5 杆系结构单元 有限元课件.ppt

第五章 杆系结构单元,5.1 概述 杆系结构：梁、拱、框架、桁架等，它们常可离散成杆元和梁元拱,框架,桁架,,,,,结构离散,取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承的交点为节点相邻两节点间的杆件段是单元节点编号时力求单元两端点号差最小坐标系,有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标并且拒不坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样，同类型单元刚度矩阵相同杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种类型它们都只有2个节点i、j约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向 y轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯性主轴5.2 杆单元,下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px单元有2个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x1、一维杆单元,单元结点力向量：,（1）位移模式和形函数,① 位移模式,单元结点位移向量,因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度，因此单元的位移模式可设为：,,（5-3）,式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件x=xi 时， u=uix=xj 时， u=uj 确定。

再将由此确定的a1、a2 其代入式（5-3），得,,② 形函数,将式（5-4）改写为下列形式,,（5-5）,式中形函数[N]为,,（5-6）,（2）应变矩阵,一维铰接杆单元仅有轴向应变,将式（5-5）、（5-6）代入上式，得,上式也可写为,,（5-7）,式中[B]为应变矩阵,,（5-8）,由应力应变关系,（3）应力矩阵,,将式（5-7）代入上式，得,,（5-9）,式中[S]为应力矩阵,,（5-10）,,,(4) 单元刚度矩阵,单元刚度矩阵仍式（1-33）推出,（1-33）,对于等截面铰接杆单元（截面积为A ） ，v=Adx，故有：,(5-11),,,(5) 等效节点力,单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍为以下形式,,当分布力集度px为常数时，有,,（5-13）,（5-12）,将式（5-8）代入上式，得,例5-1 一维拉杆,图示阶梯形直杆，各段长度均为，横截面积分别为3A，2A，A，材料重度为γ，弹性模量E求结点位移和各段杆中内力离散化：将单元划分为3个单元，4个结点 单元刚度矩阵：,1 2,2 3,3 4,等效结点荷载：按静力等效原则，有:,,,,对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:,,设结点1的约束反力为F1，则有:,整体结构平衡方程,,划去节点1所对应的第1行、行1列 。

解得结点位移,,,,,,2、平面桁架杆单元（2D LINK1）,（1）单元坐标单元位移向量,看成局部坐标下的拉压杆,（5-15）,应力矩阵,（5-16）,应变矩阵,单元刚度矩阵,（5-14）,形函数,（5-16）,等效节点力,静力等效,3、空间杆单元（3D LINK8）,（1）单元坐标单元位移向量,（5-18）,（2）形函数,（5-19）,（3）应变矩阵,（5-20）,（4）应力矩阵,（5-21）,(5) 等价节点力,（5-22）,(6) 单元坐标单元刚度矩阵,对于等截面铰接杆单元，,5.4 梁单元,1、两端承受剪力、弯矩的平面梁单元,（1）局部坐标下单元位移和单元力,① 单元位移,（5-24）,其中， v——y方向位移，即挠度——角位移② 单元力,（5-26）,其中， Q——剪力M——弯矩,（5-27）,（2）位移函数和形函数,,（5-28）,① 位移模式设单元坐标位移模式为,② 形函数,由单元两端点的节点位移条件，解出式（5-28）中的a1、a2、a3、a4再代入该式，可将位移模式写为以下形式：,梁单元内一点有2个位移： v、,因为， =dv/dx；仅一个位移是独立的，取 v 。

