高中数学 2.6距离的计算练习 北师大版选修21.doc

北师大版2019-2020学年数学精品资料第二章　2.6距离的计算一、选择题1．以下说法错误的是(　　)A．两平行平面之间的距离就是一个平面内任一点到另一平面的距离B．点P到面α的距离公式是d＝|·|，其中A为面α内任一点，n为面α的法向量C．点P到直线l的距离公式是d＝|·|，其中A为直线l上任一点，a为l的法向量D．异面直线l1与l2，在l1上任取一点P，在l2上任取一点Q，则||的最小值，就是l1与l2的距离[答案]　C[解析]　选项C中，a必须与l以及共面时，此公式才成立．2．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝BD＝1，则CD的长等于(　　)A．　 　　 B．　 　　C．2 D．[答案]　C[解析]　如图所示，∵||＝||＝||＝1，∴由＝＋＋得||2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝||2＋||2＋||2＋2·＝3＋2cos(180°－120°)＝4，∴||＝2.3．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1则点A到平面A1BC的距离为(　　)A． B．C． D．[答案]　B4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，则平面A1BC1与平面ACD1的距离是(　　)A． B．C．3 D．2[答案]　A5．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0≤λ≤1)，则点G到平面D1EF的距离为(　　)A．　　　 B．C． D．[答案]　D[解析]　由A1B1∥平面D1EF知，点G到平面D1EF的距离即为直线A1B1 上任一点到平面D1EF的距离，可求点A1或B1到平面D1EF的距离．6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是线段BB1、B1C1的中点，则直线MN和平面ACD1的距离是(　　)A． B．C． D．[答案]　D[解析]　如图，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，M(1,1，)，N(，1,1)，C(0,1,0)．所以＝(－1,0,1)，＝(－，0，)．所以＝.又直线AD1与MN不重合，所以∥.又MN平面ACD1，所以MN∥平面ACD1.因为＝(－1,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1,1,0)．设平面ACD1的法向量n＝(x，y，z)，则所以 所以x＝y＝z.令x＝1，则n＝(1,1,1)．又因为＝(1,1，)－(1,0,0)＝(0,1，)，所以||＝＝.所以点M到平面ACD1的距离为＝×＝.简解：延长NM交CB的延长线于H，连AH、D1H，MH∥平面ACD1，∴M到平面ACD的距离即为H到平面ACD1的距离．则VD1－AHC＝×＝＝VH－ACD1＝×h∴h＝.二、填空题7．正方形ABCD与ABEF的边长都为a，若二面角E－AB－C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为______________．[答案]　a[解析]　EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，∴d＝A．8．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1B1、CD的中点，则点B到平面AEC1F的距离为________________．[答案]　[解析]　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(0，，0)，E(1，，1)，B(1,1,0)．∴＝(0，，1)，＝(－1，，0)．设平面AEC1F的法向量为n＝(1，λ，μ)，则n·＝0，n·＝0.∴∴∴n＝(1,2，－1)．又∵＝(0,1,0)，∴点B到平面AEC1F的距离d＝＝＝.三、解答题9．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1.求BF的长．[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)．设F(0,0，z)，∵AEC1F为平行四边形，∴由＝得(－2,0，z)＝(－2,0,2)．∴z＝2，∴F(0,0,2)，＝(－2，－4,2)．于是||＝2，即BF的长为2.10．已知三棱柱ABC—A1B1C1的各条棱长均为a，侧棱垂直于底面，D是侧棱CC1的中点，问a为何值时，点C到平面AB1D的距离为1.[解析]　建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可知A(a，，0)，C(0，a,0)，B1(0,0，a)，D(0，a，)，于是有＝(－a，－，a)，＝(0，a，－)，＝(－a，，0)．设n＝(x，y，z)为平面AB1D的法向量，则⇒.令y＝1，可得n＝(，1,2)．所以点C到平面AB1D的距离d＝|·|＝A．令a＝1，解得a＝2.即a＝2时，点C到平面AB1D的距离为1.一、选择题1．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是A1C1的中点，则O到平面ABC1D1的距离为(　　)A． B．C． D．[答案]　B[解析]　以、、为正交基底建立空间直角坐标系，则A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，＝＝，平面ABC1D1的法向量＝(1,0,1)，点O到平面ABC1D1的距离d＝＝＝.2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为(　　)A．10 B．3C． D．[答案]　D[解析]　＝(1,2，－4)，又平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，所以P到α的距离为|·|＝＝.3．