高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 文 苏教版.ppt

§6.2　等差数列及其前n项和基础知识　自主学习课时作业题型分类　深度剖析内容索引基基础础知知识识　自主学　自主学习习1.等差数列的定义等差数列的定义一般地，如果一个数列___________________________________________ ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字母 表示.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是_________ .3.等差中项等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A叫做a与b的 .知识梳理从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数公差dan＝a1＋(n－1)d等差中项4.等差数列的常用性质等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 .(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列.(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列.(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列.(n－m)dak＋al＝am＋an2dmd5.等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ 或Sn＝ .6.等差数列的前等差数列的前n项和公式与函数的关系项和公式与函数的关系数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).7.等差数列的前等差数列的前n项和的最值项和的最值在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最 值；若a1<0，d>0，则Sn存在最 值.大小知识拓展知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列.(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2 (n∈N*)⇔{an}是等差数列.(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.思考辨析思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)(4)已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差为－2.(　　)×√√×√√考点自测1.(教材改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1＝___.答案解析2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为 ，则这五个数的积为_____.设第三个数为a，公差为d，则这五个数分别为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，由已知条件得答案解析3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝_____.得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝ ＝1，∴a100＝a10＋90d＝98.答案解析984.设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7＝_____.∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.答案解析285.若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝___时，{an}的前n项和最大.因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大.答案解析8题题型分型分类类　深度剖析　深度剖析题型一　等差数列基本量的运算题型一　等差数列基本量的运算例例1　　(1)(2016·北京)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝____.∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2.答案解析6(2)(2016·徐州、宿迁模拟)已知公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝3，则 的值为____.答案解析等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.思维升华跟踪训练跟踪训练1　(2016·江苏)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋＝－3，S5＝10，则a9的值是______.设等差数列{an}的公差为d，答案解析20题型二　等差数列的判定与题型二　等差数列的判定与证明证明例例2　　已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝ (n∈N*).(1)求证：数列{bn}是等差数列；因为an＝2－ (n≥2，n∈N*)， bn＝ (n∈N*)，证明所以数列{bn}是以－ 为首项，1为公差的等差数列.(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由.由(1)知bn＝n－ ，所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.解答引申探究引申探究例2中，若条件变为a1＝ ，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.解答等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列.(3)通项公式法：得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列.(4)前n项和公式法：得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列.思维升华跟跟踪踪训训练练2　　(1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝ (n∈N*)，则该数列的通项为______.答案解析(2)已知等差数列{an}中，a4＋a6＝10，若前5项的和S5＝5，则其公差为___.因为a4＋a6＝10，所以2a5＝10，则a5＝5，又S5＝ ＝5a3＝5，故a3＝1，从而2d＝a5－a3＝4，故d＝2.答案解析2由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列.(3)数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.①设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；证明由①得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是 ＝1(ak＋1－ak)＝ ＝1(2k－1)，所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.②求{an}的通项公式.解答题型三　等差数列性质的应用题型三　等差数列性质的应用命题点命题点1　等差数列项的性质　等差数列项的性质例例3　　(1)(2015·广东)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝____.因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.答案解析10(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝_____.因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.答案解析21命题点命题点2　等差数列前　等差数列前n项和的性质项和的性质例例4　　(1)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝－12，S9＝45，则S12＝_____.因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，即2(S6＋12)＝－12＋(45－S6)，解得S6＝3.又2(S9－S6)＝(S6－S3)＋(S12－S9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S12－45)，解得S12＝114.答案解析114(2)在等差数列{an}中，a1＝－2 018，其前n项和为Sn，若 ＝2，则S2 018的值为_______.由题意知，数列{ }为等差数列，其公差为1，＝－2 018＋2 017＝－1.∴S2 018＝－2 018.答案解析－2 018等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.思维升华跟跟踪踪训训练练3　(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝___.答案解析88(2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若 ，则＝____.答案解析考考点点分分析析　公差不为0的等差数列，求其前n项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.典典例例1　　(1)在等差数列{an}中，2(a1＋a3＋a5)＋3(a7＋a9)＝54，则此数列前10项的和S10＝____。

答案解析等差数列的前n项和及其最值高频小考点高频小考点645由题意得a3＋a8＝9，(2)在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝______.答案解析－110典典例例2　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值.规范解答课时课时作作业业1.(教材改编)在等差数列{an}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝____. ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴3d＝a5－a2＝6.则a6＝a3＋3d＝7＋6＝13.答案解析1312345678910111213142.(教材改编)设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝_____.答案解析4912345678910111213143.数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝____.设{bn}的公差为d，∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋＝7×(－6)＋21×2＝0.又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，∴a8＝3.答案解析312345678910111213144.在等差数列{an}中，a9＝ a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝_____.答案解析方法一　由a1＋8d＝ (a1＋11d)＋6，得a1＋5d＝12，∴a1＝12－5d.又S11＝11a1＋ ＝11a1＋55d＝11(12－5d)＋55d＝132.方法二　由a9＝ a12＋6，得2a9－a12＝12.由等差数列的性质得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，13212345678910111213145.已知数列{an}满足an＋1＝an－ ，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为______.答案解析由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－ 的等差数列，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或n＝8.7或812345678910111213146.(2016·南通模拟)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为_____.答案解析由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17，又a2＝3，1012345678910111213147.(2015·安徽)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2)，则数列{an}的前9项和等于____.答案解析由题意知数列{an}是以1为首项，以 为公差的等差数列，271234567891011121314答案解析123456789101112131412345678910111213149.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有 的值为____.答案解析∵{an}，{bn}为等差数列，123456789101112131410.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝ ，Sk＝－12，则正整数k＝ .13答案解析解得k＝13.11.(2016·苏州暑假测试) 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝ ，且an(an－1＋an＋1)＝2an＋1an－1(n≥2)，则a2 016＝______.答案解析又a1＝1，a2＝ ，所以数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列.123456789101112131412.已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8.(1)求等差数列{an}的通项公式；解答1234567891011121314设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.解答1234567891011121314*13.已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且满足2Sn＝a＋n－4(n∈N*).(1)求证：数列{an}为等差数列；证明1234567891011121314(2)求数列{an}的通项公式.解答由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{an}的通项公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.123456789101112131414.(2016·苏北四市摸底)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2＋k(n∈N*，k∈R)，且a1＝2，a3＋a5＝－4.(1)若k＝0，求数列{an}的前n项和Sn；解答当k＝0时，2an＋1＝an＋an＋2，即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以数列{an}是等差数列.设数列{an}的公差为d，1234567891011121314(2)若a4＝－1，求数列{an}的通项公式.解答1234567891011121314。