最新高中数学二维形式的柯西不等式教案新人教A版选修.docx

第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学要求 ：熟悉二维柯西不等式的几种形式，懂得它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式 .教学重点 ：会证明二维柯西不等式及三角不等式 .教学难点 ：懂得几何意义 .教学过程 ：一、复习预备 ：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：a b ab 〔a 20, b0〕 及几种变式 .22 22. 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证 〔 ab 〕〔cd 〕 〔ac bd 〕证法：（比较法）〔 a2b2 〕〔c2d 2 〕 〔ac bd〕2 = .=〔ad bc〕2 0二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理 1：如 a、b、 c、d 为实数，就〔a2b2 〕〔c2d 2 〕 〔ac bd 〕2 .→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 争论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）〔a2b2 〕〔c2d 2 〕a2 c2a 2d 2b2 c2b2 d 2〔 ac bd〕 2〔 ad bc〕 2〔ac bd 〕2 . （要点：绽开→配方）证法三：（向量法）设向量 m〔a, b〕 ， n〔 c, d〕 ，就 | m |2 2a b ， | n |2 2c d .∵ m n ac bd ，且 m n| m | | n | cosm, n ，就 | m n | | m | | n | . ∴ ..证法四：（函数法）设f 〔 x〕 〔a2b2 〕 x 22〔ac bd 〕x c2d 2 ，就f 〔 x〕 〔 ax c〕2 〔bx d 〕2 ≥ 0 恒成立 .∴ [ 2〔 ac bd〕] 24〔 a2b2 〕〔c2d 2 〕 ≤ 0，即 ..22222222③ 争论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：a b cd | ac bd | 或a b cd | ac | | bd |或 a2 b2c2 d 2ac bd .④ 提出定理 2：设 , 是两个向量，就 | | | || | .即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 争论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 , 共线）⑤ 练习：已知 a、b、c、d 为实数，求证 a2 b2 c 2 d22〔a c〕2〔b d 〕 .证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 争论：其几何意义？（构造三角形）2. 教学三角不等式：① 出示定理 3：设x , y , x, y R ，就 x 2 y 2x 2 y 2〔 x x 〕2〔 y y〕 2 .1 1 2 21 1 2 2 1 2 1 2分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：如x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3R ，就结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？2 23. 小结： 二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式 2. 作业：教材 P37 4 、5 题.其次课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二）教学要求 ：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题， 体会运用经典不等式的一般方法——发觉详细问题与经典不等式之间的关系， 经过适当变形， 依据经典不等式得到不等关系 .教学重点 ：利用二维柯西不等式解决问题 .教学难点 ：如何变形，套用已知不等式的形式 .教学过程 ：一、复习预备 ：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：〔a2b2 〕〔 c2d 2 〕 〔 ac bd 〕 2 ； x y x y〔x x 〕〔 y y 〕2222221 1 2 2 1 2 1 22. 争论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y x 1 2x 的最大值 .要点：利用变式| ac bd |a2 b2c2 d 2 .二、讲授新课：1.教学最大（小）值：①出示例 1：求函数y3 x1102x 的最大值？分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式： y3x 1 10 2 x → 推广：y a bx c d e fx ,〔 a, b, c, d, e, f R 〕② 练习：已知 3x 2 y1，求 x2y 2 的最小值 .22y1〔2x2 2y 〕〔322 〕11313解答要点：（凑配法） x〔3x122y〕 .13争论：其它方法 （数形结合法）2. 教学不等式的证明：① 出示例 2：如x, y R ， x y2 ，求证： 1 1 2 .x y分析：如何变形后利用柯西不等式？ （留意对比 → 构造）要点：1 1 1 〔 x y〕〔 1 1 〕 1 [〔 x 〕2 〔 y 〕2 ][〔 1 〕2 〔 1 〕2 ]x y 2 x y 2 x y争论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知 a 、 b R ，求证：3. 练习 ：〔a b〕〔 1 1〕 4 .a b① 已知x, y, a, b R ，且 a bx y1，就 x y 的最小值 .要点： x y〔 a b〕〔 x y〕 x y. → 其它证法② 如 x, y, z R ，且式）x y z1 ，求 x2y2 z2 的最小值 . （要点：利用三维柯西不等变式：如x, y, z R ，且x y z1 ，求 x y z 的最大值 .3. 小结： 比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，留意凑配、构造等技巧 .三、巩固练习：1. 练习：教材 P37 8 、9 题 2. 作业：教材 P37 1 、6、7 题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求 ：熟悉一般形式的柯西不等式， 会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式， 并应用其解决一些不等式的问题 .教学重点 ：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用 .教学难点 ：懂得证明中的函数思想 .教学过程 ：一、复习预备 ：1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：〔a2b2 〕〔 c2d 2 〕 〔 ac bd 〕 2 ；〔a2 b2c2 〕〔 d2 e2f 2 〕 〔ad be cf 〕 2二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问： 由平面对量的柯西不等式 | | | || | ，假如得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想： n 维向量的坐标？ n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设a1 , a2 , , an , b1 ,b2 , , bnR ，就〔 a 2 a 2a 2 〕〔b 2 b 2b 2 〕 〔 a b a b a b 〕21 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n n争论：什么时候取等号？（当且仅当a1 a2b1 b2an时取等号，假设 bi 0 ）222bn联 想 ： 设 B a b a b a b ，A a 2 a 2 a 2 ， C b bb ， 就 有1 1 2 2 n nB2 A C 0 ，可联想到一些什么？1 2 n1 2 n③ 争论：如何构造二次函数证明 n 维形式的柯西不等式？ （留意分类）要点：令（f x）（a 2 a2a 2 〕 x22〔a b a b a b 〕 x〔b2 b2b2 〕 ，就1 2 n1 1 2 2n n 1 2 nf 〔 x〕 〔a x b 〕2 〔a x b 〕 2 +（a x b 〕2 0 .1 1 2 2 n n又 a 2 a 2a 2 0 ，从而结合二次函数的图像可知，1 2 n22〔 a b a b a b 〕4〔a 2 a 2a 2 〕〔b 2 b 2b 2 〕 ≤ 01 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n即有要证明的结论成立 . （留意：分析什么时候等号成立 . ）22④ 变式： a a12a 〔 a a a〕 . （争论如何证明）21 2 n 1 2 nn2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例 1：已知 3x2 y z1 ，求 x2y 2 z2 的最小值 .分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：如x, y, z R ，且1，求 x111xyz1 1y z的最小值 .2 34③ 出示例 2：如 a >b > c ，求证： .a b b c a c要点：〔a c〕〔 1 1 〕 [〔 a b〕 〔 b c〕]〔 1 1 〕 〔1 1〕2 4a b b c a b b c3. 小结： 柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；依据结构特点构造证明 .三、巩固练习：1. 练习：教材 P41 4 题 2. 作业：教材 P41 5 、6 题第四课时 3.3 排序不等式教学要求 ：明白排序不等式的基本形式， 会运用排序不等式分析解决一些简洁问题， 体会运用经典不等式的一般方法 .教学重点 ：应用排序不等式证明不等式 .教学难点 ：排序不等式的证明思路 .教学过程 ：一、复习预备 ：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例 .二、讲授新课：1. 教学排序不等式：① 看书： P42 ~P44.② 提出排序不等式（即排序原理） ：设有两个有序实数组 : a1 a2的任一排列 , 就有 an ; b1 b2 bn .c1 , c2 , cn 是 b1 , b2 ， ,bna1b1a2b2 + an bn〔 同序和 〕a1c1a2c2 + + an cn〔 乱序和 〕a1b。