自动控制理论第2版夏德钤　翁贻方第四章根轨迹.ppt

第四章 根轨迹法　　　控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一确定，系统暂态响应和稳态响应的基本特性与系统的闭环零、极点在Ｓ平面上分布的位置有关　　　决定系统基本特性的是系统特征方程的根，如果搞清楚这些根在Ｓ平面上的分布与系统参数之间的关系，那就掌握了系统的基本特性　　　为此目的，Ｗ．Ｒ．伊文思在１９４８年提出了根轨迹法，令开环函数的一个参数——开环增益Ｋ（或另一个感兴趣的参数）从０变化到∞，与此对应，特征方程的根，便在Ｓ平面上描出一条轨迹，称这条轨迹为根轨迹　　　根轨迹法是研究自动控制系统的一种有效方法，它已发展成为经典控制理论中最基本的方法之一§４－１根轨迹的基本概念一．举例说明根轨迹的概念一．举例说明根轨迹的概念　　　　特征方程　　　　　　　　　　　　　的根为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　令开环增益Ｋ从０变化到∞，用解析方法求不同Ｋ所对应的特征根的值，将这些值标在Ｓ平面上，并连成光滑的粗实线，这就是该系统的根轨迹箭头表示随着Ｋ值的增加，根轨迹的变化趋势§４－１根轨迹的基本概念从系统的根轨迹图，可以获得下述信息:１.稳定性：因为根轨迹全部位于左半Ｓ平面，故闭环系统对所有的Ｋ值都是稳定的。

２.稳态性能：因为开环传函有一个位于坐标原点的极点，所以是I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ当K=0时，S1=0，S2=-1３．暂态性能　　（１）　当０<Ｋ< ０.25时，闭环特征根为实根，系统是过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程　　（２）　当Ｋ＝０.25时，两特征根重合，均为－0.5，系统处于临界阻尼状态３）　当Ｋ＞０.25时，两特征根变为共轭复根，系统处于欠阻尼状态，阶跃响应为衰减振荡过程K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ由以上分析得知： 根轨迹就是控制系统特征方程的根随系统参数变化在S平面上移动的轨迹根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和暂态性能与系统参数之间的关系二二．．．．绘制系统根轨迹的依据绘制系统根轨迹的依据　　图示系统的特征方程　　　　　　　　　　绘制根轨迹是求解特征方程的根，特征方程可改写为 　　§４－１根轨迹的基本概念——开环传函 是复变量Ｓ的函数，根据上式两边的幅值和相角分别相等的条件，可以得到这就是满足特征方程的幅值条件和相角条件，是绘制系统根轨迹的重要依据。

　　现进一步将绘制根轨迹的幅值条件和相角条件转换成实用的形式§４－１根轨迹的基本概念…此时，幅值条件和相角条件可写成§４－１根轨迹的基本概念　　　　　－开环零点．　　　　　　－开环极点．注意这个形式和求稳态误差的式子不同，需变换成这种形式．将开环传递函数写成下列标准的因子式…（＊）（＊＊）×p2×p1Os0§４－１根轨迹的基本概念三．根据相角条件确定根轨迹上的点三．根据相角条件确定根轨迹上的点设某一系统的开环零极点如图，在Ｓ平面中的任意一点　，用相角条件可以判断　是不是根轨迹的点１．从　到各零极点连直线　２．用量角器量　　　 ,…等各个角．３．将量好的值代入（＊＊）　　式，若等式成立，则　就是根轨迹上的点．×p3Oz1§４－１根轨迹的基本概念不满足，故　 不是根轨迹上的点×p2×p1Os0×p3Oz1在绘制根轨迹时，在感兴趣的区段，要比较细致地绘制，可用试探法，根据相角条件确定几个根轨迹上的点允许有一定的误差，比如±５°而其它区段的根轨迹则可根据一些规则迅速的勾画出来绘制根轨迹图时，Ｓ平面虚轴和实轴的坐标比例应取得一致§４－２绘制根轨迹的基本规则 绘制根轨迹的基本规则实际上是系统根轨迹的一些基本性质，掌握了这些基本规则，将能帮助我们更准确、更迅速的绘制根轨迹。

