第4专题带电粒子在电场和磁场中的运动.doc

1第 4 专题　带电粒子在电场和磁场中的运动知识网络要点归纳一、不计重力的带电粒子在电场中的运动1．带电粒子在电场中加速当电荷量为 q、质量为 m、初速度为 v0 的带电粒子经电压 U 加速后，速度变为 vt，由动能定理得：qU＝ mvt2－ mv02．若 v0＝0，则有 vt＝ ，这个关系式对任意静电场都12 12 2qUm是适用的．对于带电粒子在电场中的加速问题，应突出动能定理的应用．2．带电粒子在匀强电场中的偏转电荷量为 q、质量为 m 的带电粒子由静止开始经电压 U1 加速后，以速度 v1 垂直进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条抛物线(如图 4－1 所示 )．图 4－1qU1＝ mv1212设两平行金属板间的电压为 U2，板间距离为 d，板长为 L．(1)带电粒子进入两板间后粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有：2vx＝v 1， L＝v 1t粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有：vy＝at， y＝ at2，a＝ ＝ ．12 qEm qU2md(2)带电粒子离开极板时侧移距离 y＝ at2＝ ＝12 qU2L22mdv12 U2L24dU1轨迹方程为：y＝ (与 m、q 无关)U2x24dU1偏转角度 φ 的正切值 tan φ＝ ＝ ＝atv1 qU2Lmdv12 U2L2dU1若在偏转极板右侧 D 距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论，即：所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的中心沿中心与射出点的连线射出的．这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离 y′＝ ．以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系．二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子以初速度 v 垂直进入匀强磁场 B 中做匀速圆周运动，其角速度为 ω，轨道半径为 R，运动的周期为 T，则有：qvB＝m ＝mRω 2＝mvω＝mR( )2＝mR(2πf) 2v2R 2πTR＝mvqBT＝ (与 v、R 无关)，f＝ ＝ ．2πmqB 1T qB2πm3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．(1)粒子圆轨迹的圆心的确定①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图 4－2 所示．②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图 4－3 所示．③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径 R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置 R 处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图 4－ 4 所示．图 4－2　　　　图 4－3　　　　　图 4－4(2)粒子圆轨迹的半径的确定3①可直接运用公式 R＝ 来确定．mvqB②画出几何图形，利用半径 R 与题中已知长度的几何关系来确定．在利用几何关系时，要注意一个重要的几何特点，即：粒子速度的偏向角 φ 等于对应轨迹圆弧的圆心角 α，并等于弦切角 θ 的 2 倍，如图 4－5 所示．图 4－5(3)粒子做圆周运动的周期的确定①可直接运用公式 T＝ 来确定．2πmqB②利用周期 T 与题中已知时间 t 的关系来确定．若粒子在时间 t 内通过的圆弧所对应的圆心角为 α，则有：t＝ ·T(或 t＝ ·T)．α360° α2π(4)圆周运动中有关对称的规律①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图 4－6 所示．②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，如图 4－7 所示．图 4－6　　　　　　　　图 4－7(5)带电粒子在有界磁场中运动的极值问题刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．三、带电粒子在复合场中的运动1．高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即：①电场与磁场的复合场；②磁场与重力场的复合场；③电场与重力场的复合场；④电场、磁场与重力场的复合场．2．带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动(如速度选择器) ；当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变化．因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略．3．带电粒子所受三种场力的特征(1)洛伦兹力的大小跟速度方向与磁场方向的夹角有关．当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，f 洛 ＝0；当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，f 洛 ＝qvB ．当洛伦兹力的方向垂直于速度 v 和磁感应强度 B 所决定的平面时，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功．(2)电场力的大小为 qE，方向与电场强度 E 的方向及带电粒子所带电荷的性质有关．电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电4势差有关．(3)重力的大小为 mg，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关．注意：①微观粒子(如电子、质子、离子 )一般都不计重力； ②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；③对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给的物理过程及隐含条件具体分析后作出符合实际的决定．4．带电粒子在复合场中的运动的分析方法(1)当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解．(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．