最新高中数学推理与证明.doc

推理与证明要点1：合情推理例1：〔2023·福建高考文科·Ｔ１６〕观察以下等式： ① cos2a=2-1;② cos4a=8- 8+ 1;③ cos6a=32- 48+ 18- 1;④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1;⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推测，m – n + p =.【标准解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，，，又，，．【答案】962．要点2：演绎推理例2：〔2023·浙江高考理科·Ｔ14〕设，将的最小值记为，那么其中=__________________ .【标准解答】观察表达式的特点可以看出，……，当为偶数时，；，，……，当为奇数时，．【答案】．要点3：直接证明与间接证明例3：〔2023·北京高考文科·Ｔ20〕集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为〔Ⅰ〕当n=5时，设，求，；〔Ⅱ〕证明：，且;(Ⅲ) 证明：三个数中至少有一个是偶数【思路点拨】〔I〕〔Ⅱ〕直接按定义证明即可；(Ⅲ) “至少〞问题可采用反证法证明．【标准解答】〔Ⅰ〕＝〔1,0,1,0,1〕＝3(Ⅱ)设因为，所以,从而,由题意知,当时，,当时，,所以(Ⅲ)证明：设,记由〔Ⅱ〕可知,所以中1的个数为k,中1的个数为,设是使成立的的个数。

那么由此可知，三个数不可能都是奇数，即三个数中至少有一个是偶数．注：有关否认性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可；要点4：数学归纳法例4：等比数列{}的前n项和为， 对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.〔1〕求r的值;〔11〕当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立【解析】因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,〔2〕当b=2时，, ,那么,所以 . 下面用数学归纳法证明不等式成立.① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.② 假设当时不等式成立,即成立.那么当时,左边=所以当时,不等式也成立.由①、②可得不等式恒成立.注：〔1〕用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式，命题关键在于“先看项〞，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项〔2〕在本例证明过程中，①考虑“n取第一个值的命题形式〞时，需认真对待，一般情况是把第一个值供稿通项，判断命题的真假，②在由n=k到n=k+1的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。

〔3〕在用数学归纳法证明的第2个步骤中，突出了两个凑字，一“凑〞假设，二“凑〞结论，关键是明确n=k+1时证明的目标，充分考虑由n=k到n=k+1时，命题形式之间的区别和联系高考真题探究】1．〔2023·山东高考文科·Ｔ１０〕观察，，，由归纳推理可得：假设定义在上的函数满足，记为的导函数，那么=〔 〕〔A〕 (B) (C) (D)【标准解答】选D．通过观察所给的结论可知，假设是偶函数，那么导函数是奇函数，应选D．2．〔2023·陕西高考理科·Ｔ１２〕观察以下等式：,……，根据上述规律，第五个等式为 ____________.【标准解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：即左边底数的和等于右边的底数故第五个等式为：【答案】3．〔2023·北京高考理科·Ｔ20〕集合对于，，定义A与B的差为A与B之间的距离为；〔Ⅰ〕证明：，且;〔Ⅱ〕证明：三个数中至少有一个是偶数(Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P).证明：〔P〕≤.【思路点拨】〔I〕直接按定义证明即可；〔Ⅱ〕“至少〞问题可采用反证法证明；(Ⅲ)把表示出来，再利用均值不等式证明．【标准解答】〔I〕设，，因为，，所以,,从而又,由题意知，，.,当时，;,当时，,所以,(II)设，，，，. 记，由〔I〕可知,，,,所以中1的个数为，中1的 个数为．设是使成立的的个数，那么由此可知，三个数不可能都是奇数，即,,三个数中至少有一个是偶数．〔III〕,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0 那么＝,由于 所以,从而【方法技巧】〔1〕证明“至少有一个……〞的时，一般采用反证法；〔2〕证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为根本不等式．4．〔2023·江苏高考·Ｔ23〕△ABC的三边长都是有理数。