5-29）,式中,,（5-30）,,（5-31）,（3）应变矩阵,① 单元弯曲应变b与节点位移e的关系梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：,（5-32）,将式（5-29）代入（5-32），得单元弯曲应变和单元位移之间关系,（5-34）,（5-33）,（4）应力矩阵,,(5) 等效节点力,对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为结点，按结构的节点载荷处理这里仅考虑把单元上的横向分布载荷转化为等价节点力问题5-36）,将形函数矩阵[N]代入上式，积分可得分布荷载的等效结点力表1给出了几种特殊情况的等价节点力q,几种横向分布荷载等价节点力 表 1,,(6) 单元坐标单元刚度矩阵,梁单元刚度矩阵公式为,,将式（4-34）代入上式进行积分，并注意到,Iz——梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩,得单元坐标单元刚度矩阵[k]e:,（5-37）,,单元刚度矩阵式(5-38)适合于连续梁分析整体坐标与局部坐标方向一致例5-4 变截面梁,有一变截面梁，一端固定，另一端铰支梁长为2l，固支端的截面尽寸为b×1.6h，铰支端的截面尺寸为b×h梁上作用均布载荷p0。

求梁端的约束反力x,y,离散化将梁划分成2个单元，3个结点每个单元 长度为,截面取平均截面单元刚度矩阵,,,i,j,,,,,1 2,2 3,对号入座，组合整体刚度矩阵,,1 2 3,荷载等效结点力向量,,,约束反力向量,,1 2 3,,总荷载向量,引入边界条件,,将整体平衡方程中对应的1、2、5行和总刚中1、2、5列删去 ，得,,解方程组，得结点位移值,,将结点位移值代入整体平衡方程，可得约束反力,,2、两端承受轴力、剪力、弯矩的平面梁单元 （平面刚架，BEAM3),（1）单元坐标单元位移和单元力,① 单元位移,（5-39）,其中，,u——x方向（轴向）位移v——y方向位移，即挠度——角位移② 单元力,（5-40）,其中， N——轴向力Q——剪力M——弯矩,对于小变形问题，可以认为轴向变形和弯曲变形互不影响，因此，位移模式和形函数可以分别按5.3节一维拉压杆单元和弯剪平面梁单元的结果（式5-3和式5-28）简单集合而成。

2）位移函数和形函数,,① 位移模式,（5-41）,② 形函数,式中形函数[N]为：,（5-42）,（5-43）,其中,,,,,（3）应变矩阵,① 单元弯曲应变与节点位移e的关系轴剪弯梁单元上任一点的应变，应为该点挠度（v）引起的应变和轴向位移（u）引起的应变之和单元应变矩阵为：,（5-44）,(5) 等价节点力,（4）应力矩阵,（5-46）,将式弯剪梁（5-36）、一维杆（5-11）膨胀成6×1矩阵后相加，并注意到式（5-43），有,一维杆,弯剪梁,最后得等价节点力矩阵,（5-47）,几种横向分布荷载等价节点力 表 2,(6) 单元坐标单元刚度矩阵,梁单元刚度矩阵公式为,,,,,,,3、两端承受扭矩和面外剪力、弯矩的平面梁单元 (面外弯剪扭梁单元）,由于结构本身是平面结构，而节点也是3个自由度，所以仍称为平面梁单元此类单元适用于受面外荷载的平面框架x、Mx——截面绕扭心轴x的扭转角和相应扭矩 y、My——截面绕y轴的弯曲转角和相应弯矩 w、Q——截面形心沿z轴的横向位移和相应横向剪力如果截面形心和扭心不重合，则弯曲和扭转之间是相互不独立的。

