大学高数下二重积分的计算借鉴.pptx

第二节 二重积分的计算一、利用直角坐标系计算二重积分三、利用极坐标系计算二重积分二、利用积分域和被积函数的对称性 计算二重积分 先将二重积分化为二次积分，然后先后计算两次定积分求得二重积分的值.如果积分区域 D 可表示为：其中函数 、 在区间 上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分1、x型区域则 D 称为 x型 区域 .应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果积分区域 D 可表示为：其中函数 、 在区间 上连续.2、y型区域则 D 称为 y型 区域 . x型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1) 如果积分区域 D 可表示为 x型 区域又可表示为 y型 区域 ，且 f(x,y)在D 上连续，则有：3、其他情形采用哪一种次序积分就取决于被积函数的结构.2) 如果积分区域 D 不是 x型 区域也不是 y型 区域 ，可用平行坐标轴的直线段分割，把D 分割为若干个两类标准区域，在每个标准区域上计算二重积分，再根据重积分对区域可加性， 在各个标准区域上的积分之和就是D 上的二重积分.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.例1解 求曲线的交点：画出草图并将区域写成不等式形式：计算：计算二重积分的几点说明：1) 化二重积分为二次积分的关键是：确定二次积分的上、下限，而二次积分中的上、下限又是由区域 D 的几何形状确定的，因此计算二重积分应先画出积分区域 D 的图形.2) 第一次积分的上、下限是函数或常数，而第二次积分中的上、下限一定是常数，且下限要小于上限.3) 积分次序选择的原则是两次积分都能够积出来，且区域的划分要尽量地简单.解如图解积分区域如图解积分区域如图解解例11解 先去掉绝对值符号，如图二、利用积分域和被积函数的对称性计算二重积分A三、利用极坐标系计算二重积分二重积分化为二次积分的公式（）1、极点O在D的外部区域特征如图区域特征如图二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图2、极点O在D的边界上极坐标系下区域的面积二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图3、极点O在D的内部法二:积分区域关于 x 轴对称,解解解解解解二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）四、小结y型x型（在积分中注意使用对称性）二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）思考题思考题解答思考题思考题解答练 习 题练习题答案练 习 题练习题答案。