第5讲 若干特殊矩阵.doc

1§1.6 若干特殊矩阵一、 对称矩阵与反对称矩阵定义 设 A 是 n 阶方阵若 ，则称 A 是T对称矩阵；若 ，则称 A 是反对称矩阵T例 设 A 是任一 n 阶方阵，则 是对称矩阵， 是反对称矩阵例 设 A 是任一方阵，则 A 可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和例 设 A 与 B 是两个 n 阶对称矩阵，I 是 n 阶单位矩阵证明：若 A 与 均可逆，则也是对称矩阵I1)(证明 只需证 ABIIT11)(])[(21111])[( ])[(])[( ABIIAITT11)(( ][ )(II▌AB二、对角矩阵定义 下列主对角线以外的元素全为零的 n 阶方阵 naa  0213称为对角矩阵对角矩阵通常简记为或 naa21 ),(21nadig当 时ka21，kI我们称之为数量矩阵若 k = 1，则数量矩阵即是单位矩阵例 对角矩阵的秩等于其非零主对角元的个数例 对角矩阵的和、差、积也是对角矩阵例 对角矩阵 A = 可逆的充分),,(21nadig必要条件是 全不为零。

当 A 可逆是，na,214),,(1211nadiagA定义 设 A 是分块矩阵A= ,lA 021若子块 全是方阵，则称 A 是准对角矩阵，l,,21简记为tAA21例 设 A 是准对角矩阵 tA215则 A 可逆的充分必要条件是子块 均可逆tA,,21当 A 可逆时， 1121tA三、三角矩阵定义 设 A 与 B 是两个 n 阶方阵  nnnbbbaaa   32132133221411 00,0则称 A 是上三角矩阵 ，B 是 下三角矩阵例 三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角元全不为零小结：1.熟练掌握矩阵的基本运算与性质6加法、数乘、乘法、幂、转置2.熟练掌握初等行变换化阶梯形3.熟练掌握方阵可逆的有关结论可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程4.熟练掌握 Gauss 消元法解的判别、求解例 解矩阵方程的初等变换法：（1）已知已知矩阵方程 AX=B，其中 A 可逆A ，B） （I，A B）  行 变 换初 等 1=（ I，X ）（2）已知已知矩阵方程 XA=B，其中 A 可逆。

XIBA1 等 列 变 换初例 已知矩阵 与矩阵 B 7130 ,18765432BA满足 AX=B，求 X解 （法一）由前例已得，12341A故BAX11234305498（法二） （A，B ）= 1308765421    5410273923160012331223132)(6)()7(4RR 213， 5410932)31(R由此得X ▌54939例 已知结论“若方阵 A 满足 且 A2，则 A 不可逆 ”的下述两种证明，请指出哪I个方法正确对不正确的方法，请举例说明其问题所在：（法一）因为 ，故 2……………….①OIA)(因为 ，故 于是由①得，A= OIA因此 A 不可逆法二）反证：若 A 可逆，则由 得 2，I121即 与已知条件矛盾因此 A 不可逆I例 可逆的上（下）三角矩阵的逆矩阵也是上（下）三角矩阵。

证明 对上三角矩阵的阶数作归纳法：设2n21aA10可逆，则容易得到，12210aaA故结论对 2 阶上三角矩阵成立设结论对 阶上三角矩阵成立1nn：证明结论对 阶上三角矩阵成立设 nnnnaAaaaA0001,1,2,22111   若 可逆，则 均不为零，而,,2也是上三角阵，故 可逆11A设 是 的逆矩阵，根据 ，对 的分块BB，nb'1其中 是 阶方阵因 1n11nnbaAB'1'1'1 00nI由此得 1 ,0 ,0'11nnbaABI因 是 阶可逆上三角矩阵，故由归纳法假设可得： 的逆矩阵 也是上三角矩阵又 可1A逆，故 ，又可得 于是0'1nba0B也是上三角矩阵▌例 设 A= 是 n 阶方阵若下列方阵ija][12， kijkaA][n,21（称为 A 的顺序主子阵 ）均满秩，则 A 可表示成A = LU 其中 L 是主对角元全为 1 的 n 阶下三角矩阵，U是 n 阶可逆上三角矩阵。

上式称为 A 的三角分解对线性方程组 bX若系数矩阵 A 存在三角分解 A = LU，则上述方程组的求解可转化为解下述两个阶梯形方程组 YUL ,对 只需前代、对 只需回代即可分别bLY求解例 某林场计划种植供圣诞节用的小松树这些松树按照高度在市场上以不同的价格出售为此，可把它们根据不同的高度段分成若干类，如下表：13林场管理者需面对两个问题： (1)经营活动（企业生产）的可持续性；(2)在可持续性的前提下，每年获得最大收益讨论：(1) 为满足此条件，要求：① 每次只能采伐部分树木；② 每次采伐后，应及时补种数目相同的树苗；③ 补种后，树林的结构与生长期之前相同令 表示生长期开始时，第 类中),21(nixi树的棵数，称类 售价 高度段1（树苗）无 ),0[1h2 2p),[21333h1n1n),[12nn p14Tnxx21为非采伐向量显然， sxxn21是树林中树木的总量，它由树木的品种及林场面积所确定而 即为保持可持续生产所应维持不变的树林结构令 表示第 类树中在一个生)1,2(nig i长期内上升到第 类中的比值，称 1000100321 nggG  为生长矩阵。