空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P段AB上，动点Q段CD上，则点P到Q的最小距离为(　　)A． B．aC．a D．a[答案]　B[解析]　如图，求PQ的最小值，需先将PQ表示出来，再用代数方法确定最值．由题设可知，、、两两夹角均为60°.设＝－λ，＝μ，则＝＋＋＝－λ＋＋μ(－)＝－λ＋(1－μ)＋μ.∴||2＝λ2＋(1－μ)2＋μ2＋2λ(μ－1)·＋2(1－μ)μ·－2λμ·＝λ2a2＋a2－2μa2＋μ2a2＋μ2a2＋λμa2－λa2＋μa2－μ2a2－λμa2＝a2(λ2＋μ2－μ－λ＋1)＝a2[(λ－)2＋(μ－)2＋]≥.∴||≥A．4．已知平面α∥平面β，线段AB、CD夹在α、β之间，AB＝13，CD＝5，且它们在β内的射影之差为2，则α和β之间的距离为(　　)A．3 B．4C．5 D．6[答案]　C[解析]　如图所示，设A、C在平面β上的射影为A′、C′，则设α、β之间的距离AA′＝CC′＝a，且BA′、DC′分别为AB、CD在β内的射影．在Rt△AA′B中，AB＝13，则A′B＝＝.在Rt△CC′D中，CD＝5，则C′D＝＝.又∵C′D与A′B相差为2，即A′B－C′D＝－＝2，∴a＝5，∴平面α和β之间的距离为5.二、填空题5．在底面是直角梯形的四棱锥P－ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________________．[答案]　[解析]　由已知AB，AD，AP两两垂直．∴以A为坐标原点AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)，设平面PBC的法向量为n＝(a，b，c)，则∴n＝(1,0,1)，又＝(2,0,0)，∴d＝＝.简解：由题意易知AD⊥平面PAB且AD∥平面PBC，取PB的中点H，则AH⊥平面PBC且AH＝PB＝，故AD到平面PBC的距离为.6．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为________．[答案][解析]　解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则＝，＝(0,1,0)，＝(0,1，－1)，设平面ABC1的法向量为n＝(x，y,1)，则有解得n＝，则d＝＝＝.解法二：VB1—ABC1＝VA—BB1C1，VA—BB1C1＝S△BB1C1×AB＝，又∵VB1—ABC1＝S△ABC1·h，S△ABC1＝AB·＝，∴h＝.简解：由题意可知B1到平面ABC的距离等于C到平面ABC的距离．由VC1－ABC＝VC－ABC1知×＝×，∴h＝，即B1到平面ABC的距离为.三、解答题7．如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．(1)证明：直线MN∥平面OCD；(2)求异面直线AB与MD所成角的大小；(3)求点B到平面OCD的距离．[解析]　方法1(综合法)：(1)取OB中点E，连接ME，NE，∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD．又∵NE∥OC，ME∩NE＝E，∴平面MNE∥平面OCD．又∵MN平面MNE，∴MN∥平面OCD．(2)∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角)．作AP⊥CD于点P，连接MP，∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP，∵∠ADP＝，∴DP＝.∵MD＝＝，∴cos∠MDP＝＝，∠MDC＝∠MDP＝.所以，AB与MD所成角的大小为.(3)∵AB∥平面OCD，∴点B和点A到平面OCD的距离相等．连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q.∵AP⊥CD，OA⊥CD，∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离．∵OP＝＝＝＝，AP＝DP＝，∴AQ＝＝＝，所以，点B到平面OCD的距离为.方法2(向量法)：作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB、AP、AO所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系．A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，，0)，D(－，，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N(1－，，0)．(1)＝(1－，，－1)，＝(0，，－2)，＝(－，，－2)．设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0.即，取z＝，解得n＝(0,4，)．∵·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0.又∵MN平面OCD，∴MN∥平面OCD．(2)设AB与MD所成角为θ，∵＝(1,0,0)，＝(－，，－1)，∴cosθ＝＝，∴θ＝.AB与MD所成角的大小为.(3)设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量n＝(0,4，)上的投影的绝对值．由＝(1,0，－2)，得d＝＝.所以，点B到平面OCD的距离为.8．(2014·北京理)如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.(1)求证：AB∥FG；(2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．[解析]　(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE.又因为AB⊄平面PDE，所以AB∥平面PDE.因为AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG，。