（北京专用）2019版高考数学一轮复习第五章平面向量第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例课件理.pptx

第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1总纲目录教材研读1.平面向量的数量积考点突破2.向量的数量积的性质3.向量的数量积的运算律考点二平面向量数量积的应用考点二平面向量数量积的应用考点一平面向量数量积的运算4.平面向量的数量积的坐标表示考点三平面向量与三角函数的综合问题考点三平面向量与三角函数的综合问题2教材研读教材研读1.平面向量的数量积平面向量的数量积(1)向量a与b的夹角已知两个非零向量a,b,过O点作=a,=b,则AOB=(0180)叫做向量a与b的夹角.当=90时,a与b垂直,记作ab;当=0时,a与b同向;当=180时,a与b反向.3(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,则把数量|a|b|cos叫做a和b的数量积(或内积),记作ab=|a|b|cos.(3)规定0a=0.(4)一个向量在另一个向量方向上的投影设是a与b的夹角,则|a|cos叫做a在b的方向上的投影,|b|cos叫做b在a的方向上的投影.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个实数,而不是向量.(5)ab的几何意义ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.42.向量的数量积的性质向量的数量积的性质设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,是a与e的夹角,则(1)ea=ae=|a|cos.(2)abab=0.(3)当a与b同向时,ab=|a|b|.当a与b反向时,ab=-|a|b|.特别地,aa=|a|2.(4)cos=.(5)|ab|a|b|.53.向量的数量积的运算律向量的数量积的运算律(1)ab=ba.(2)(a)b=(ab)=a(b)(R).(3)(a+b)c=ac+bc.64.平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.(2)若a=(x,y),则aa=a2=|a|2=x2+y2,|a|=.(3)若A(x1,y1),B(x2,y2),则|=,这就是平面内两点间的距离公式.(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b为非零向量,则abx1x2+y1y2=0.71.(2017北京东城一模,5)已知向量a,b满足2a+b=0,ab=-2,则(3a+b)(a-b)=()A.1B.3C.4D.5B答案答案B2a+b=0,a与b的夹角为,且|b|=2|a|,又ab=-2,|a|b|cos=-2,|a|=1,|b|=2,故(3a+b)(a-b)=3|a|2-2ab-|b|2=31-2(-2)-4=3.82.已知向量a与向量b的夹角为60,|a|=|b|=1,则|a-b|=()A.3B.C.2-D.1D答案答案D|a-b|2=a2-2ab+b2=2-211cos60=1,|a-b|=1,故选D.93.(2017北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数,使得m=n”是“mn0”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件A答案答案A由存在负数,使得m=n,可得m、n共线且反向,夹角为180,则mn=-|m|n|0,故充分性成立.由mn0,可得m,n的夹角为钝角或180,故必要性不成立.故选A.104.已知等边ABC的边长为3,D是BC边上一点,若BD=1,则的值是6.答案答案6解析解析由题意知=(+)=+=9+32cos=6.115.在平面向量a,b中,已知a=(1,3),b=(2,y).如果ab=5,那么y=1;如果|a+b|=|a-b|,那么y=-.答案答案1;-解析解析因为ab=12+3y=5,所以y=1.因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,即2ab=-2ab,所以ab=0,即12+3y=0,所以y=-.126.(2017北京海淀期中)已知正方形ABCD的边长为1,E是线段CD的中点,则=.答案答案解析解析由题意可得=0,AD=AB=1,=(-)=-=1-0-=.13考点一平面向量数量积的运算考点一平面向量数量积的运算考点突破考点突破典例典例1(1)(2017北京石景山一模,7)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是()A.2-B.1C.D.2(2)(2017北京海淀二模,13)在四边形ABCD中,AB=2.若=(+),则=2.C14答案答案(1)C(2)2解析解析(1)解法一:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(,0),E(,1),设F(x,2),则=(x,2),又=(,0),=x=,x=1,F(1,2),易知=(,1),=(1-,2),=(1-)+2=.解法二:=|cosBAF=,|=,|cosBAF=1,即|=1,|=-1,=(+)(+)=+=+15=(-1)(-1)+121=.(2)由题意可知=(+)=|2=2.16方法技巧方法技巧向量数量积的两种计算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即ab=|a|b|cos.