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[研究生入学考试题库]考研数学二模拟511一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 设A为秩是r的m×n矩阵，非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是A.r=m．B.m=n．C.r=n．D.m＜n．答案:A[解析] 因为A是m×n矩阵，r(A)=m说明A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的m个行向量也必线性无关．因此，，即方程组Ax=b必有解．但方程组有解时，并不要求秩必为优．所以A是充分条件．那么B、C、D错在何处? 当m=n时，A是秩为r的n阶矩阵，由于增广矩阵的秩不能保证必是r，因此推导不出方程组必有解； 当r(A)=n时，增广矩阵的秩有可能是n+1，因此不能保证Ax=b必有解．(注意A是m×n矩阵，m有可能大于n)你能举个反例吗? 当方程个数小于未知数个数时，Ax=b是否有解仍是不确定的．所以B、C、D均不是方程组有解的充分条件． 问题:2. 下列各选项正确的是 A．若，则存在a＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有f(x)≥g(x)． B．若存在δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有f(x)＞g(x)，且，则A0＞B0. C．若存在δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有f(x)＞g(x)，则． D．若，则存在δ＞0，使得当0＜|x-x0|＜δ时，有f(x)＞g(x)． 答案:D[解析] A考查保号性(极限值的大小推函数值的大小)，错在“条件和结论中的≥都应改为>”；B考查保号性的推论(函数值的大小推极限值的大小)，错在“结论中的>应改为≥”；C考查保号性的推论(函数值的大小推极限值的大小)，错在“没说极限存在”；D正确．问题:3. 设y=f(x)是满足微分方程y"+y'-esinx=0的解，且f'(x0)=0，则f(x)在A.x0某邻域内单调增加．B.x0某邻域内单调减少．C.x0处取得极小值．D.x0处取得极大值．答案:C[解析] 由于y=f(x)满足方程y"+y'-esinx=0，则 f"(x)+f'(x)-esinx≡0， 令x=x0，得f"(x0)+f'(x0)-esinx0=0， 即f"(x0)=esinx0＞0， 又f'(x0)=0，则f(x)在x0处取极小值． 本题不要试着去解方程得到y=f(x)的表达式，我们关心的是x0这一点的导数． 问题:4. 已知，P为3阶非零矩阵，且满足PQ=0，则______A.t=6时P的秩必为1．B.t=6时P的秩必为2．C.t≠6时P的秩必为1．D.t≠6时P的秩必为2．答案:C问题:5. 下列命题正确的是______． A．f(x)在点x0连续的充要条件是f(x)在点x0可导 B．若f'(x)=x2(偶函数)，则f(x)必是奇函数 C．若=a(常数)，则f'(0)=a D．若f(x)=则f'(0)=-1答案:D[考点] 函数f(x)在点x0的连续性与可导性以及f(x)与其原函数F(x)的奇偶性等之间的关系． 由连续、可导及奇偶性定义便可得结论． 解：由导数定义知 故应选D． 问题:6. 设A，B都是n阶可逆矩阵，则______.A.(A+B)*=A*+B*B.(AB)*=B*A*C.(A-B)*=A*-B*D.(A+B)*一定可逆答案:B[解析] 因为(AB)*=|AB|(AB)-1=|A||B|B-1A-1=1|B|B-1·|A|A-1=B*A*，所以选B．问题:7. 在区间(-∞，+∞)内，方程A.无实根．B.有且仅有一个实根．C.有且仅有两个实根．D.有无穷多个实根．答案:C[解析] 令，显然，f(x)是偶函数．所以，只要考虑f(x)=0在(0，+∞)上的实根情况．当x≥0时，．f(0)=-1＜0，． 又，则f(x)在上严格单调增，因此f(x)=0在上有唯一实根，而当时，f(x)＞0，故在(0，+∞)上方程f(x)=0有且仅有唯一实根，由对称性可知，f(x)=0在(-∞，+∞)上有且仅有两个实根． 问题:8. 设函数y=f(x)具有二阶导数，且f'(x)＜0，f"(x)＜0，Δx为自变量x在点x0处的增量，Δy与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若Δx＜0，则A.0＜dy＜Δy．B.0＜Δy＜dy．C.Δy＜dy＜0．D.dy＜Δy＜0．答案:B[解析] 由于dy=f'(x0)的Δx，而题中说f'(x)＜0，故f'(x0)＜0．又由于Δx＜0，所以有dy＞0. 由于．而题中说f"(x)＜0，这说明对于定义域内的任意一个点来说，都有f"(x)＜0，所以f"(ξ)＜0．由于，f"(ξ)＜0，(Δx)2＞0，所以，从而Δy-dy＜0，即Δy＜dy. 又由于Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，题中说Δx＜0，说明x0+Δx＜x0，而f'(x)＜0，说明f(x)为减函数，所以Δy＞0. 综上，有0＜Δy＜dy. 二、填空题问题:1. 设A，B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A*·B-1=______．