导数和微分运算法则.ppt

导数与微分1函数的四则运算求导法则函数的四则运算求导法则小结小结 思考题思考题 作业作业函数的求导法则函数的求导法则反函数的求导法则反函数的求导法则基本求导法则与导数公式基本求导法则与导数公式复合函数的求导法则复合函数的求导法则2定理定理1并且并且则则它们的线性组合、积、商它们的线性组合、积、商 在点在点 x处也可导处也可导,一、函数的四则运算求导法则一、函数的四则运算求导法则3证证则由则由导数的定义导数的定义有有4证证由乘积的导数由乘积的导数:得得故故特别特别即即5推论推论且且你能给出相应的四则运算你能给出相应的四则运算微分微分法则吗？法则吗？6例例解解例例解解7例例解解同理可得同理可得即即8例例解解同理可得同理可得即即9解解 法一法一法二法二注注在进行求导运算中在进行求导运算中,且也能提高结果的准且也能提高结果的准这样使求导过程简单这样使求导过程简单,尽量先化简再求导尽量先化简再求导,确性确性.10用求导法则与用定义求导数时用求导法则与用定义求导数时, 结果有时不一致结果有时不一致,这是为什么这是为什么?如已知如已知无意义无意义,解解所以所以,不存在不存在.上述解法有问题吗上述解法有问题吗?注意问题出在注意问题出在不连续不连续.因此因此可能在不连续点处不代表该点处的导数值可能在不连续点处不代表该点处的导数值.用定义用定义!例例解解例例解解12或或 第一章定理第一章定理: 单调的连续函数必有单调的连续函数必有单调的连续反函数单调的连续反函数. .定理定理2且且二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则证证有有13 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .连续连续,故故从而从而因因14例例解解同理可得同理可得单调、可导单调、可导,直接函数直接函数 反函数反函数 15注注如果利用三角学中的公式如果利用三角学中的公式:也可得公式也可得公式也可得公式也可得公式16例例解解特别地特别地17定理定理3 链导法则链导法则三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则可导可导, ,且其导数为且其导数为或或因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间等于因变量对中间变量求导变量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导. .18证证19推广推广例例解解20例例解解例例解解21例例解解例例解解22因为因为所以所以的情形证明幂函数的导数公式的情形证明幂函数的导数公式一阶微分形式的不变性结论结论：：微分形式的不变性微分形式的不变性例例解解例例解解251. 常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式262. 函数的线性组合、积、商的求导法则函数的线性组合、积、商的求导法则都可导都可导, 则则3. 反函数的求导法则反函数的求导法则或或且且274. 复合函数的求导法则复合函数的求导法则初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.注注 利用上述公式及法则初等函数求导问题利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决可完全解决.28证明下列双曲函数与反双曲函数的导数公式证明下列双曲函数与反双曲函数的导数公式:例例证证 29证证 30例例解解31例例解解32例例解解33例例解解所以所以34例例解解35例例证证由于斜率相等由于斜率相等,知二切线平行知二切线平行.(1) 求交点求交点分别为曲线在分别为曲线在A, B点点的切线斜率的切线斜率.(2) 求导数求导数作的曲线的切线彼此平行作的曲线的切线彼此平行.36解解'37解解注注则则上式中上式中是函数是函数 f 对括号中的中间对括号中的中间变量求导变量求导,?38解解 分析分析 这是抽象函数与具体函数相结合的导数这是抽象函数与具体函数相结合的导数, 综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及综合运用函数线性组合、积、商求导法则以及 复合函数求导法则复合函数求导法则.39答案答案解解微分的求法求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则例例解解例例解解43(注意成立条件注意成立条件);复合函数的求导法则复合函数的求导法则五、小结五、小结不能遗漏不能遗漏);(对于对于复合函数复合函数,反函数的求导法则反函数的求导法则层的复合结构层的复合结构,注意一层注意一层函数的积、商求导法则函数的积、商求导法则注意注意记住基本初等函数的导数公式记住基本初等函数的导数公式44思考题思考题(是非题是非题)非非例如例如处处可导处处可导,处不可导处不可导,但复合函数但复合函数处处可导处处可导.。