1第一章极限与连续.doc

第一章 函数与极限一、教学目标极限与连续是高等数学最基础的概念，高等数学的其他概念几乎都是建立在极限的基础之上的，所以，不仅要求学生理解和掌握极限计算方法，而且要引导学生理解和掌握极限思想，并能用极限思想分析问题解决问题.二、基本要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题的函数关系式.2.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.3.掌握基本初等函数的性质及其图形.4.理解极限的概念，理解函数左极限、右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.会求分段函数在分段点处的极限.5.掌握极限的性质及四则运算法则掌握计算极限的技巧（约公因式、有理化）与极限的反问题熟练计算简单函数式的极限.6.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法.7.理解无穷大、无穷小的概念，掌握无穷小阶的比较方法，会用等价无穷小求极限.8.理解函数连续性的概念（包括左连续右连续），会判别函数的间断点的类型.9.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理，介值定理，零点定理），并会应用这些性质.三、教学内容及课时分配 （需16学时） §1.1 集合 §1.2 函数 2课时§1.3 数列的极限 2课时§1.4 函数的极限 2课时§1.5 无穷小与无穷大 1课时§1.6 极限的运算法则 2课时§1.7 极限存在准则与两个重要极限 2课时§1.8 无穷小的比较 1课时§1.9 函数的连续性 2课时习题课 2课时四、重点和难点重点：1.数列与函数的极限概念与性质(1) 极限的理解：数列与函数的极限是自变量在一个特定变化过程中数列与函数取值的变化趋势；(2) 数列与函数极限的性质：唯一性，有界性和保号性；(3) 左、右极限的应用：常用于分段函数在分段点处的极限判别.2.极限的计算(1)利用四则运算法则求极限，应注意该法则成立的条件，并掌握计算技巧；(2)利用无穷小的性质求极限；(3)利用两个重要极限求极限；(4)利用等价无穷小代换求极限；(5)利用极限存在的两个准则求极限；(6)极限的反问题，即已知极限值反求参数问题. 3.连续的定义与性质 (1)函数在一点连续的两个等价定义； (2)判断分段函数在分段点处以及在定义域上的连续性； (3)闭区间上连续函数的性质.难点:1.极限收敛性判别（准则与定义的应用）；2.介值定理与零点定理的应用.五、深化与拓宽高阶无穷小、等阶无穷小的应用；极限的反问题；零点定理的应用.六、教学方式、方法课件教学与课堂板书教学相结合；互动式教学、启发式教学法. §1.1 集 合§1.2 函 数一、教学目标与要求：复习高中知识中集合与函数的定义、几何性质与代数性质；理解函数的本质，会建立函数关系.二、教学重点与难点1. 区间与邻域.2.基本初等函数.3.复合函数及复合函数的分解（特别注意复合函数的分解）.4.简单的初等函数的性质、图形；分段函数与常见的经济函数.三、教学方法 复习法四、教学过程（需2课时）（一）授课内容从高中知识回顾中，提出基本初等函数及其性质与图形.1.函数的定义定义1.2.1 设x，y是两个变量，D是非空实数集合，f是一个对应规则，若对每一个，都有一个确定的实数y与之对应，则称这个规则f为定义在D上的函数，也称变量y是变量x的函数，记作称x为自变量，y为因变量；D为函数的定义域.注：(1)把握定义，会求函数的定义域及函数值；会判断两个函数是否是相等的.(2)函数的表示法(3)分段函数的概念2.函数的基本性质周期性、奇偶性、单调性、有界性.3.隐函数、反函数；复合函数；重点把握复合函数的分解.4.基本初等函数（六类）的定义及其性质.5.初等函数的概念.6.经济学中常用的几个函数.（二）课堂练习 P54 习题一 (A) 1(1)(3) 6 10(1)(2)（三）小结 本节复习集合与函数的定义、性质；基本初等函数；初等函数等重要概念。

要理解好函数的有关概念，尤其对分段函数的理解，会求函数的定义域、函数值，掌握函数的性质.（四）课后作业P56习题一 (A) 1(2)(4) 2 3 4 7 8(2) 10(3)(4)(5)(6) 11 12§1.3 数列的极限一、教学目标与要求1.理解和掌握数列极限的思想.2.理解数列极限的定义与几何意义.3.理解数列极限的性质；子数列的极限与数列的极限的关系.二、教学重点与难点1.数列极限的定义.2.收敛数列的性质（唯一性、有界性、局部保号性）.三、教学方法启发式教学法四、教学过程（需1课时）（一）授课内容1.数列极限的定义 (1) 描述性定义 给定数列{xn}，若随着n的无限增大，xn无限地趋于某一确定的实数A，则称数列{ xn}当时以A为极限，记作.