(3)当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解．注意：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，要根据动量守恒定律列方程，再与其他方程联立求解．由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好” 、 “最大” 、 “最高” 、 “至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解．热点、重点、难点一、根据带电粒子的运动轨迹进行分析推理●例 1　如图 4－8 所示，MN 是一正点电荷产生的电场中的一条电场线．一个带负电的粒子( 不计重力)从 a 到 b 穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示．下列结论正确的是 (　　)A．带电粒子从 a 到 b 的过程中动能逐渐减小B．正点电荷一定位于 M 点的左侧C．带电粒子在 a 点时具有的电势能大于在 b 点时具有的电势能D．带电粒子在 a 点的加速度大于在 b 点的加速度二、带电粒子在电场中的加速与偏转●例 2　喷墨打印机的结构简图如图 4－9 所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，其半径约为 1×10－5 m，此微滴经过带电室时被带上负电，带电荷量的多少由计算机按字体笔画的高低位置输入信号加以控制．带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场，带电微滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出字体．无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽流回墨盒．偏转板长 1.6 cm，两板间的距离为 0.50 cm，偏转板的右端距纸 3.2 cm．若墨汁微滴的质量为 1.6×10－10 kg，以 20 m/s 的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是 8.0×103 V，其打到纸上的点距原射入方向的距离是 2.0 mm．求这个墨汁微滴通过带电室所带的电荷量的多少． (不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限于平行板电容器的内部，忽略边缘电场的不均匀性)为了使纸上的字放大10%，请你分析并提出一个可行的方法．5★同类拓展 1　如图 4－10 甲所示，在真空中，有一半径为 R 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场右侧有一对平行金属板 M 和 N，两板间距为 R，板长为 2R，板间的中心线 O1O2 与磁场的圆心 O 在同一直线上．有一电荷量为 q、质量为 m的带正电的粒子以速度 v0 从圆周上的 a 点沿垂直于半径 OO1 并指向圆心 O 的方向进入磁场，当从圆周上的 O1 点水平飞出磁场时，给 M、N 两板加上如图 4－10 乙所示的电压，最后粒子刚好以平行于 N 板的速度从 N 板的边缘飞出．( 不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计)(1)求磁场的磁感应强度 B．(2)求交变电压的周期 T 和电压 U0 的值．(3)当 t＝ 时，该粒子从 M、 N 板右侧沿板的中心线仍以速度 v0 射入 M、N 之间，求粒T2子从磁场中射出的点到 a 点的距离．三、带电粒子在有界磁场中(只受洛伦兹力) 的运动1．带电粒子在磁场中的运动大体包含五种常见情境，即：无边界磁场、单边界磁场、双边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场．带电粒子在磁场中的运动问题综合性较强，解这类问题往往要用到圆周运动的知识、洛伦兹力，还要牵涉到数学中的平面几何、解析几何等知识．因此，解此类试题，除了运用常规的解题思路( 画草图、找“圆心” 、定“半径”等) 之外，更应侧重于运用数学知识进行分析．2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时，其轨迹为不完整的圆周，解决这类问题的关键有以下三点．①确定圆周的圆心．若已知入射点、出射点及入射方向、出射方向，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两直线的交点即为圆周的圆心；若已知入射点、出射点及入射方向，可通过入射点作入射线的垂线，连接入射点和出射点，作此连线的垂直平分线，两垂线的交点即为圆周的圆心．②确定圆的半径．一般在圆上作图，由几何关系求出圆的半径．③求运动时间．找到运动的圆弧所对应的圆心角 θ，由公式 t＝ T 求出运动时间．θ2π3．解析带电粒子穿过圆形区域磁场问题常可用到以下推论：①沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出．②同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若射出方向与射入方向在同一直径上，则轨 迹的弧长最长，偏 转角有最大 值且为 α＝2arcsin ＝2arcsinRr6．RBqmv③在圆形区域边缘的某点向各方向以相同速率射出的某种带电粒子，如果粒子的轨迹半径与区域圆的半径相同，则 穿过磁场后粒子的射出方向均平行 (反之，平行入射的粒子也将汇聚于边缘一点)．●例 3　如图 4－11 甲所示，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为 y 轴正方向，磁场方向垂直于 xy 平面(纸面 )向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样．一带正电荷的粒子从 P(0，h) 点以一定的速度平行于 x 轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为 R0 的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在只加电场，当粒子从 P 点运动到 x＝R 0 平面( 图中虚线所示)时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与 x 轴交于 M 点，不计重力，求：(1)粒子到达 x＝R 0 平面时的速度方向与 x 轴的夹角以及粒子到 x 轴的距离．(2)M 点的横坐标 xM．●例 4　如图 4－12 甲所示，质量为 m、电荷量为 e 的电子从坐标原点 O 处沿 xOy 平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为 v0．现在某一区域内加一方向向外且垂直于。