2022年TI杯全国初中数学竞赛试卷及答案(六).pdf

2022 年 TI 杯全国初中数学竞赛试卷及答案 （六） 一、选择题 共 5 小题，每小题7 分，共 35 分. 以下每道小题 均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是 正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错 填都得 0 分） 1已知非零实数a，b 满足 2 242(3)42ababa，则 ab等于 ） A）1 B）0 C）1 D）2 【答】C 解： 由题设知a3，所以，题设的等式为 2 2(3)0bab， 于是 32ab，从而ab1 2 如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上 的 一 点 ， 且OAa，OBOCOD 1 ， 则a等 于 ）2JnJJMc8QO A） 51 2 B） 51 2 C）1 D）2 【答】 A 解：由于BOC ABC，所以 BOBC ABAC ，即 1 1 a aa ， 所以， 2 10aa 由 0a，解得 15 2 a 第 2 题） 3将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6 的质地均匀的 正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则 使 关 于x，y的 方 程 组 3 22 axby xy ， 只 有 正 数 解 的 概 率 为 ）2JnJJMc8QO A ） 12 1 B） 9 2 C） 18 5 D） 36 13 【答】D 解：当20ab时，方程组无解 当02ba时，方程组的解为 62 , 2 23 . 2 b x ab a y ab 由已知，得 ,0 2 32 ,0 2 26 ba a ba b 即 , 3 , 2 3 ,02 b a ba 或 .3 , 2 3 ,02 b a ba 由a，b的实际意义为 1，2，3，4，5，6，可得 2 3 4 5 6 12 a b ， ， ， ， ， ， 共有 5 210 种情况；或 1 4 5 6 a b ， ， ， ， 共 3 种情况 又掷两次骰子出现的基本事件共6636 种情况，故所求的概 率为 36 13 4如图 1 所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，90B. 动 点P从点 B出发，沿梯形的边由BCDA运动. 设点P运动的路程为x， ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2 所示，则 ABC的面积为 ）2JnJJMc8QO A）10 B）16 C）18 D）32 【答】B 解：根据图像可得BC4，CD5，DA5，进而求得AB8，故 SABC 1 2 8416. 5关于x，y的方程 22 229xxyy的整数解 x，y）的组数为 ） A）2 组 B）3 组 C）4 组 D）无穷多组 【答】 C 解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为 22 (229)0 xyxy 由于该方程有整数根，则判别式0，且是完全平方数 由 222 4(229)7116yyy0， 解得 2 y 116 16.57 7 于是 2 y0 1 4 9 16 116 109 88 53 4 显然，只有 2 16y时，4是完全平方数，符合要求 当4y时，原方程为 2 430 xx，此时 12 1,3xx； 当y4 时，原方程为 2 430 xx，此时 34 1,3xx 所以，原方程的整数解为 第4 题） 图 1 图 2 1 1 1, 4; x y 2 2 3, 4; x y 3 3 1, 4; x y 4 4 3, 4. x y 二、填空题 共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分） 6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行 驶一定路程后可以交换前、后轮胎如果交换前、后轮胎，要使一 辆 自 行 车 的 一 对 新 轮 胎 同 时 报 废 ， 那 么 这 辆 车 将 能 行 驶 km 2JnJJMc8QO 【答】 3750 解： 设每个新轮胎报废时的总磨损量为k, 则安装在前轮的轮 胎每行驶 1 km 磨损量为 5000 k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为 3000 k . 又设 一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km. 分别以一 个轮胎的总磨损量为等量关系列方程, 有 2JnJJMc8QO , 50003000 , 50003000 kxky k kykx k 两式相加，得 ()() 2 50003000 k xyk xy k， 则 2 3750 11 50003000 xy 7已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作 圆，段AB的延长线上取点D，使得BDAC；再以点D为圆心， DA的长为半径作圆，与A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于 点H，则 AH AB 的值为2JnJJMc8QO 解：如图，延长AD与D交于点E，连接AF，EF 由题设知 1 3 ACAD， 1 3 ABAE，在FHA和EFA中， 90EFAFHA，FAHEAF 所以 RtFHARtEFA， AHAF AFAE . 