这里只讨论截面形心与扭心重合或可以近似认为重合的情形，弯曲和扭转之间是相互独立的另外，扭转仅限于纯扭转或称均匀扭转其特点是扭矩和扭率（单位长度上的相对扭转角）成正比即,（5-49）,扭矩平衡条件,（5-50）,由此得,（5-51）,式中：GJ为截面扭转刚度只需要将式（5-48）中的Iz换成Iy，并注意编号次序同时考虑到式（5-51），即得,,4、空间梁单元(BEAM4),空间梁单元，每个节点有6个自由度，单元自由度为12下图给出了空间梁单元节点位移分量的正方向及其编号单元力的正向及其编号与单元位移相同综合前述结果，得空间梁单元单元坐标单元刚度矩阵(式5-53）～（式5-57）轴弯剪(5-48）、弯剪扭（5-52）,,（5-54）,（5-55）,（5-56）,（5-57）,,5.5 坐标变换,在5.3、5.4节中，单元位移和单元力都是按单元坐标系的坐标轴分量定义的，由此建立的单元刚度矩阵属于单元坐标单元刚度矩阵进行系统分析时，需要把单元力按统一的结构坐标轴的分量表示出来，以便建立结点平衡方程因此，在进行系统分析之前，必须把单元坐标系中的单元力以及单元刚度矩阵都转换到结构坐标系中去此外，还需要把结构坐标系中的节点位移转换到单元坐标系中去，以计算结构内力。

这一转换过程称为坐标变换一维杆和弯剪梁单元不需要坐标变换，因两种坐标系统方向一致),结构坐标符号约定：,——结构坐标单元位移F——结构坐标单元力[k]——结构坐标单元刚度矩阵,1、坐标变换矩阵定义,把单元位移从结构坐标系转换到单元坐标系的变换矩阵定义为坐标变换矩阵，用符号[T]表示有,单元坐标中的符号约定：,e——单元坐标单元位移 Fe——单元坐标单元力[k]e——单元坐标单元刚度矩阵,式（5-58）给出了结构坐标单元位移转换为单元坐标单元位移的转换式，同时是坐标变换矩阵[T]的定义式2、结构坐标单元力,单元力在单元位移上作的功，不因其坐标系的改变而变则有,（5-58）,将式（5-58）代入，,对上式两端进行转置，注意到,消去，得,即得,（5-59）,式（5-59）表明：结构坐标单元力等于单元坐标单元力前乘坐标变换矩阵的转置在单元坐标系中，有,3、结构坐标单元刚度矩阵,上式两端左乘[T]T，,注意到式（5-58）、（5-59），有,[k]——结构坐标单元刚度矩阵 得,（5-60）,式（5-60）给出了把单元坐标单元刚度矩阵转换为结构坐标单元刚度矩阵的转换式引入,5.6 坐标变换矩阵,坐标变换矩阵因单元类型不同而异。

1、平面铰接杆单元（桁架元）,设OXY为结构坐标，oxy为单元坐标为从单元 i 端出发的任一矢量它在结构坐标系中的分量为X、Y, 在单元坐标系中的分量为x、y结构坐标系中的分量X、Y 在单元坐标x轴上投影的代数和给出x 同理， X、Y 在单元坐标y轴上投影的代数和给出y 5-61）,写成矩阵形式，,cd-ca,取,x对X、Y的方向余弦 y对X、Y的方向余弦,,,同理可得单元j节点在单元坐标系和结构坐标系中的位移向量：,有,组合上述结果，得平面铰接杆单元的单元坐标单元位移和结构坐标单元位移之间关系：,i、j两节点间的位移变换关系互不耦合上式可写成,坐标变换矩阵[T]的计算式：,2、弯剪平面梁单元,如果在连续梁中使用这类单元，通常可将单元坐标和结构坐标方向取得一致此时，无须进行坐标变换于是得到：,3、轴剪弯平面梁单元（刚架）,,4、面外弯剪扭平面梁单元,此时，xy平面和结构坐标系XY平面仍在同一平面上，因而z轴和结构坐标系的Z轴指向相同，只须取,在单元坐标系中，单元每个节点（如i）有3个位移分量： xi、yi和wi,它的变换式和承受轴弯剪平面梁单元中向量,的变换式相同。

并且恒有,向量,因此，变换矩阵与轴弯剪平面梁单元相同轴弯剪平面梁单元,由此知：,5、空间杆单元,空间杆单元的每个节点有3个相互垂直的线位移分量（u、v、w）单元自由度为6，如下图其中，坐标变换矩阵[T]与轴弯剪平面梁单元相同。