2020年八年级数学经典难题(答案解析).pdf

初二数学经典难题 一、解答题（共10 小题，满分100 分） 1 （10 分）已知：如图，P是正方形ABCD 内点， PAD=PDA=15 求证： PBC 是正三角形（初二） 2 （10 分）已知：如图，在四边形ABCD 中， AD=BC ，M、N 分别是 AB、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN 于 E、F 求证： DEN= F 3 （ 10 分）如图，分别以ABC 的边 AC 、BC 为一边，在 ABC 外作正方形ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的中点， 求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半 4 （10 分）设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA= PDA 求证： PAB=PCB 5 （10 分） P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA=a， PB=2a，PC=3a，求正方形的边长 6 （10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后， 改用一根口径为小水管2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t 分求两根水管各自注水的速度 7 （10 分） （2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（ 2， 1） ，且 P（ 1， 2） 为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、 B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得 OBQ 与OAP 面积相等？如果存在， 请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值 8 （10 分） （2008?海南）如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在 线段 BC 上，且 PE=PB （1）求证： PE=PD； PEPD； （2）设 AP=x，PBE 的面积为y 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值 9 （ 10 分） （2010?河南）如图，直线y=k1x+b 与反比例函数（x0）的图象交于A（1，6） ，B（a，3）两点 （1）求 k1、k2的值 （2）直接写出时 x 的取值范围； （3）如图，等腰梯形OBCD 中， BC OD，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点C 作 CEOD 于点 E，CE 和反比例 函数的图象交于点P，当梯形OBCD 的面积为12 时，请判断PC 和 PE 的大小关系，并说明理由 初二数学经典难题 参考答案与试题解析 一、解答题（共10 小题，满分100 分） 1 （10 分）已知：如图，P是正方形ABCD 内点， PAD=PDA=15 求证： PBC 是正三角形（初二） 考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。

专题 ： 证明题 分析：在正方形内做DGC 与ADP 全等，根据全等三角形的性质求出PDG 为等边，三角形，根据SAS 证出 DGC PGC，推出 DC=PC，推出 PB=DC=PC，根据等边三角形的判定求出即可 解答：证明： 正方形ABCD ， AB=CD ， BAD= CDA=90 ， PAD=PDA=15 ， PA=PD， PAB= PDC=75 ， 在正方形内做DGC 与ADP 全等， DP=DG， ADP= GDC=DAP= DCG=15 ， PDG=90 15 15 =60 ， PDG 为等边三角形（有一个角等于60 度的等腰三角形是等边三角形）， DP=DG=PG ， DGC=180 15 15 =150 ， PGC=360 150 60 =150 =DGC， 在 DGC 和 PGC 中 ， DGC PGC， PC=AD=DC ，和 DCG=PCG=15 ， 同理 PB=AB=DC=PC ， PCB=90 15 15 =60 ， PBC 是正三角形 点评：本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是 正确作出辅助线，又是难点，题型较好，但有一定的难度，对学生提出了较高的要求 2 （10 分）已知：如图，在四边形ABCD 中， AD=BC ，M、N 分别是 AB、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交MN 于 E、F 求证： DEN= F 考点 ： 三角形中位线定理。

专题 ： 证明题 分析： 连接 AC ，作 GNAD 交 AC 于 G，连接 MG，根据中位线定理证明MGBC，且 GM=BC，根据 AD=BC 证明 GM=GN ，可得 GNM= GMN ，根据平行线性质可得：GMF= F， GNM= DEN 从而得出 DEN= F 解答：证明：连接AC ，作 GNAD 交 AC 于 G，连接 MG N 是 CD 的中点，且NGAD ， NG=AD ，G 是 AC 的中点， 又 M 是 AB 的中点， MGBC，且 MG=BC AD=BC ， NG=GM ， GNM 为等腰三角形， GNM= GMN ， GMBF， GMF= F， GNAD ， GNM= DEN ， DEN= F 点评：此题主要考查平行线性质，以及三角形中位线定理，关键是证明GNM 为等腰三角形 3 （ 10 分）如图，分别以ABC 的边 AC 、BC 为一边，在 ABC 外作正方形ACDE 和 CBFG，点 P 是 EF 的中点， 求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半 考点 ： 梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质 专题 ： 证明题 分析： 分别过 E，F，C，P 作 AB 的垂线， 垂足依次为R，S，T，Q，则 PQ= （ER+FS） ，易证 RtAER RtCAT， 则 ER=AT，FS=BT ，ER+FS=A T+BT=AB ，即可得证 解答：解：分别过E，F，C，P 作 AB 的垂线，垂足依次为R，S， T，Q，则 ERPQFS， P是 EF 的中点， Q 为 RS 的中点， PQ 为梯形 EFSR 的中位线， PQ= （ ER+FS） ， AE=AC （正方形的边长相等） ， AER= CAT（同角的余角相等） ， R=ATC=90 ， RtAERRtCAT （AAS ） ， 同理 RtBFSRt CBT ， ER=AT ，FS=BT ， ER+FS=AT+BT=AB ， PQ= AB 点评：此题综合考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定以及正方形的性质等知识点，辅助线的作法很关键 4 （10 分）设 P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且PBA= PDA 求证： PAB=PCB 考点 ： 四点共圆；平行四边形的性质。

