人教版 高中数学【选修 21】第三章空间向量与立体几何测评B.doc

2019年编·人教版高中数学 高中数学 第三章 空间向量与立体几何测评B 新人教A版选修2-1 (高考体验卷)(时间:90分钟　满分:100分)第Ⅰ卷(选择题　共50分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·广东高考)已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)A.(-1,1,0) B.(1,-1,0)C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)解析:对于A中的向量a1=(-1,1,0),cos==-,a1与a的夹角为120°,不合题意;对于B中的向量a2=(1,-1,0),cos=,a2与a的夹角为60°,符合题意;对于C中的向量a3=(0,-1,1),cos==-,a3与a的夹角为120°,不合题意;对于D中的向量a4=(-1,0,1),cos==-1,a4与a的夹角为180°,不合题意,故选B.答案:B2.(2014·广东高考)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=(　　)A.(-2,1) B.(2,-1)C.(2,0) D.(4,3)解析:由题意得b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1),故选B.答案:B3.(2015·吉林模拟)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量、法向量,若cos=-,则l与α所成的角为(　　)A.30° B.60° C.120° D.150°解析:设l与α所成的角为θ,则sin θ=|cos|=,故θ=30°.答案:A4.(2014·云南昆明模拟)如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE.则M点的坐标为(　　)A.(1,1,1) B.C. D.解析:设AC与BD相交于O点,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,∴AM∥EO.又O是正方形ABCD对角线交点,∴M为线段EF的中点.在空间坐标系中,E(0,0,1),F(,1),由中点坐标公式,知点M的坐标.答案:C5.(2012·陕西高考)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　)A. B.C. D.解析:不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).∴=(0,2,-1),=(-2,2,1).cos<>=,故选A.答案:A6.(2014·福建泉州二模)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则点D1到平面A1BD的距离是(　　)A. B.C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),∴=(2,0,0),=(2,0,2),=(2,2,0),设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,-1,-1),∴点D1到平面A1BD的距离是d=.答案:D7.(2015·广西桂林模拟)已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a,b,c三向量共面,则实数λ等于(　　)A. B. C. D.解析:不妨设c=xa+yb,则得解得x=,y=,从而求得λ=.答案:D8.(2015·山西太原模拟)三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=90°,∠BAC=60°,则等于(　　)A.-2 B.2C.-2 D.2解析:·()==2×2×cos 90°-2×2×cos 60°=-2.答案:A9.(2015·山东潍坊模拟)如图,甲站在水库底面上的点D处,乙站在水坝斜面上的点C处,已知库底与水坝所成的二面角为120°,测得从D,C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30米,CB=40米,又已知AB=20米,则甲、乙两人相距(　　)A.50米 B.10米C.60米 D.70米解析:由于,所以||2=()2=||2+||2+||2+2()=302+(20)2+402+2(0+0+30·40·cos 60°)=4 900,于是||=70,故甲、乙两人相距70米.答案:D10.(2015·深圳模拟)动点E在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC上,F是CD的中点,则二面角C1-EF-C的余弦值的取值范围是(　　)A. B.C. D.解析:建立如图所示的空间直角坐标系.设棱长为1,|CE|=x(0==.答案:A第Ⅱ卷(非选择题　共50分)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.(2015·湖北武汉模拟)已知=(2,2,1),=(4,5,3),则平面ABC的单位法向量是　　　　　. 解析:设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则令z=1,得所以n=,故平面ABC的单位法向量为±=±.答案:±12.(2013·上海高考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1B与B1C所成角的大小为　　　　　. 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,0),B1(1,1,1),故=(0,1,-1),=(-1,0,-1),cos<>=,即A1B与B1C夹角为.答案:13.(2015·辽宁大连模拟)设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a=　　　　　. 解析:=(-1,-3,2),=(6,-1,4).根据共面向量定理,设=x+y(x,y∈R),则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4)=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),∴解得x=-7,y=4,a=16.答案:1614.(2013·云南玉溪一中月考)设动点P在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,记=λ.当∠APC为钝角时,则λ的取值范围是　　　　　. 解析:由已知建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),则=(1,1,-1),=λ=(λ,λ,-λ),=(1,0,-1),=(0,1,-1).故=(1-λ,-λ,λ-1),=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1).显然∠APC不是平角,由∠APC为钝角,得<0,即-λ(1-λ)-λ(1-λ)+(λ-1)2<0,故(λ-1)(3λ-1)<0,解得<λ<1.答案:15.(2014·四川资阳三模)△ABC和△DBC所在的平面相互垂直,且AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120°,则AD和平面BCD所成的角为　　　　　. 解析:设AB=1,作AO⊥BC于点O,连接DO,则AO⊥BC,OD⊥BC.又∵平面ABC⊥平面DBC,∴AO⊥平面DBC,得AO⊥DO,故以点O为原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图.得下列坐标:O(0,0,0),D,B,C,A.∴.设n1=(x,y,z),为平面BCD的一个法向量,则故可设n1=(0,0,1).则|cos<,n1>|=.∴直线AD与平面BCD所成角的大小为90°-45°=45°.答案:45°三、解答题(本大题共4小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(6分)(2015·天津高考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)求二面角D1-AC-B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.解:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,-2,1).(1)证明:依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量..由此可得·n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos==-,于是sin=.所以,二面角D1-AC-B1的正弦值为.(3)依题意,可设=λ,其中λ∈[0,1],则E(0,λ,2),从而=(-1,λ+2,1).又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos<,n>=,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈[0,1],解得λ=-2.所以,线段A1E的长为-2.17.(6分)(2015·山东高考)如图,在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.(1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=O,连接OH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.则O为CD的中点,又H为BC的中点,所以OH∥BD,又OH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形.可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF=H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)解法一:设AB=2,则CF=1.在三棱台DEF-ABC中,G为AC的中点,由DF=AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形,因此DG∥FC.又FC⊥平面ABC,所以DG⊥平面ABC.在△ABC中,由AB⊥BC,∠BAC=45°,G是AC中点,所以AB=BC,GB⊥GC,因此GB,GC,GD两两垂直.以G为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.所以G(0,0,0),B(,0,0),C(0,,0),D(0,0,1).可得H,F(0,,1),故=(0,,1).设n=(x,y,z)是平面FGH的一个法向量,则由可得可得平面FGH的一个法向量n=(1,-1,).因为是平面ACFD的一个法向量,=(,0,0),所以cos<,n>=。