群论课件chap3.ppt

第3章 有限群的表示理论1第一节 群表示的概念 1.群的矩阵表示 定义：设G={A1,A2,…,Ag}D={D(A1),D(A2),…,D(Ag)} D是与G同态的方矩阵群，并且满足 D(AiAj)=D(Ai)D(Aj) 则称D是G的一个矩阵表示，矩阵的阶数（行或者列 ）称作表示的维数 若D与G同构，那么这个表示就称作确实表示 若D与G同态，那么这个表示就称作不确实表示2例1：d3群（3×3矩阵）与D3群同构，因此d3群 的各元就是D3群的一个确实表示3例2：D3={E,A,B,C,D,F}D={D(E),D(A),D(B),D(C),D(D),D(F)} 其中：可验证D是D3群的三维表示矩阵 42.关于表示的一些名词 (1)确实表示（忠实表示）和不确实表示（不忠实表示）确实表示：表示中各个元素互不相同不确实表示：表示中有相同的元素 (2)等价表示和非等价表示等价表示：群G存在两个表示D1={D1(E),D1(A),D1(B),…} D2={D2(E),D2(A),D2(B),…} 若存在一个非奇异矩阵S，使得每个元素都能满足D1(A)=S-1D2(A)S,D1(B)=S-1D2(B)S,…等，即D1=S-1D2S (相似变换)则称两个表示D1和D2等价。

记作D1∽D25(3)幺正表示幺正矩阵：如果一个矩阵U的逆U-1等于矩阵U的 复共轭转置矩阵 ，U就称作幺正矩阵幺正表示：若群G的矩阵表示中每一个矩阵都是 幺正矩阵，称为幺正表示有关幺正表示的定理：定理一：有限群的任何非奇异的矩阵表示，都 可以通过相似变换变成幺正矩阵的表示定理二：若群G的两个幺正表示D和D‘是等价的， 那么必然存在一个幺正矩阵U，使 6(4)可约表示和不可约表示可约表示：取群G的两个表示矩阵D1(A)及D2(A) 来构造一个新的矩阵D(A)这种形式的矩阵称为块状对角矩阵，D(A)称作可约表示 否则，称为不可约表示注：D1(A)及D2(A)的维数不一定相等D(A)是G的一个表示7(5)单位表示（恒等表示，主表示）仅有一个元的矩阵形成的表示，即D={1,1,…,1} 3.群表示的基本性质 (1)D(E)是单位矩阵 (2)D(A-1)=D-1(A) （证明） (3)D’=S-1DS也是G的一个表示 (4)D1，D2是G的表示，则D1⊕D2是G的表示 (5)D1，D2是G的表示，则D1 D2是G的表示8第二节 舒尔（Schur）引理 1.舒尔引理一D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵A=λE式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。

若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R9证明：设群的表示是D，且是幺正矩阵. 已知D(R)A=AD(R) R∈G (1) 一：取A为厄米矩阵，取式(1)的厄米共轭A+D(R)+=D(R)+A+ (2) 已知D(R)是幺正的，即D(R)+=D(R)-1,则式(2)可变为A+D(R)-1=D(R)-1A+ (3) 以D(R)左乘以及右乘上式，得D(R)A+D(R)-1D(R)=D(R)D(R)-1A+D(R)D(R)A+=A+D(R) (4) 用A和A+造两个厄米矩阵H=A+A+, J=i(A-A+) (5)10因此舒尔引理中式(1)就等价于D(R)H=HD(R) (6)D(R)J=JD(R) (7) 舒尔引理对H，J成立，对A也成立 二：取A为厄米矩阵,且满足式(1).存在一个幺正矩阵S-1AS=A’ (8) 其中A’为一对角矩阵。

对式(1)进行相似变换[S-1D(R)S][S-1AS]=[S-1AS][S-1D(R)S] 得 S-1D(R)SA’=A’S-1D(R)S (9) 取上式的ij分量，可得[S-1D(R)S]ij(Ai’-Aj’)=0 (10)11存在两种情况： (a) A’的对角元Ai,Aj对一切i,j全部相同； (b) Ai,Aj有不相同的如果A’的对角元有不同的，那么A’不是单位矩阵的 整数倍令对角元相同的一组，对角元不同的一组，进行相似 变换，得到分块的对角形式由此可得：①全部表示矩阵都可以通过一个幺正变换成为有相同 结构的分块对角矩阵，即D(R)是可约的② 约化矩阵就是使A对角化的矩阵 说明A不是单位矩阵的常数倍，则表示是可约表示 因此反正了引理(1)122.舒尔引理二设D1,D2是群G在L1,L2空间的不可约表示， 他们的维数分别为n1,n2,若它们同n1×n2阶的 矩阵A满足下面关系D1(R)A=AD2(R) R∈G 那么(1)若n1≠n2，A=0(2)若n1=n2，A=0或者detA≠0且D1和D2是 等价表示13设D(i)(R)和D(j)(R)是群G的两个ni，nj维的 不等价不可约表示（R代表群G中的任一元 ）,则有其中，g是群G的阶，求和对一切群元进行。

ni是不可约表示D(i)(R)的维数第三节 正交性定理（大正交定理）14注：为什么叫正交性定理？(1) ij : 两个不等价不可约(幺正)表示的基函数彼此正交 ;(2) : 同一不可约(幺正)表示的基函数彼此正交ij 正交 ┌ 1i ┐ ┌ 1j ┐ ∣ 2i ∣ ∣ 2j ∣  正交∣  ∣ ∣  ∣ 正交  ∣  ∣ ∣  ∣ └ nii ┘ └ njj ┘15例：D3群有3个不等价不可约表示 D(1)={1,1,1,1,1,1} D(2)={1,1,1,-1,-1,-1}验证：(1)与(2)(3)中对角(2)(3)16v大正交定理的说明：对于任何i=j, α=β, p=q, 有 即对任一不可约表示，所有群元的任一对应 矩阵元的平方和为常数171.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹）X(R)=TrD(R)=式中，R表示G的任一元Daa是对角元，n是表示空间的维数。