一一．．根轨迹的对称性根轨迹的对称性实际系统的特征方程的系数是实数，其特征根为实数或共轭复数，因此，根轨迹对称于实轴二．根轨迹的起点和终点二．根轨迹的起点和终点根轨迹的起点对应于　　　时特征根在Ｓ平面上的分布位置，而根轨迹的终点则对应于　　　时，特征根在Ｓ平面上的分布位置幅值条件改写当　　　，必有Ｓ＝　　，即起点是开环极点当　　　，必有Ｓ＝　　，即终点是开环零点但在控制系统中，总有n>m，所以根轨迹从n个开环极点处起始，到m个开环零点处终止，剩下的n－m条根轨迹将趋于无穷远处举例如题，　　　　　，起点：０，－１，无零点，n=２，m=0，n－m=2，有两条根轨迹→∞K=0.25K=0K=0××K∞K∞-1jωσ§４－２绘制根轨迹的基本规则三．根轨迹的分支数三．根轨迹的分支数根轨迹由若干分支构成，分支数与开环极点数相同四．实轴上的根轨迹四．实轴上的根轨迹　 在实轴上存在根轨迹的条件是，其右边开环零点和开环极点数目之和为奇数设系统开环零、极点分布如图所示为在实轴上确定属于根轨迹的线段，首先在 和 之间任选一个试验点 §４－２绘制根轨迹的基本规则１．共轭复数极点到　的幅角之和为０°，相互抵消，因此开环共轭复数极点、零点对实轴上根轨迹的位置没有影响，仅取决于实轴上的开环零、极点。

２．若实轴上的某一段是根轨迹，一定满足相角条件试验点左侧的开环零、极点提供的相角为０°,而右侧的相角为180°　点满足相角条件，所以　～　 之间是根轨迹×××-2-4§４－２绘制根轨迹的基本规则例４－１：（单位反馈）①　∵有三个极点，根轨迹有三条分支σjω②　∵n=3,　　m=2　　　　∴有３－２＝１条根轨迹→∞，　２条终止于开环零点③在实轴上不同段上取试验点oo-3-1§４－２绘制根轨迹的基本规则五．根轨迹的渐近线五．根轨迹的渐近线１．根轨迹中（n－m）条趋向无穷远处的分支的渐近线的倾角为…，（n-m-1)当　　　　时，求得的渐近线倾角最小，　增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线　增大，倾角值将重复出现，而独立的渐近线只有（只有（n n－－mm））条．条．§４－２绘制根轨迹的基本规则２.渐近线与实轴的交点渐近线的交点总在实轴上，即　 必为实数．在计算时，考虑到共轭复数极点、零点的虚部总是相互抵消，只须把开环零、极点的实部代入即可．例４－２求根轨迹解：①在Ｓ平面中确定开环零、极点的位置　　×××-1-2σjω②确定实轴上的根轨迹③n=3,m=0,应有三个分支，并且都趋向无穷远处。

④④确定渐近线的位置．-0.423K1=6K1=6-60°60°§４－２绘制根轨迹的基本规则六六.分离点和会合点分离点和会合点　　两条根轨迹分支在Ｓ平面上某一点相遇，然后又立即分开的点，称根轨迹的分离点（或会合点）它对应于特征方程中的二重根（如例４－２，实轴上的根轨迹要从某一点分开，然后沿渐近线方向趋向无穷远处，把分离点所对应的Ｋ1值代入特征方程，应求得二重根）　　∵根轨迹关于实轴对称，∴分离点或会合点必然是实数或共轭复数．常见的分离点或或会合点位于实轴上　　求方程式　　　的根，可以确定分离点或会合点§４－２绘制根轨迹的基本规则　例４－２，求分离点上的坐标　系统的特征方程为　或上式的根因为分离点在０至－１之间，故　　　　为分离点的坐标，而舍弃用幅值条件确定分离点的增益：§４－２绘制根轨迹的基本规则七七.根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点　　当　增加到一定数值时，根轨迹可能穿过虚轴，进入右半Ｓ平面，这表示将出现实部为正的特征根，系统将不稳定必须确定根轨迹与虚轴的焦点，并计算对应的使系统处于临界稳定状态的开环增益　　　在根轨迹与虚轴的交点处，在系统中出现虚根因此可以根据这一特点确定根轨迹与虚轴的交点。