专题 ： 证明题 分析：根据已知作过P 点平行于 AD 的直线，并选一点E，使 PE=AD=BC ，利用 AD EP，AD BC，进而得出 ABP= ADP= AEP， 得出 AEBP 共圆，即可得出答案 解答：证明：作过P 点平行于AD 的直线，并选一点E，使 PE=AD=BC ， AD EP，AD BC 四边形AEPD 是平行四边形，四边形PEBC 是平行四边形， AEDP，BEPC， ABP= ADP= AEP， AEBP 共圆（一边所对两角相等） BAP= BEP= BCP， PAB= PCB 点评：此题主要考查了四点共圆的性质以及平行四边形的性质，熟练利用四点共圆的性质得出是解题关键 5 （10 分） P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA=a， PB=2a，PC=3a，求正方形的边长 考点 ： 正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质 专题 ： 综合题 分析：把 ABP 顺时针旋转90 得到 BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明PEC 是 直角三角形，从而得到BEC=135 ，过点 C 作 CFBE 于点 F，CEF 是等腰直角三角形，然后再根据勾 股定理求出BC 的长度，即可得到正方形的边长 解答：解：如图所示，把ABP 顺时针旋转90 得到 BEC， APB CEB， BE=PB=2a， PE=2a， 在 PEC 中， PC2=PE2+CE 2=9a2， PEC 是直角三角形， PEC=90 ， BEC=45 +90 =135 ， 过点 C 作 CFBE 于点 F， 则 CEF 是等腰直角三角形， CF=EF=CE=a， 在 RtBFC 中， BC=a， 即正方形的边长为a 点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出 辅助线构造出直角三角形是解题的关键 6 （10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后， 改用一根口径为小水管2 倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t 分求两根水管各自注水的速度 考点 ： 分式方程的应用。

分析：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x，一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管 向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2 倍的大水管注水向容器中注满 水的全过程共用时间t 分可列方程求解 解答：解：设小水管进水速度为x 立方米 /分，则大水管进水速度为4x 立方米 /分由题意得： 解之得： 经检验得：是原方程解 小口径水管速度为立方米 /分，大口径水管速度为立方米 /分 点评：本题考查理解题意的能力，设出速度以时间做为等量关系列方程求解 7 （10 分） （2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（ 2， 1） ，且 P（ 1， 2） 为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是A、 B （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得 OBQ 与OAP 面积相等？如果存在， 请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图 2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值 考点 ： 反比例函数综合题。

专题 ： 压轴题 分析：（ 1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（ 2， 1） ，设出正比例函数和反比例函数的解析式， 运用待定系数法可求它们解析式； （ 2）因为 P（ 1， 2）为双曲线Y=上的一点，所以OBQ、OAP 面积为 1，依据反比例函数的图象 和性质，点Q 在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点； （ 3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点 P（ 1， 2）是定点，所以OP 的 长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值 解答：解： （1）设正比例函数解析式为y=kx ， 将点 M（ 2， 1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x， 同样可得，反比例函数解析式为； （ 2）当点 Q 在直线 OM 上运动时， 设点 Q 的坐标为Q（m，m） ， 于是 SOBQ= |OB BQ|= m m=m 2， 而 SOAP= |（ 1） （ 2）|=1， 所以有，m2=1，解得 m= 2， 所以点 Q 的坐标为Q1（ 2，1）和 Q2（ 2， 1） ； （ 3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC， 而点 P（ 1， 2）是定点，所以OP 的长也是定长， 所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值，（8 分） 因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为Q（n，） ， 由勾股定理可得OQ2=n2+ =（n） 2+4， 所以当（ n） 2=0 即 n =0 时，。