这里 由树木的品种、当121,,ng地气候与土壤条件、以及林木维护等因素所确定因 nnxgxgGx112321)()(15故 表示了经过一个生长期后，在采伐前树林的Gx结构令 表示在一次采伐中，从第 类),21(niyi中砍取的树木棵数，称Tnyy2为采伐向量显然， 1表示在一次采伐中砍取的树木总量令，nR001  16则021 nyyR表示在一次采伐后应补种的树木的结构于是，可持续生产的要求可表示为，xRyGx即 )4()()( II又)5(01 y故由 得)5(,41121332122 )6(nnnxgyxgxgyy 17又，)1,32(0niyi故由 又可得)6()7(121 nxgxg反之，若一个非负元素的列向量 满足 ，则由 和 可确定一个非负元素的列向量 ，并)5(6y且 与 满足要求 据此，可确定一个持续y)4(的林场经营策略▌例 某林场要种植 棵杉树根据市场调查，s这类杉树按高度分为 类，售价分别为（单位：元）6。

250,,150,,506432 ppp已知这种杉树的生长矩阵为，0.1370062.5.7310069.2807.G18由此可得 37.0,2.,5.0,31.,28.0 541 ggg 试确定一种合理的种植与采伐方案，并计算每次采伐所获收益解 取，0),1(/),1/(6543 22xxgsgs 则 为非负列向量易证T),,(621，0543xgxgxg即 满足公式 且 )7(s621于是， 确定一个合理的种植与采伐方案，即 是x x非采伐向量利用 ，由 得)6(,5x 0,,0,/16542321yygs19易证 与 满足要求 ，即 是采Tyy),,(621x)4(y伐向量此时，一次采伐的收益为 ▌spii7.162(2) 可以证明，上例中确定的方案一定获得最大收益一般地，一次采伐只砍取某一类中的全部树木，则可获得最大收益实际上，在安排种植计划时，应使在一个生长周期内，树苗至多上升到该类，然后，再把此类( 最高类) 中的树木全部采伐完第二章 线性方程组§2.1 向量的线性相关性一 向量的定义及运算定义 由 n 个数 构成的 n 元有序数a,21组称为 n 元向量，记为（ ） ，其中 称 ia20为该向量的第 i 个分量。

定义 设 α = (a1, a2, …, as)，β = (b 1, b2, …, bt)若 s=t 且 ai=bi (i=1, 2, …, s)，则称向量 α与 β相等，记为 α=β注：行向量：（ ）n,21列向量： ，也可记为 naTna),(21定义 (1) 设 α =（a 1, a2, …, an） ，β =（b 1, b2, …, bn）是两个 n 元向量，则称下列向量（ a1+b1, a2+b2, …, an+bn）为向量 α与 β的和，记为 α + β；（2）设 α =（a 1, a2, …, an）是 n 元向量，k 是数，称下列向量21（ka 1, ka2, …, kan）为数 k 与向量 α的数量乘积，记为 kα例 设 α =（a 1, a2, …, an）是任一 n 元向量，则0α =（0, 0, …, 0）(-1) α =（-a 1, -a2, …, -an）我们称分量全为零的向量（0, 0, …, 0）为零向量，记为 θ；称向量（-a 1, -a2, …, -an）为向量 α的负向量，记为–α例 在平面 π 上建立直角坐标系 Oxy，设 是aπ 上任一条有向线段。

把 的起点平移到原点 O，a则其终点坐标(a 1, a2)唯一确定这样，有向线段 唯一对应一个 2 元向量(a 1, a2)设 是 π 上另b一条有向线段，按上述方法对应 2 元向量（b 1, b2） 则按平行四边形法则，有向线段 与 的和 + 对应aa22的2 元向量恰为(a 1+b1, a2+b2)性质 设 α、β、γ 是任意三个 n 元向量，k 、l是任意两个数，则有(1) α + β = β + α(2) (α + β ) + γ = α + ( β + γ )(3) α + θ = α（ θ是 n 元零向量）(4) α + (–α) = θ(5) 1α = α(6) (kl)α = k(lα)(7) (k + l)α = (kα + lα)(8) k(α + β) = kα + lβ二 向量的线性相关性三个基本概念定义 设 是 m 个 n 元向量，k 1, k2,,.21…, km 是任意 m 个数，称下列向量23mkk.21是向量组 的一个线性组合此时，也m,.2称向量 β可由向量组 线性表出21例 一个向量 的线性组合______例 向量组 能否线性表出 ？m,.21i例 已知向量，)1,23( ,)0( ,)0( ,)(321 问 能否由 线性表出？m1解 设 )(32 xx。