可以用 代入特征方程求解，或者利用劳斯判据确定§４－２绘制根轨迹的基本规则续例４－２，将　　　代入特征方程　　当　　　　时，系统出现共轭虚根　　　，此时系统处于临界稳定状态实部虚部　在确定根轨迹与虚轴的交点，求出分离点，并做出渐近线以后，根轨迹的大概趋势知道了，为了能较精确的画出根轨迹，需在分离点附近取几个试验点，使其满足相角条件然后连成光滑曲线，最后逐渐靠近渐近线§４－２绘制根轨迹的基本规则§４－２绘制根轨迹的基本规则八八.根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角　　当系统存在共轭复数极点（或零点）时，为了准确地做出根轨迹的起始段（或终止段），必须确定根轨迹的出射角（或入射角）．　　根轨迹离开开环复数极点的切线方向与实轴正方向的夹角称为出射角．出射角表示根轨迹从复数极点出发时的走向．开环复数零点处，根轨迹的入射角为式中即　为其它开环零、极点对出射点或入射点提供的相角开环复数极点处，根轨迹的出射角为§４－２绘制根轨迹的基本规则求从　出发根轨迹的出射角用量角器量后，得　，在图上标出　　的出射角和　对称§４－３反馈控制系统的根轨迹分析例４－３　设一反馈控制系统的开环传函绘制　变化时的系统根轨迹。

解：１.在Ｓ平面中标出开环极点．２.由规则二和三知，根轨迹共有四个分支，从开环极点出发，当　　　时趋向无穷远处３.由规则四，实轴上的根轨迹　　　　 §４－３反馈控制系统的根轨迹分析４．渐近线的相角和交点为５．求根轨迹的分离点系统的特征方程§４－３反馈控制系统的根轨迹分析上式的根为　　　　，　　　　　　　　只有　　　　是实际分离点对应分离点的　 值可按幅值条件确定６．求根轨迹在 的出射角§４－３反馈控制系统的根轨迹分析７．求根轨迹与虚轴的交点．此处利用劳斯判据，由特征方程１８５６００列劳斯表§４－３反馈控制系统的根轨迹分析令　　　　　　　　，得根据　行的系数写出辅助方程将　　　　　　代入，得８.作根轨迹图　　在分离点附近取n个试验点，知分离角为90°,在　 附近取n个试验点．§４－３反馈控制系统的根轨迹分析确定闭环极点.在上例中给定一对主导极点的阻尼比1.画出　线§４－３反馈控制系统的根轨迹分析２．　线的根轨迹交点的坐标就是　　　　时，系统的一对闭环主导极点．３．主导极点处对应的　值用幅值条件求４．用试探法可找到另两个闭环极点当　　　　时，系统的闭环传函为§４－３反馈控制系统的根轨迹分析根轨迹法分析系统的一般步骤：根轨迹法分析系统的一般步骤：１．绘制系统的根轨迹图；２．分析根轨迹图，估计系统增益　 对闭环零、极点分布的影响；３．根据闭环零、极点的分布估算系统暂态响应指标；４．对高阶系统要尽可能准确地找出它的闭环主导极点。

§４－３反馈控制系统的根轨迹分析参数根轨迹绘制方法参数根轨迹绘制方法例４－４　已知系统框图，绘制以　为参数的根轨迹.§４－３反馈控制系统的根轨迹分析解：（1）系统的开环传递函数特征方程（2）以　为参变量，特征方程可写为即绘制　　　的根轨迹§４－３反馈控制系统的根轨迹分析（3）开环极点 闭环极点（4）实轴上的根轨迹（5）渐近线倾角（6）会合点 求 　　　，得 　　　　　 为实际会合点，该点（7）出射角。