全国高中数学竞赛二试模拟训练题(16).doc

加试模拟训练题（16）1、已知圆心分别为的圆外切于点，并内切于圆，切点分别为，过点作的公切线设圆的直径垂直于，使得在的同侧，证明三线交于一点第47届IMO预选题）2、已知,且,求证: 3、给定四个数a、b、c、d，按下列法则进行变换：前一个乘后一个，第四个乘第一个，得到一组新数ab、bc、cd、da．从这组新数出发，再按上述法则又得到一组新数，如此下去．证明：除a＝b＝c＝d＝1或0的特殊情况外，不会再出现原来的四个数．4．若且是其各位数字和的倍数，这样的有多少个？加试模拟训练题（16）1、已知圆心分别为的圆外切于点，并内切于圆，切点分别为，过点作的公切线设圆的直径垂直于，使得在的同侧，证明三线交于一点第47届IMO预选题）证明 设的中点为，为圆与圆的位似中心，由于半径分别垂直于，所以∥，且有三点共线同理三点共线设交于点，由于，所以是的垂心，于是，这表明在直线上设与直线交于点，下面证明点在直线上设与圆的第二个交点为，则是圆的直径，由梅涅劳斯定理的逆定理，要证三点共线，只要证因为，所以只要证设与交于点，则，从而只要证，即证是调和点列连交于点，则是调和点列，因此有是调和点列2、已知,且,求证: 证明:为书写简便,首先令;则原不等式可化为:结合条件知只需证齐次不等式:.因为==.所以原不等式得证.3、给定四个数a、b、c、d，按下列法则进行变换：前一个乘后一个，第四个乘第一个，得到一组新数ab、bc、cd、da．从这组新数出发，再按上述法则又得到一组新数，如此下去．证明：除a＝b＝c＝d＝1或0的特殊情况外，不会再出现原来的四个数．【证】:设在变换n次后又出现原来4个数a、b、c、d．因为一次变换后4数之积为(abcd)2，…，第n次变换后4数之积为(abcd)2n，所以abcd＝1或0．若a、b、c、d中有一个为0，则易知两次变换后，所得数均为0．设abcd＝1，则三次变换后所得的数A＝a2b2，B＝b2c2，C＝c2d2，D＝d2a2都是正数，且满足AC＝BD＝1．不妨设A最大，经2n次变换后，最大数为A2n．由于经若干次变换后，A、B、C、D又重新出现，所以必有A＝1，从而B＝C＝D＝1．由此易知a＝b＝c＝d＝1．4．若且是其各位数字和的倍数，这样的有多少个？解：（1）若为个位数字时，显然适合，这种情况共有9种；　　（2）若为100时，也适合；　　（3）若为二位数时，不妨设，则，由题意得即即也就是；若显然适合，此种情况共有9种；若，则由，故若，则显然可以，此时共有2＋8＝10个；若（）9，则或，这样的数共有24,42,48,84共4个；综上所述，共有9＋1＋9＋10＋4＝33个。