(2) 精确定义定义1.3.1 设有数列{ xn}，若存在常数A，使存在正整数N，当时，恒有 成立，则称数列{xn}以A为极限.记作 定义1.3.1可以概括为如下形式（： ，当n＞N时，恒有.2.数列极限的几何意义3.例题例1 证明：. 例2 设 | q |<1，证明：.4.收敛数列的性质定理1.3.1 若数列{ xn}收敛，则它的极限唯一.定理1.3.2 若数列{ xn}收敛，则数列{ xn}有界（即有极限的数列必有界）. 定理1.3.3 若，且A>0 (或A<0)，则存在正整数N，使当n>N时，有xn>0(或xn <0).定理1.3.4 若数列{xn}收敛于A，则{ xn}的任何子数列{ xkn}都收敛于A.（二）课堂练习 P54 习题一 (A) 13(2)(3) 14(1)（三）小结 本节讲解了数列极限的定义、几何意义以收敛数列的性质.（四）课后作业P54 习题一 (A) 13(1)(4)(5) 14(2)§1.4 函数的极限一、教学目标与要求1.理解函数极限的概念（两种形式）.2.理解左、右极限的概念，掌握左、右极限与极限的关系.3.熟练判别分段函数在分段点处的极限.4.理解函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性）.5.了解函数极限与数列极限的关系（即海因定理）.二、教学重点与难点1.函数的两个极限定义的理解.2.分段函数在分段点处极限的判断.3.函数极限与数列极限的关系——海因定理.三、教学方法讲练结合法四、教学过程（需2课时）（一）复习 数列极限的定义（二）授课内容 1.4.1函数极限的定义 1.当时，函数f(x)的极限（1）当时，函数f(x)的极限定义1.4.1 若对于总存在一个正数M，使当时，恒有成立，则称当时，f(x)以A为极限.记作定义1.4.1又称为定义，可概括为如下形式： .例1 证明： (1)当时，函数f(x)的极限只需在定义1.4.1中，把即可.记作.(2)当时，函数f(x)的极限只需在定义1.4.1中，把改为即可.记作.注 上述自变量的三种变化过程必要时应区别使用.如： .2.当时，函数f(x)的极限先由两个例题直观的表述此种极限的描述性定义，再引出精确定义.定义1.4.2 如果对于任意的，总存在正数，使当时，恒成立，则称当时，函数f(x)以A为极限.记作 注 (1)定义1.4.2可以概括如下： (2)由定义可知，函数f(x)在时有无极限与函数f(x)在点x0处有无定义无关. (3)的几何意义.3.左极限与右极限定义1.4.3 如果当x从x0的左侧趋于x0时，f(x)无限地趋于常数A，即 则称A为f(x)当时的左极限. 记作 或 f (x0-0)=A如果当x从x0的右侧趋于x0时，f(x)无限地趋于常数A，即 则称A为f(x)当时的右极限. 记作 或 f (x0+0)=A4.极限与左、右极限的关系定理1.4.1 5.例题(1)证明：(2)设f(x)=1.4.2函数极限的性质1.函数极限的性质定理1.4.2（唯一性）若存在，则极限唯一.定理1.4.3（局部有界性）若存在，则在点x0的某个去心邻域内，函数f(x)有界.定理1.4.4（局部保号性）若，且A>0（或A<0），则在点x0的某个去心邻域内，有f(x)>0（或f(x)<0）.推论 若在点x0的某个去心邻域内，有f(x)≥0（或f(x)≤0），且，则A≥0（或A≤0）.2.函数极限与数列极限的关系——海因定理（定理1.4.5）作用：将数列极限转化为函数极限计算.（二）课堂练习P54 习题一 (A) 14(1) 15(1) （三）小结本节重点讲解了函数的两种极限问题：与以及函数极限的性质.（四）课后作业 1.总结极限定义，有什么共性？能否用通俗的语言给出通用定义. 2.P54 习题一 (A) 14(2) 16 17（五）深化与拓宽极限思想的应用——化未知为定值的思维方式.（六）教学中应注意的几点问题1.学生从高中升入大学，学习环境及授课方式都发生了变化；引导和提醒学生尽快适应大学生活.强调：自觉性、自律性.2.课前要预习与课堂记笔记.§1.5 无穷小量与无穷大量一、教学目标与要求1.理解无穷小与无穷大的定义.2.掌握无穷小与无穷大的性质.3.了解无穷小与无穷大之间的关系，会判别无穷小与无穷大.二、教学重点与难点重点：无穷小与无穷大的判别.难点：无穷小的性质.三、教学方法讲解、启发式以及练习相结合.四、教学过程（需1课时） （一）授课内容 1.5.1.无穷小量的概念及其性质1.无穷小量的定义定义1.5.1 极限为零的变量称为无穷小量，简称无穷小.即若在某个变化过程中有limy=0，则称在该变化过程中y为无穷小. 注 (1)强调变化过程 (2)常数0是无穷小2.无穷小的性质无穷小有以下性质：定理1.5.1 无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量.推论 常量与无穷小的乘积仍是无穷小.定理1.5.2 limf(x)=A充分必要条件是f(x)=。