最新人教A版高中数学选修11同步辅导与检测第三章3.4生活中的优化问题举例.doc

最新人教版数学精品教学资料第三章 导数及其应用3.4 生活中的优化问题举例A级　基本巩固一、选择题1．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一种正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是(　　)A. cm2 B．4 cm2C．3 cm2 D．2 cm2解析：设一种正三角形的边长为x cm，则另一种正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋(4－x)2＝[(x－2)2＋4]≥2(cm2)．答案：D2．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增长100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，0≤x≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是(　　)A．150 B．200 C．250 D．300解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝0，得x＝300.当0≤x＜300时，P′(x)＞0；当300＜x≤390时，P′(x)＜0，因此当x＝300时，P(x)最大．答案：D3．将8分为两个非负数之和，使其立方和最小，则这两个数为(　　)A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对解析：设一种数为x，则另一种数为8－x，其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2且0≤x≤8，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0，因此当x＝4时，y获得极小值，也是最小值．答案：B4．做一种容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为(　　)A．6 m B．8 m C．4 m D．2 m解析：设底面边长为x m，高为h m．则有x2h＝256，因此h＝.所用材料的面积设为S m2，则有S＝4x·h＋x2＝4x·＋x2＝＋x2.S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，因此h＝＝4(m)．答案：C5．设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面正三角形的边长为(　　)A. B.C. D．2解析：设底面正三角形的边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin 60°·l，因此l＝，因此S表＝x2·sin 60°＋3·x·l＝x2＋.令S′表＝x－＝0，得x＝，又当x∈(0，)时，S′表<0；x∈(，＋∞)时，S′表>0，因此x＝时，表面积最小．答案：C二、填空题6．某商品每件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元发售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：由题意知，利润S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000(30≤x≤200)，因此S′(x)＝－2x＋230，令S′(x)＝0，解得x＝115.当30≤x＜115时，S′(x)＞0；当115＜x≤200时，S′(x)＜0，因此当x＝115时，利润S(x)获得极大值，也是最大值．答案：1157．已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为________米．解析：设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y＝2(x＞0)，因此y′＝2，令y′＝0，解得x＝200(x＝－200舍去)，这时y＝800.当0＜x＜200时，y′＜0；当x＞200时，y′＞0.因此当x＝200时，y获得最小值，故其周长至少为800米．答案：8008．做一种无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．解析：设圆柱的底面半径R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，因此L＝.要使用料最省，只需使圆柱表面积最小．S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π·，令S′表＝2πR－＝0，得R＝3，即当R＝3时，S表最小．答案：3三、解答题9.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，规定框架围成的总面积为8 m2，问x，y分别为多少(精确到0.001)时用料至少？解：依题意，有xy＋·＝8，因此y＝＝－(00，因此，当x＝8－4时，l获得最小值．此时，x＝8－4≈2.343，y≈2.828.即当x约为2.343，y约为2.828时，用料最省．10．既有一批货品由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地到B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运送成本由燃料费和其他费用构成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其他费用为每小时960元．(1)把全程运送成本y(元)表达为速度x(海里/时)的函数；(2)为了使全程运送成本最小，轮船应以多大速度航行？解：(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知函数的定义域为(0，35]，即y＝＋300x(0＜x≤35)．(2)由(1)得y′＝－＋300，令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．由于函数的定义域为(0，35]，因此函数在定义域内没有极值点．又当0＜x≤35时，y′＜0，因此函数y＝＋300x在(0，35]上单调递减，故当x＝35时，函数y＝＋300x获得最小值．故为了使全程运送成本最小，轮船应以35海里/时的速度航行．B级　能力提高1．某公司的赚钱y(元)和时间x(天)的函数关系是y＝f(x)，且f′(100)＝－1，这个数据阐明在第100天时(　　)A．公司已经亏损B．公司的赚钱在增长C．公司的赚钱在逐渐减少D．公司有时赚钱有时亏损解析：由于f′(100)＝－1，因此函数图象在x＝100处的切线的斜率为负值，阐明公司的赚钱在逐渐减少．答案：C2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货品的运费y2(万元)与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货品的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．于是由2＝，得k1＝20；由8＝10k2，得k2＝.因此，两项费用之和为y＝＋(x＞0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．当0＜x＜5时，y′＜0；当x＞5时，y′＞0.因此，当x＝5时，y获得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．答案：53．某公司生产某种产品的固定成本为20 000元，每生产1吨该产品需增长投入100元，已知总收益满足函数R(x)＝其中x是该产品的月产量(单位：吨)．(1)将利润表达为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为什么值时，该公司所获利润最大？最大利润为多少元？解：(1)f(x)＝(2)当0≤x≤400时，f′(x)＝－x＋300，当0≤x＜300时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x＞300时，f′(x)＜0，f(x)是减函数；因此 当x＝300时，f(x)获得极大值，也是最大值，且最大值为25 000.当x＞400时，f(x)＝60 000－100x，易知f(x)是减函数，因此 f(x)＜60 000－100×400＝20 000＜25 000，综上，当x＝300时，f(x)有最大值25 000.即当月产量为300吨时，利润最大，最大利润为25 000元．。