2024版高考数学一轮总复习第2章函数第2节函数的单调性与最值.docx

第二节　函数的单调性与最值考试要求：1．借助函数图象，会用数学语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义．2．理解单调性、最值及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．单调递增、单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．2．增函数、减函数(1)当函数f(x)在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数．(2)当函数f(x)在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数．1．单调递增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征①任意性；②有大小，即x1x2)；③同属于一个单调区间．三者缺一不可．2．增、减函数定义的等价形式对于∀x1，x2∈I，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0(<0)或fx1−fx2x1−x2>0(<0)，则函数f(x)在I上单调递增(减)．3．单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能随意取并集．例如，函数f(x)在区间(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递减，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是单调递减.4．函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有f(x)≤M．(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M(1)∀x∈I，都有f(x)≥M．(2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为函数y＝f(x)的最大值M为函数y＝f(x)的最小值二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞， 0)∪(0, ＋∞)． (　×　)(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)． (　×　)(3)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是单调递增的，则这个函数在定义域上是增函数． (　×　)(4)所有的单调函数都有最值． (　×　)2．(多选题)已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以判定f(x)是增函数的是(　　)A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有fx1−fx2x1−x2>0CD　解析：根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若fx1−fx2x1−x2>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．3．函数y＝x2－6x＋6在区间[2，4]上(　　)A．单调递减　　　　　　B．单调递增C．先单调递减再单调递增 D．先单调递增再单调递减C　解析：画出函数y＝x2－6x＋6在区间[2，4]上图象，观察图象可知，该函数在[2，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增．4．已知函数f(x)＝2x−1，x∈[2，6]，则f(x)的最大值为________，最小值为_________．2　25　解析：画出函数f(x)＝2x−1，x∈[2，6]的图象，观察图象可知，该函数在[2，6]上单调递减，所以f(x)的最大值为f(2)＝22−1＝2，最小值为f(6)＝26−1＝25.5．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为_________．－6　解析：由图象易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是−a2，+∞.令－a2＝3，得a＝－6.考点1　确定函数的单调性(区间)——基础性1．函数f(x)＝|x2－3x＋2|的单调递增区间是(　　)A．−32，+∞B．1，32和[2，＋∞)C．(－∞，1]和32，2D．−∞，32和[2，＋∞)B　解析：y＝|x2－3x＋2|＝x2−3x+2，x≤1或x≥2，−x2+3x−2，10，解得x>4或x<－2，所以(4，＋∞)为函数y＝x2－2x－8的单调递增区间．根据复合函数的单调性可知，函数f(x)＝ln (x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)．4．试讨论函数f(x)＝axx−1(a≠0)在(－1，1)上的单调性．解：(方法一：定义法)设∀x1，x2∈(－1，1)且x10，x1－1<0，x2－1<0.故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．1．解决这类问题要优先考虑用函数图象法解决，二是可以利用定义法判断，也可以利用导函数与函数单调性的关系求解．2．有些题目，如第3题还可以利用复合函数的单调性求解．考点2　求函数的最值(值域)——综合性(1)若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为(　　)A．－3 B．－2C．－1 D．1B　解析：因为f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上单调递增，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1，所以f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2.故选B.(2)函数y＝x2−1x2+1的值域为_________．[－1，1)　解析：由y＝x2−1x2+1，可得x2＝1+y1−y.由x2≥0，知1+y1−y≥0，解得－1≤y<1.故所求函数的值域为[－1，1)．(3)函数y＝x＋1−x2的最大值为___________．2　解析：由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.令x＝cos θ，θ∈[0，π]，则y＝cos θ＋sin θ＝2sin θ+π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤2，故原函数的最大值为2.求函数的最值(值域)的5种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，得出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)分离常数法：求形如y＝cx+dax+b(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解．(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正、二定、三相等”的条件后用均值不等式求出最值．1．函数y＝x－x(x≥0)的最大值为______，单调递增区间为_________．14　0，14　解析：令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t2＝−t−122＋14，所以当t＝12时，ymax＝14.t＝x为增函数，y＝t－t2在−∞，12上单调递增，所以单调递增区间为0，14.2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5].(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5，5]上是单调函数．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.因为x∈[－5，5]，所以x＝1时，f(x)取最小值1，x＝－5时，f(x)取最大值37.(2)由题意可知f(x)的对称轴为x＝－a.因为f(x)在[－5，5]上是单调函数，所以－a≤－5，或－a≥5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[5，＋∞)．考点3　函数单调性的应用——应用性考向1　比较函数值的大小(1)设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)f(3)>f(2)，即f(π)>f(－3)>f(－2)．(2)已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立．设a＝f−12，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)A．c＞a＞bB．c＞b＞aC．a＞c＞b　　 D．b＞a＞cD　解析：因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f−12＝f52.当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜52＜e，所以f(2)＞f52＞f(e)，所以b＞a＞c.利用函数的单调性比较函数值或自变量的大小比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较．对于选择题、填空题通常选用数形结合的思想方法进行求解．考向2　解函数不等式(1)已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f13的x的取值范围是(　　)A．13，23 B．13，23C．12，23 D．12，23D　解析：因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，且f(2x－1)＜f13，所以0≤2x－1＜13。