，即：温度→0时，CV减小的速度快于实验值，与实验结果有较大差别，如下图所示—— 爱因斯坦模型的缺陷,1）和经典理论相比，爱因斯坦模型（理论）的改进是十分明显的，理论能够反映出在低温下降的基本趋势。

但是在低温时，爱因斯坦理论值下降很陡，与实验不符结论：,a.爱因斯坦把晶体中的各原子看作具有相同的振动频率 的谐振子，显然是一种过于简化的假设b.在爱因斯坦模型中， 是这样选取的：使得比热在较大的温度范围内，理论曲线与实验曲线尽可能的符合，这样的频率一般在红外线范围因此，这样的频率是较高，由于忽略了低频的作用，从而使CV下降得较快2）产生偏离的原因：,主要在于证明了机械谐振子也必须量子化，就如普朗克把辐射谐振子量子化一样，从而使他得到的理论结果与实验基本符合一致，证明了引入声子概念的正确性3） 爱因斯坦模型的意义：,2 德拜模型,—— 1912年德拜提出以连续介质的弹性波来代表格波 将布喇菲晶格看作是各向同性的连续介质,—— 有1个纵波和2个独立的横波,—— 不同q的纵波和横波，构成了晶格的全部振动模,—— 不同的振动模，能量不同,色散关系,频率在 之间振动模式的数目,—— 频率也近似于连续取值,—— 振动频率分布函数，或者振动模的态密度函数,一个振动模的热容,振动频率分布函数,晶体总的热容,—— 振动频率分布函数 和m的计算,一个振动模的热容,三维晶格，态密度 —— V: 晶体体积,—— 波矢q允许的取值在q空间形成了均匀分布的点子,体积元态的数目,—— q是准连续变化的,状态数目,球层,频率在 之间，纵波数目,频率在 之间，格波数目,频率在 之间，横波数目,波矢的数值在 之间的振动方式的数目,,频率分布函数,格波总的数目,频率在 间，格波数目,晶体总的热容,,,德拜温度,晶体总的热容,令,在高温极限下,—— 与杜隆－珀替定律一致,德拜热容函数,,晶体总的热容,,低温极限,—— T3成正比,—— 德拜定律,—— 温度愈低时，德拜模型近似计算结果愈好—— 温度很低时，主要的只有长波格波的激发,,晶体热容,晶体热容,说明：,1、德拜理论对于原子晶体和一部分较简单的离子晶体，在较宽的温度范围内都与实验结果符合得很好，它比经典理论和爱因斯坦理论都进了一步。

图：德拜理论与实验结果比较（实验点是镱的测量值）,2、德拜理论只适用于振动频率较低的晶体（波长较长，可作为连续介质），而不适用于化合物，因为化合物不仅有较低频率的振动，也有较高频率的振动3、在测量出T和对应的CV后，可计算出不同T时的 发现： 与T有关 按照定义， 是一个与温度无关的常数存在矛盾！ 表明德拜理论还存在有缺陷，其主要原因在于德拜理论用连续介质模型来计算频率分布函数还不够精确的缘故。