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.171-1(2018北京朝阳高三期中,6)如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,ADDC,E是CD的中点,DC=1,AB=2,则=()A.B.-C.1D.-1答案答案DABCD,ADDC,ADAB,=0,=(+)=-2=-1,故选D.D18典例典例2平面向量a与b的夹角是,且|a|=1,|b|=2,如果=a+b,=a-3b,D是BC的中点,那么|=()A.B.2C.3D.6考点二平面向量数量积的应用考点二平面向量数量积的应用命题方向一模的问题命题方向一模的问题A19答案答案A解析解析因为D为BC的中点,所以=(+).又因为=a+b,=a-3b,所以=a-b,所以|2=(a-b)2=a2+b2-2ab=12+22-212cos=5-2=3.因此|=.故选A.20典例典例3已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=,若n(tm+n),则实数t的值为()A.4B.-4C.D.-命题方向二垂直问题命题方向二垂直问题B21答案答案B解析解析n(tm+n),n(tm+n)=0,即tmn+|n|2=0,t|m|n|cos+|n|2=0.又4|m|=3|n|,cos=,t|n|2+|n|2=0,n为非零向量,t+1=0,解得t=-4.22典例典例4(1)(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b满足a(a+b)=0,2|a|=|b|,则向量a,b的夹角为.(2)已知向量a,b满足(a+2b)(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为.命题方向三夹角问题命题方向三夹角问题23答案答案(1)(2)解析解析(1)设a与b的夹角为,因为a(a+b)=0,所以aa+ab=0|a|a|+|a|b|cos=0,又因为2|a|=|b|0,所以|a|a|+2|a|a|cos=0,所以1+2cos=0,所以cos=-,从而=.(2)由(a+2b)(a-b)=-6,得a2-2b2+ab=-6,又|a|=1,|b|=2,ab=1,设向量a与b的夹角为,则cos=,又0,故=.24方法技巧方法技巧平面向量数量积的应用类型及求解策略(1)求两向量的夹角:cos=,要注意0,.(2)两向量垂直的应用:abab=0|a-b|=|a+b|.(3)求向量的模:利用数量积求解长度问题的处理方法有a2=aa=|a|2或|a|=.|ab|=.若a=(x,y),则|a|=.252-1(2014北京,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且a+b=0(R),则|=.答案答案解析解析a+b=0,即a=-b,|a|=|b|.|a|=1,|b|=,|=.262-2已知平面向量a,b满足a=(1,-1),(a+b)(a-b),那么|b|=.答案答案解析解析(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=0,即a2-b2=0,|a|=|b|.又a=(1,-1),|b|=|a|=.27典例典例5已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),xR,函数f(x)=a(b-c).(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)若f=,求sin的值.考点三平面向量与三角函数的综合问题考点三平面向量与三角函数的综合问题28解析解析(1)因为b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),又a=(sinx,cosx),所以f(x)=a(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx),则f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x=sin2x-cos2x=sin.当2k+2x-2k+,kZ,即k+xk+,kZ时,函数f(x)为减函数,所以函数f(x)的单调递减区间是,kZ.29(2)由(1)知f(x)=sin,因为f=,所以sin=,所以sin=.又sin2+cos2=1,所以cos=.又sin=sin=sincos+cossin.所以当cos=时,sin=+=;30当cos=-时,sin=+=.综上,sin的值为或.31方法技巧方法技巧求解平面向量与三角函数综合问题的一般思路(1)求三角函数值,一般利用向量的相关运算得出三角函数关系式.利用同角三角函数的基本关系及三角函数中的常用公式求解.(2)求角时通常将向量问题转化为三角函数问题,先求三角函数值再求角.(3)解决与向量有关的三角函数问题所用的主要思想方法是转化与化归的数学思想,即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题.323-1已知ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,sinA),p=(b-2,a-2).(1)若mn,求证:ABC为等腰三角形;(2)若mp,边长c=2,角C=,求ABC的面积.33解析解析(1)证明:mn,asinA=bsinB,即a=b,其中R是ABC外接圆的半径,a=b.ABC为等腰三角形.(2)由题意可知mp=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去),ABC的面积S=absinC=4sin=.34即(ab)2-3ab-4=0,ab=4(ab=-1舍去),ABC的面积S=absinC=4sin=.35。