而AFAB，所以 AH AB 1 3 . 8已知 12345 aaaaa，是满足条件 12345 9aaaaa的五个不 同的整数，若b是关于x的方程 12345 2009xaxaxaxaxa的 整 数 根 ， 则b的 值 为 【答】 10 解：由于 12345 2009bababababa，且 12345 aaaaa， ，是五个不同的整数，所有 12345 bababababa，也是五个不同的整数 又由于2009117741，所以 12345 41bababababa 由 12345 9aaaaa，可得10b 9如图，在ABC中，CD是高，CE为ACB的平分线若AC 15，BC20，CD12，则CE的长等于2JnJJMc8QO 第7 题） 【答】 602 7 解：如图，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD 25 故由勾股定理逆定理知ACB为直角三角形，且90ACB 作EFBC，垂足为F设EFx，由 1 45 2 ECFACB，得 CFx，于是BF20 x由于EFAC，所 以 EFBF ACBC ， 即 20 1520 xx ， 解得 60 7 x所以 602 2 7 CEx 1010 个人围成一个圆圈做游戏游戏的 规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己 想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每 个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报 出 来 若 报 出 来 的 数 如 图 所 示 ， 则 报3 的 人 心 里 想 的 数 是2JnJJMc8QO 【答】2 解：设报 3 的人心里想的数是x，则报 5 的人心里想的数应是 8x 于是报 7 的人心里想的数是12(8)4xx，报 9 的人心里想 的数是 16(4)12xx，报 1 的人心里想的数是20(12)8xx， 第9 题） 第 10题） 报 3 的人心里想的数是 4(8)4xx所以 2JnJJMc8QO 4xx， 解得2x 三、解答题 共 4 题，每题 20 分，共 80 分） 11已知抛物线 2 yx与动直线cxty) 12(有公共点),( 11 yx， ),( 22 yx， 且32 22 2 2 1 ttxx. 1）求实数t的取值范围； 2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值 . 解： 由式知 22131 (364)(1) 222 cttt. 由于 231 (1) 22 ct在 2 2 2 t 2 2 2 时是递增的，所以，当 2 2 2 t 时, 2 min 321116 2 (21) 2224 c. 20 分 12已知正整数a满足 3 192191a，且2009a，求满足条件的所 有可能的正整数a的和 解：由 3 192191a可得 3 1921a 6 19232，且 3 11(1)1(1) (1)(1)aaa aaa aa 5 分 由 于11a a是 奇 数 ， 所 以 63 21a等 价 于 6 21a， 又由 于 3 (1) (1)aa a，所以 3 31a等价于31a因此有1921a，于是可得 1921ak 15 分 又02009a，所以0 110k， ， ，因此，满足条件的所有可能的 正整数a的和为 111921210） 10571 20 分 13如图，给定锐角三角形ABC，BCCA，AD，BE是它的两条 高，过点C作ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线， 垂足分别为F，G试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结 论2JnJJMc8QO 解法1：结论是DFEG下面给出证 明 5 分 由于FCDEAB，所以RtFCD Rt EAB于 是可得 CD DFBE AB 同理可得 CE EGAD AB 10 分 又由于 tan ADBE ACB CDCE ，所以有BE CDAD CE，于是可得 DFEG 20 分 解法 2：结论是 DFEG下面给出证明 5 分 连接DE，由于90ADBAEB，所以A，B， D，E四点共圆，故 CEDABC 10 分 又l是O的过点C的切线，所以 ACGABC 15 分 所以，CEDACG，于是DEFG，故DFEG 20 分 14 n个正 整数 12n aaa， ，满足 如下 条件 ： 12 12009 n aaa； 且 12n aaa， ，中任意n1 个不同的数的算术平均数都是正整数求 n的最大值 解：设 12n aaa， ，中去掉 i a后剩下的n1 个数的算术平均数为 正整数 i b，1 2in， ，即 12 () 1 ni i aaaa b n 于是，对于任意的1ijn，都有 1 ji ij aa bb n ， 第13A 题） 第13A 题） 从而 1 () ji naa 5 分 由于 1 1 2008 11 n n aa bb nn 是正整数，故 3 1 2251n 10 分 由于 11221 1 nnnnn aaaaaaa 2 111(1)nnnn， 所以， 2 (1)n2008，于是n 45. 结合 3 1 2251n，所以，n 9 15 分 另一方面，令 123 8 01,8 1 1,821aaa， 8 8 71a， 9 8251 1a，则这 9 个数满足题设要求 综上所述，n的最大值为 9. 20 分 。