1） 求证：cosA是有理数；〔2〕求证：对任意正整数n，cosnA是有理数思路点拨】〔1〕利用余弦定理表示cosA，由三边是有理数，求得结论；〔2〕可利用数学归纳法证明.【标准解答】方法一：〔1〕设三边长分别为，，∵是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴必为有理数，∴cosA是有理数〔2〕①当时，显然cosA是有理数；当时，∵，因为cosA是有理数， ∴也是有理数；②假设当时，结论成立，即coskA、均是有理数当时，，，，解得：∵cosA，，均是有理数，∴是有理数，∴是有理数即当时，结论成立综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数方法二：〔1〕由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知是有理数〔2〕用数学归纳法证明cosnA和都是有理数①当时，由〔1〕知是有理数，从而有也是有理数②假设当时，和都是有理数当时，由，，及①和归纳假设，知和都是有理数即当时，结论成立综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数5．〔2023江苏高考〕设≥＞0,求证：≥.【解析】本小题主要考查比拟法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力总分值10分证明：因为≥＞0,所以≥0，＞0，从而≥0，即≥.6．〔2023安徽高考〕设数列满足为实数〔Ⅰ〕证明：对任意成立的充分必要条件是；〔Ⅱ〕设，证明：;〔Ⅲ〕设，证明：【解析】〔Ⅰ〕必要性：∵，又∵，∴，即.充分性：设，对任意用数学归纳法证明.当时，.假设当时，，那么，且，.由数学归纳法知，对任意成立.(Ⅱ) 设，当时，，结论成立；当时，∵，∴.∵，由〔Ⅰ〕知，∴且，∴，∴.(Ⅲ)设,当时，，结论成立；当时，由(Ⅱ)知，∴.∴.【跟踪模拟训练】一、选择题〔每题6分，共36分〕1．是的充分不必要条件，那么是的〔 〕〔Ａ〕 充分不必要条件 〔Ｂ〕 必要不充分条件〔Ｃ〕 充要条件 〔Ｄ〕 既不充分也不必要条件2．设a、b、c都是正数，那么,,三个数〔 〕A、都大于2 B、至少有一个大于2 C、至少有一个不大于2 D、至少有一个不小于23．在△中，所对的边分别为，且，那么△一定是〔 〕〔Ａ〕 等腰三角形 〔Ｂ〕 直角三角形 〔Ｃ〕等边三角形 〔Ｄ〕 等腰直角三角形4．函数的定义域为，假设对于任意的，都有，那么称为上的凹函数.由此可得以下函数中的凹函数为 〔 〕 〔Ａ〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕5.给定正整数n(n≥2)按以下图方式构成三角形数表；第一行依次写上数1，2，3，…，n，在下面一行的每相邻两个数的正中间上方写上这两个数之和，得到上面一行的数〔比下一行少一个数〕，依次类推，最后一行〔第n行〕只有一个数.例如n=6时数表如下图，那么当n=2 007时最后一行的数是〔 〕(A)251×22 007 (B)2 007×22 006 (C)251×22 008 (D)2 007×22 0056.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{an}(n∈N*)的前12项〔即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项〕，按如此规律下去,那么a2 009+a2 010+a2 011等于( )(A)1 003(B)1 005 (C)1 006(D)2 011二、填空题〔每题6分，共18分〕7．对于等差数列有如下命题：“假设是等差数列，，是互不相等的正整数，那么有〞。

类比此命题，给出等比数列相应的一个正确命题是：“________________________〞8．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，那么△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.〔用“锐角〞、“钝角〞或“直角〞填空〕9．(2023汉沽模拟)在直角三角形中，两直角边分别为，设为斜边上的高，那么，由此类比：三棱锥的三个侧棱两两垂直，且长分别为，设棱锥底面上的高为，那么. 三、解答题〔10、11题每题15分，12题16分，共46分〕10.观察下表：1，2，34，5，6，78，9，10，11，12，13，14，15，……问：〔1〕此表第n行的最后一个数是多少？〔2〕此表第n行的各个数之和是多少？〔3〕2023是第几行的第几个数?〔4〕是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227-213-120？假设存在，求出n的值；假设不存在，请说明理由.11．数列：，，，〔是正整数〕，与数列：，，，，〔是正整数〕．记．〔1〕假设，求的值；〔2〕求证：当是正整数时，；〔3〕，且存在正整数，使得在，，，中有4项为100．求的值，并指出哪4项为100．12．数列，，，．记．．求证：当时，〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕。

参考答案一、选择题1．【解析】选Ａ.反证法的原理：“原命题〞与“逆否命题〞同真假，即：假设那么.2．【解析】选D.3．【解析】选A.，，，又因为，；4．【解析】选C.可以根据图像直观观察；对于〔C〕证明如下：欲证，即证，即证，即证，显然，这个不等式是成立的，且每一步可逆，故原不等式得证；5．【解析】选C.由题意知，112=7×24,48=6×23，20=5×22，故n行时，最后一行数为(n+1)·2n-2，所以当n=2 007时，最后一行数为2 008×22 005=251×22 008.二、填空题6．【解析】选B.观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半.a4n-3=n,a4n-1=-n,又2 009=4×503-3,2 011=4×503-1,∴a2 009=503,a2 011=-503,a2 010=1 005,∴a2 009+a2 010+a2 011=1 005.7．【解析】这是一个从等差数列到等比数列的平行类比，等差数列中类比到等比数列经常是，类比方法的关键在于善于发现不同对象之间的“相似〞，“相似〞是类比的根底 .答案：假设是等比数列，，是互不相等的正整数，那么有。

8．答案：锐角 钝角9．答案：三、解答题10．【解析】〔1〕∵第n+1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n-1.〔2〕2n-1+〔2n-1+1〕+(2n-1+2)+…+〔2n-1〕=3·22n-3-2n-2.〔3〕∵210=1 024,211=2 048,1 024＜2 010＜2 048，∴2 010在第11行，该。