第四节 群表示的特征标特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用，第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)182.特征标的性质 (1)等价表示有相同的特征标(由于相似变换并不改变矩阵的迹) (2)属于同一共轭类的群元在同一表示中有相同的 特征标证明：Ri与Rj共轭，则有 R-1RiR=Rj所以D(R-1)D(Ri)D(R)=D(Rj)D-1(R)D(Ri)D(R)=D(Rj)得：X(Ri)=X(Rj)（相似矩阵有相同的迹） (3)一个可约表示的特征标，等于约化后各不可约 表示的特征标之和19(4)不可约表示特征标的正交性定理定理：一个群G的两个不等价不可约表示D(i) 和D(j)的特征标X(i)和X(j)满足关系式其中，g是群阶，R是群G中的任一元， X(i),X(j)代表第i和第j个不可约表示的特征 标20证明：注：若将一个群的所有不等价不可约表示的特征标 列成表，并以群元类作为行编号而以不等价不可约 表示作为列编号的话，则不同行的特征标是正交的21推论：群G的所有不等价不可约表示的个数r≤k（G中共轭类的个数）(取等号！)例：验证正交性A1～A2:1×1×1+2×1×1+3×1×(-1)=0 A2～E:1×1×2+2×1×(-1)+3×(-1)×0=0 E～E：1×2×2+ 2×（-1）×(-1)+ 3×0×0=6223.不等价不可约表示的符号 (1)Mulliken符号符号表示含义适用情况 A、A1、A2+1（对称）、恒等表示 、其他表示一维 B（B1，B2，…）-1（反对称）、其他表 示 E，T二维、三维 脚标加 g，u有中心反演(2)Bethe符号234.可约表示的约化（特征标的应用）不可约表示组成新的表示根据特征标的定义对上式两边取迹两边同乘以，对G所有的元求和，得24例：D3群的特征标表aA1=[1×1×3+2×1×0+3×1×(-1)]/6=0 aA2=[1×1×3+2×1×0+3×(-1)×(-1)]/6=1 aE =[1×2×3+2×(-1)×0+3×0×(-1)]/6=1结论：D=A2⊕E25v可约性的判定 当m=1，X（R）不可约 当m ﹥ 1， X（R）可约261.群元空间定义：把群G的每一个群元作为矢量，定义加法， 数乘和内积，建立一个矢量组成的g维空间，就称 为群元空间。

2.正规表示构造群的乘法表时，将群的乘法表的列按行的逆 元的顺序重新排列，对角元素必是E若进一步按 这样的群表排列，对每个群都造一个方阵，使得 每个元的矩阵都在它所处的群表的位置上的矩阵 元是1，其余处处是0这样得到一个矩阵的集合 ，叫群G的正规表示第五节 群元空间和正规表示27根据D3群的群表，我们得到D3群的矩阵例如D3群的群表排列28注意正规表示的特征标的特点！！！可以证明，这是D3群的一个表示293.正规表示的约化结果在正规表示中，群G的每一个不可约表示 都出现，而且每个不可约表示出现的次数 等于不可约表示的维数 证明：304.不可约表示的维数定理一个群的全部不可约表示的维数的平方 和，等于群G的阶g，即5 一个群的不等价不可约表示总个数等于 群元类数31第六节 特征标表的构造 依据的基本公式 1.不可约表示的个数等于群元的类数 2.所有不可约表示的维数的平方和等于群元 数维数定理） 3.单位元E的特征标等于不可约表示的维数X(E)=ni 4.每一个群都有一个恒等表示 D(R)=1,X(R)=1,通常将它们写在第一行326.每一列都与另一列正交并归一化到个/Cp若选取P类为单位元E类，则对所有其他列有5.每一行都带权重因子Cp与其它行正交并归一到g其中，c是群元类总数，p表示第p类，Cp表示第p类 中群元个数。

33以D3群为例D3群有三个共轭类：{E}{D,F}{A,B,C},不可约表示的个数为3，群元数为6由维数定理得：可取n1=1,n2=1,n3=234v利用正交性定理，求出未知数 第一、二行：1×1×1+ 2×1×a+ 3×1×b=0 第二行： 1×1×1+ 2×a×a+ 3×b×b=6 求得a=1，b=-1 利用一、二列和一、三列正交求出c,d35第七节 函数空间的基函数和投影算符1 矢量空间1) 标量域 设有一个标量元素的集合 F≡{a,b,c,d,…},并定义F中的元素满足如下的加法操 作和乘法操作，则此数字体系集合在数学上叫做一个 数域1)在加法集合下，F是一个Abel群，恒等元是0.(2)除0以外，在乘法结合下，此集合也形成Abel群， 单位元是12) 线性矢量空间 设有一组数学对象的集合 满足下面定义的矢量加法和标量域F中的数与矢量的 数乘法，则此矢量集合形成一个抽象矢量空间36(2)数乘(1)加法372 函数空间 (1)定义 若矢量空间中的矢量是一些定义在某个 区间上的连续、平方可积函数，则它们构成函数 的矢量空间内积 任意两函数的内积定义为函数的正交归一化基矢 函数矢量空间中正交归一化的集合，形成该空间的基矢。

维数 基矢的个数38(2)函数空间中的算。