2024年高考数学试题分类汇编：空间向量与立体几何.pdf

空间向量与立体几何一、单选题1.（2024全国）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为相，则圆锥的体积为（）A.2岛 B.36无 C.6岛 D.9岛522.（2024 全国）己知正三棱台ABC-的体积为学，AB=6,A瓦=2,则 与 平 面A8C所成角的正切值为（）A-A2B.1C.2D.33.（2024 全国）设&、，是两个平面,切、是两条直线，且e力=7.下列四个命题:若?/”,则/a 或/月若 m n,贝 _L%_L ,若”/a,且 夕，则加“若与a 和4 所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（）A.B.C.D.4.（2024.北京）已知以边长为4 的正方形为底面的四棱锥,四条侧棱分别为4,4,2行,2万，则该四棱锥的高为（）5.（2024 天津）若，%”为两条不同的直线，a 为一个平面，则下列结论中正确的是（）A.若 ml la,w u a,则 mllnA 62C.2mD.上B.若 /a,a,贝!C.若 mH a,n l a ,则“_LD.若 z a,”_ L c,则加与相交6.（2024.天津）一个五面体ABC-DEF.已知AD庞:C F,且两两之间距离为1.并已知 AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为（)BA V3 R 3A/3 1 06 N 3A/3 16 4 2 2 4 2二、多选题7.（2024 全国）抛物线C：y?=4x的准线为/，尸为C 上的动点，过 P 作。

A:d +（y-4）2=l的一条切线，为切点，过尸作/的垂线，垂足为8,则（）A./与；A相切B.当尸，A,B 三点共线时，|尸C.当|用|=2 时，P A L A BD.满足I尸 川=IP3|的点尸有且仅有2 个三、填空题8.（2024 全国）已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为彳和马，母线长分别为2&-4）和3色-切，则两个圆台的体积之比费=.9.（2024.北京）已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列.第一个圆柱的直径为65mm,第二、三个圆柱的直径为325m m,第三个圆柱的高为230m m,求前两个圆柱的高度分别为.10.（2024.上海）已知点B 在 点 C 正北方向，点在 点 C 的正东方向，存在点A满 足/瓦 116.5则 N B C 4=（精确到 0.1 度）四、解答题11.（2024 全国）如图，四棱锥尸 ABCD 中，2 4,底面 ABCPA=AC=2,8C=1,AB=班.pB(1)若 AD，必，证明：AD平面 5 C；(2)若 AD C,且二面角A-C P-O 的 正 弦 值 为 这，求 AD.712.(2024.全国)如图，平面四边形 A8CD 中，AB=8,CD=3,AD=5拒,NAC=90,2 1ZBAD=3 0 ,点、E,尸满足AE=A。

AF=-A B,将AEF沿 EF对折至！PEF,使得PC=4 6证明：E F P D；求面尸CO与面尸8月所成的二面角的正弦值.13.(2024 全国)如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABC与四边形 4DE尸均为等腰梯形，BC/AD,EF/AD,AD=4,AB=8C=EF=2,ED=s/10,FB=2y/3,M 为 AD的中点.证明：平面CUE；求 点/到 AB厂的距离.14.（2024 全国）如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABC与四边形 ADEF 均为等腰梯形，BC/AD,EF/AD,AO=4,AB=BC=EF=2,ED=A,F B =2 ,M 为 AD的中点.证明：加欣/平面CDE；（2）求二面角尸-欣-石的正弦值.15.（2024 北京）已知四棱锥 P-ABCADI/BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E 是 A上一点，PEJ.AD.若产是P E 中点，证明：防平面PCD.（2）若 4 8，平面尸瓦）,求平面上4B与平面PC 夹角的余弦值.16.（2024 天津）己知四棱柱中，底面A5CD为梯形，A B HCD,平面 ABCD,A D J.A B,其中 A8=A4,=2,AD=Z)C=1.N 是 3 的中点，M 是。

2 的中点.求证R N 平面；(2)求平面C B.M与 平 面 的 夹 角 余 弦 值;求点B到平面C瓦M 的距离.17.(2024上海)如图为正四棱锥尸-A3CD为底面ABCD的中心.(1)若 AP=5,A3 0，求:P O A绕P O旋转一周形成的几何体的体积;若 AP=AD,E 为PB的中点，求 直 线 与 平 面AEC所成角的大小.参考答案:1.B【分析】设圆柱的底面半径为广，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径厂的方程，求出解后可求圆锥的体积.【解析】设圆柱的底面半径为,，则圆锥的母线长为产R，而它们的侧面积相等，所以2 w x 石=q x 即2百=，故 r=3,故圆锥的体积为:兀x 9 x K =377t.故选：B.2.B【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高/?=生叵，做辅助线，结合正三棱台3的结构特征求得4 0=迪，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台3ABC-AIG补成正三棱锥尸一 ABC,A A 与平面4 8 c 所成角即为丛与平面A B C 所成角,根据比例关系可得匕一皿=1 8,进而可求正三棱锥尸-A B C 的高，即可得结果.【解析】解法一：分别取BC,8 c 的中点D Q,则 4）=3后 4=6，可知S=；x 6 x 6 x V =9后 S as1G=1X2XA/3=/3,设正三棱台ABC-A 4 G 的为则 匕 仁.1c,=；（94+6 +以 瓦 Q T）=F，解 得 八 孚,如图，分别过4,2 作底面垂线，垂足为M,N,设=贝!j 惧=y/AM2+M-=Jx2+y ,DN=AD-AM-MN=2 6 x,可得DV +DN=J(2 6 _ x +g ,结合等腰梯形B C C e可得8庚=3+DD；,即2+=倒6一无丁+4,解得x=手，所以4 A 与平面ABC所成角的正切值为tan?A D 瑞二 1；解法二：将正三棱台ABC-4 q Q 补成正三棱锥尸一 ABC,则AA与平面ABC所成角即为E 4与平面ABC所成角,因为PA AB 3则 M-A4G=VP-ABc 2二7Ml AB】_ J可知匕BC-AQG A B C =，则修-A B C=18,设正三棱锥尸 ABC的高为d,则丫入m=g d x；x6x6x=18,解得d=2 j.取底面ABC的中心为0,则尸0 1 底面A B C,且 AO=2A/L所以M 与平面ABC所成角的正切值t a n,O =L故选：B.3.A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断；举反例即可判断；根据线面平行的性质即可判断.【解析】对，当 u a,因为mHn,m u/3,则/月，当”u，因为相心根u a,则访当“既不在a 也不在夕内，因为mH n,m u a,m u。

