第十五章虚位移原理.ppt

第十第十五五章章 虚位移原理虚位移原理 虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径 分析力学的分析静力学中的最重要的原理通过功、能等标量，用数学分析的方法研究系统（主要是非自由质系）的机械运动，它由拉格朗日（法，1736-1783）建立§15-1 分析力学的基本概念分析力学的基本概念1. 约束：束：将限制非自由质系运运动的条件的条件称为约束束约束的数学表达式称为约束方程约束方程约束方程的实例运动约束运动约束：限制质点系运动情况的运动条件几何约束条件：几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件稳稳定定约约束（定常束（定常约约束）束）：约束方程中不显含时间 不不稳稳定定约约束（非定常束（非定常约约束）束）：约束方程中显含时间 非完整约束非完整约束：不可积分的运动约束，约束方程中包含坐标对时间的导数（如运动约束），约束方程不可积分为有限形式完整约束完整约束：几何约束及可积分的运动约束例例15-1 质点A、B由杆件及导轨连接成曲柄滑块机构形式确定写出约束方程解解：本题为平面问题，二个质点有三个几何约束以上约束方程是等式，允许质点作一定的运动但不允许质点从任何方向脱离约束，此类约束为双面约束（或不可解约束）双面约束（或不可解约束）。

约束方程是不等式，允许质点从某一方向脱离约束，此类约束为单面约单面约束（或可解约束）束（或可解约束）虚位移虚位移定义定义: 在给定瞬时瞬时，质系中质点在所有所有约束允许约束允许的条件下，可能实现的任何无限小的位移无限小的位移称为质系的虚位移质系的虚位移以 表示注意注意: 2. 虚位移与实位移的区别虚位移与实位移的区别：1. 虚位移广义概念，可以是线位移、角位移、相对 线位移、相对角位移等 实位移：实位移 是在 的时间内真实发生的，它除满足约束方程外，还满足动力学方程及初始条件虚位移：是实际未必发生的、虚设的、有任意性的与所受力无关的，只满足给定瞬时的约束方程，是约束的直接结果虚位移可以是无数个，而对应于主动力、时间、实位移初始条件实位移只有一个例例15-2 求例15-1中各质点的虚位移解解：（1）几何法几何法：方向如图所示（2）解析法解析法（直角坐标中虚位移的投影约束方程式 虚位移满足关系式（3）解析法解析法（广义虚位移（3）解析法解析法（广义虚位移 ）坐标表达式 虚位移表达式 理想约束理想约束：：约束力在质系虚位移上元功之和为零的约束。

例：光滑面约束纯滚动约束不可伸长轻质杆约束 §17-2 虚位移原理虚位移原理 具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质系的主动力在任一虚位移上所作虚功的和对于零质系的主动力在任一虚位移上所作虚功的和对于零或或投影表达式注：当质点系存在摩擦力的非理想约束状态时，应用虚位移原理只需将摩擦力当作主动力原理推导原理推导质系具有理想约束，且处于静止平衡状态给质点系以某种虚位移，上式点乘虚位移 再将N个式子相加约束力在虚位移中所作虚功；主动力在虚位移中所作虚功质系具有理想约束 具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质系的主具有理想约束的质点系，其平衡的充要条件是：作用于质系的主动力在任一虚位移上所作虚功的和对于零动力在任一虚位移上所作虚功的和对于零例例15-3 螺旋压榨机中螺杆的螺距为 如果在手柄上作用一在水平面内的力偶，其力偶矩为 ，求平衡时作用于被压榨物体上的压力忽略螺杆与螺母之间的摩擦）解解：（1）研究由手柄、螺杆及压板组成的平衡系统，忽略摩擦后，它是理想约束。

标出主动力（ 及压板阻力 ） （2）给系统以虚位移，手柄转角压板行程且（3）计算主动力之虚功，并代入虚位移原理由于 是任意的，故有或所求的压力与阻力 大小相等，方向相反（5）解题过程中，利用约束力不作功利用约束力不作功避免了所有约束力的出现，这是虚位移避免了所有约束力的出现，这是虚位移原理解题与几何静力学解题相比的巨大原理解题与几何静力学解题相比的巨大优点优点例例15-4 三铰拱上有载荷作用力 及力偶 ，如图所示，求铰B的约束力解解：三铰拱是受有完全约束的系统，必须解除部分约束，赋予运动自由度，才能应用虚位移原理1）求铰水平约束力：解除B铰的水平约束，代之以水平力 求系统在 、 作用下的平衡条件给虚位移，并用几何法计算各虚位移的关系所以 所以（2）求B铰的垂直约束力：解除B铰的垂直约束，代之以垂直力 注意杆BCD的速度瞬心在A例例15-5 图示系统中，滑轮轴承处光滑，细绳不可伸长，A处的水平面粗糙A重2P，，B重重P求维持系统平衡所需的C的重量 ，及此时水平面的最小摩擦系数 。

解解：将摩擦力 看成主动力，则系统受有理想约束确定系统位形的坐标是 ，有约束关系式为绳长， 为某一常数 或系统的自由度数为2，可选 为任意得所以例例15-6 试判断下列各系统的自由度，选择描述运动的广义坐标如图（d）所示如图（d）所示如图（d）所示解解：（a）自由度为2，广义坐标（b）自由度为1，，如图（e）所示如图（e）所示c）自由度为零例例15-7 已知水平力P，求例图所示桁架1，2两杆的内力解解: (1 ) 为求1杆内力，将1杆解除，并代之以相应的内力 ，如图（b）所示这样，结构 可绕 A 作定轴转动几何法得又 　 所以 　　（拉力） （拉力）(2) 为求2杆内力，同样将2杆解除，并代之以相应的内力 （见图（c））这样，原结构 变成了平行四连杆机构，结构 作 平动。

例例15-8 图（a）所示之机构中，弹簧的刚度系数为 ，当AC距离等于 时，弹簧内拉力为零如在点C作用一水平力F，杆系处于平衡，求AC距离之值设 ， 杆重不计解解：时，弹簧为原长，有时，弹簧长度为 ，有故弹簧力去掉弹簧，暴露出弹簧分别作用在 AB与BC上的两力（图b）据虚位移原理，有 又 ①②③④将式①，③，④代入式②的 独立性，得要点及要点及讨论讨论分析本题时，必须把弹簧去掉，暴露出弹簧作用在杆上的力计算弹簧力的虚功时，用弹簧力与弹簧两端相对虚位移的乘积如果用最小势能原理解题，则可不去掉弹簧而计入弹簧的势能。