答案: 问题:2. 设，且F(u，v)连续可偏导，则 答案:z[解析] 两边对x求偏导，得，解得； 两边对y求偏导，得，解得，于是 问题:3. 已知A是三阶方阵，其特征值分别为1，2，-3，则行列式|A|中主对角线元素的代数余子式之和A11+A22+A33=______．答案:-7[解析] 由伴随矩阵定义 又∑aii=∑λi，故只需求出伴随矩阵A*的特征值之和也就是代数余子式A11+A22+A33之和． 由|A|=Πλi=1·2·(-3)故A*的特征值：-6，-3，2，故A11+A22+A33=(-6)+(-3)+2=-7． 问题:4. 设y=y(x)由方程所确定，则 答案:-2π[解析] 由将x=0代入，有y=1． 再将所给方程两边对x求导，得于是 将x=0，y=1代入，得y'|x=0=3，y"|x=0=-2π． 问题:5. 当k=______时，向量β=(1，k，5)能由向量α1=(1，-3，2)，α2=(2，-1，1)线性表示．答案:-8；问题:6. 设，则f'(t)=______．答案:(1+2t)e2t．[解析] 由于，则f'(t)=e2t+2te2t=(1+2t)e2t．三、解答题本题共94分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．问题:1. 计算，其中D={(x，y)|x2+y2≤4x，0≤y≤x}．答案:解：令， 则 设f(x)在[a，b]有连续的二阶导数，求证：2. 答案:证明：[证法一] 其中 代入上式并移项再除以2即得结论． [证法二] 引进辅助函数 则F(a)=0， 由F"(x)=0(x∈[a，b])及F'(a)=0F'(x)=0(x∈[a，b])，又F(a)=0 特别有F(b)=0，即原积分等式成立．3. 若又有f(b)=f'(b)=0，则 答案:证：[证法一] 将①式改写成 因此 [证法二] 引进辅助函数 由F(3)(x)=0，x∈[a，b]，且F"(b)=0F"(x)=0(x∈[a，b])，又F'(b)=0F'(x)=0(x∈[a，b])，又由 F(x)=0(x∈[a，b])， 特别F(b)=0，即原积分等式成立．[解析] 要把化为被积函数中含有f"(x)的积分，自然要用分部积分法．为简化计算要注意某些小技巧．问题:4. 计算二重积分，其中区域D是由直线x=-2，y=0，y=2及曲线所围成的平面区域．答案:解：设曲线与y轴围成的平面区域为D0， 则 所以 问题:5. 设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT．答案:证明：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例， 令于是令，故A=αβT，显然α，β为非零向量．设A=αβT，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1.问题:6. 已知，求A的特征值与特征向量，并指出A可以相似对角化的条件．答案:解：由矩阵A的特征多项式 得到A的特征值是λ1=1-a，λ2=a，λ3=a+1． 由[(1-a)E-A]x=0 得到属于λ1=1-a的特征向量是α1=k1(1，0，1)T，k1≠0． 由(aE-A)x=0， 得到属于λ2=a的特征向量是α2=k2(1，1-2a，1)T，k2≠0． 由[(a+1)E-A]x=0， 得到属于λ3=a+1的特征向量α3=k3(2-a，-4a，a+2)T，k3≠0． 如果λ1，λ2,λ3互不相同，即1-a≠a，1-a≠a+1，a≠a+1，即且a≠0．则矩阵A有3个不同的特征值，A可以相似对角化． 若即，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化 若a=0，即λ1=λ3=1，此时A只有一个线性无关的特征向量，故A不能相似对角化． 不要错误地认为A必能对角化。

特征值含参数时，可能会有重根，因此要分析判断当a≠0且时，请写出可逆矩阵P及对角矩阵Λ．问题:7. 求微分方程y"+4y'+4y=0的通解．答案:解：特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=-2，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x．问题:8. 已知函数 在区间(-∞，+∞)内存在原函数，求常数A，并求f(x)在区间(-∞，+∞)内的所有原函数． 答案:解：由于f(x)在区间(-∞，+∞)内存在原函数，所以f(x)在区间(-∞，+∞)内连续，或f(x)在区间(-∞，+∞)内只有第二类间断点而没有第一类间断点， 由于 说明x=0不可能是f(x)的第二类间断点，故f(x)在x=0处一定连续． 根据连续的定义，有f(0)=A=0． 当x＜0时， 当x＞0时， 由于∫f(x)dx在x=0处可导，故在x=0处连续，于是1+C1=C2． 令C1=C，则f(x)在区间(-∞，+∞)内的所有原函数为 设矩阵9. 计算A2；答案:解： 10. 证明矩阵E+A可逆，并求(E+A)-1．答案:解：由 所以A+E可逆，且 求解下列方程：11. ydx+(y-x)dy=0，y(0)=1；答案:解：原方程可化为把x看成y的函数，y是自变量． 解得x=y(C-lny)． 又x(1)=0得C=0．即原方程解为x=-ylny． 12. x(y'+1)+sin(x+y)=0， 答案:解：令x+y=u．则u'=1+y'．于是原方程变为 。