则 a 且尸，故正确；对，若加_L，则”与a,不一定垂直，故错误；对，过直线”分别作两平面与d 6 分别相交于直线s和直线g因为“/a,过直线”的平面与平面a 的交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知/s,同理可得 f,则s/，因为SO平面4，f u 平面口，则s/平面4，因为s u 平面a,a P=m,则s H，又因为/s,则 z，故正确;对，若 a c =m,与a 和夕所成的角相等,如果/%/7,则加”,故错误；综上只有正确，故选：A.4.D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面尸所JL平面ABCD,可知平面ABCD,利用等体积法求点到面的距离.【解析】如图，底面ABCD为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设PA=PB=AB=4,PC=PD=2插,分别取AB,CD的中点瓦尸，连接PE,PF,EF,则 PEJ.AB，所 _ L A 3,且 P E cE F =E,P E,E F u平面PEF,可知AB2 平面P E F,且 A B u 平面ABCD,所以平面PEF _L平面ABCD,过 尸 作 的 垂 线，垂足为0,即尸O_LF,由平面PM 平面ABCD=F,P O u 平面PEF,所以尸0 1 平面ABCD,由题意可得：PE=2区PF=2,EF=4,则PE?+P产=跖 2，即尸E_LPF,11 PF PF r则一 PEPF=PO EF,可得尸 O=-=6,22EF所以四棱锥的高为由.当相对的棱长相等时，不妨设B 4=P C =4,PB=P D =2正,因为B D =4 s =P B +P D，此时不能形成三角形PAD,与题意不符，这样情况不存在.故选：D.5.C【分析】根据线面平行的性质可判断AB的正误，根据线面垂直的性质可判断CD的正误.【解析】对于A,若u a,则机，平行或异面，故 A错误.对于B,韭mlla,nlla,则相，平行或异面或相交，故 B错误.对于C,mlla,nLa,过加作平面夕，使 得 向a=s,因为根u/5,故机 s,而s u a,故 _L s,故机_L ，故 C正确.对于D,若 m H a j i l a ,则正与“相交或异面，故 D错误.故选：C.6.C【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可.【解析】用一个完全相同的五面体印7-L WN （顶点与五面体4 J C-P E F 对应）与该五面体相嵌，使得D,N；重合，因为A D 鹿 CF,且两两之间距离为L A D =1,BE=2,CF=3,则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为1+3=2+2=3+1=4,v_ lv _ 1 1 一百，一百ABC-DEF=VABC-HIJ=不 5 1 1 X 亏 X 4 =故选：C.7.A B D【分析】A选项，抛物线准线为产-1,根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出尸的坐标，进而得出切线长；C选项，根据|p =2 先算出产的坐标，然后 验 证 如 勉=-1是否成立；D选项，根据抛物线的定义，|/狎=上目，于是问题转化成|网=户刊的P点的存在性问题，此时考察他的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设尸点坐标进行求解.【解析】A选项，抛物线y?=4 x的准线为了=-1,A的圆心(0,4)到 直 线 尸-1的距离显然是1,等于圆的半径，故准线/和 A相切，A选项正确；B选项，P,A,B三点共线时，即 则 尸 的 纵 坐 标=4,由 第=4巧,，得至I J/=4,故尸(4,4),此时切线长|P Q|=P A-户=2 _产=/，B选项正确；C选项，当|尸耳=2时，xp=l,此时巾=4%=4,故P(l,2)或尸(1,-2),当尸(1,2)时，A(0,4)I(l,2),卜 广4=-2=-2,k4-2A B=-=2f不满足左族钻=T；当 P(l,-2)时，A(0,4),B(-l,2),k p A=-=-6,=Z7ZK=6,0 1 u(i)不满足七AB=T；于是不成立，C选项错误；D选项，方法一：利用抛物线定义转化根据抛物线的定义，|尸耳=|尸川，这里F(1,0),于是|朋=|尸到时尸点的存在性问题转化成|咫=|尸同时尸点的存在性问题,4(0,4)，/(1,0),所 中 点(121AF中垂线的斜率为一广kA F4于是AF的中垂线方程为：=空 亘，与抛物线V=4x联立可得/_ 1 6丫 +3 0 =0,8A=162-4 X 30=136 0,即AF的中垂线和抛物线有两个交点,即存在两个尸点，使得=|百，D选项正确.方法二：(设点直接求解)设心”,由尸3_U 可得5（1,。

又 40,4）,又 回=网,根据两点间的距离公式，、匚+（4）2=匕+1,整理得/一16/+30=0,V16 4A=16*2-4X30=1 3 6 0,则关于t 的方程有两个解,h乙=出 心 切 了 一 6 一力=2亚（八一垃，所 以 工；（邑+岳+邓 区）膈=维=同外=叵V乙；（邑+庖;）色八乙2行（1 2）4故答案为：逅.4C 115 C C9.mm,23mm2【分析】根据体积为公比。