高考数学科学复习创新方案提升版第32讲平面向量的数量积及应用.docx

第32讲　平面向量的数量积及应用[课程标准]1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用．1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0≤θ≤πθ＝0或θ＝π⇔a∥b，θ＝⇔a⊥b2.平面向量数量积的定义已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为0．3．投影与投影向量设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到(如图)，则称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．4．向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c数乘结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．数量积不满足乘法结合律，即一般情况下，(a·b)c≠a(b·c)．3．当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝a2或|a|＝.4．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为a与b的夹角为0时也有a·b>0)．(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为a与b的夹角为π时也有a·b<0)．1．在△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，则·的值为(　　)A．20 B．－20 C．20 D．－20答案　B解析　由题意知〈，〉＝120°，所以·＝||||cos〈，〉＝5×8×＝－20.2．(2023·泰安期末)设a，b是非零向量，则“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案　A解析　由a·b＝|a||b|知cos〈a，b〉＝1，所以〈a，b〉＝0，a与b同向，可推出a∥b，反之，由a∥b推不出a·b＝|a||b|，故“a·b＝|a||b|”是“a∥b”的充分不必要条件．3．(人教A必修第二册6.3.5练习T3改编)已知向量a＝(0，2)，b＝(2，x)，且a与b的夹角为，则x＝(　　)A．－2 B．2C．1 D．－1答案　B解析　由题意得cos＝＝＝，所以x>0，且2x＝，解得x＝2.故选B.4．(人教A必修第二册习题6.2 T11改编)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a＋2b|＝，则a·b＝(　　)A．－2 B．－1 C．1 D．2答案　A解析　由题设，|a＋2b|＝，得|a|2＋4a·b＋4|b|2＝5，代入|a|＝1，|b|＝，得a·b＝－2.故选A.5．(人教A必修第二册复习参考题6 T8改编)已知向量a＝(1，2)，b＝(－1，1)，当λ＝________时，λa＋b与b垂直．答案　－2解析　因为λa＋b＝λ(1，2)＋(－1，1)＝(λ－1，2λ＋1)，且λa＋b与b垂直，所以(λa＋b)·b＝(λ－1)·(－1)＋2λ＋1＝λ＋2＝0，所以λ＝－2.考向一　平面向量数量积的运算例1　(1)(2023·威海三模)已知单位向量a，b满足|a－b|＝1，则a在b方向上的投影向量为(　　)A.b B．－bC.a D．－a答案　A解析　∵单位向量a，b满足|a－b|＝1，∴a2－2a·b＋b2＝1，∴1－2a·b＋1＝1，∴a·b＝，∴a在b方向上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝b＝b.故选A.(2)(2023·益阳模拟)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，则·(＋)(　　)A．为定值10 B．为定值6C．最大值为18 D．与P的位置有关答案　A解析　解法一：由题意可设＝x＋(1－x)，∴原式＝[x＋(1－x)]·(＋)＝x2＋(1－x)2＋·　①.又在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，∴cos∠BAC＝＝，·＝3×3×＝1，2＝2＝9，代入①式化简得，原式＝9x＋(1－x)×9＋1＝10.故选A.解法二：取线段BC的中点D，连接AD，则＋＝2，∵AB＝AC＝3，BC＝4，∴AD＝＝，于是·(＋)＝2·＝2||||cos〈，〉＝2||cos〈，〉，结合图形可知，||cos〈，〉＝||＝，∴·(＋)为定值10.故选A.解法三：如图，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，则B(0，0)，C(4，0)，A(2，)，设P(t，0)，t∈[0，4]，于是＝(t－2，－)，＝(－2，－)，＝(2，－)，∴·(＋)＝(t－2，－)·(0，－2)＝10.故选A.(3)(2023·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cosθ＝，则·＝(　　)A．8 B．－8C．2 D．－2答案　D解析　如图所示，∵＝，∴四边形ABCD为平行四边形，∵＝3，∴＝＋＝＋，＝－＝－，又||＝4，||＝3，cosθ＝，则·＝4×3×＝8，∴·＝·＝·－2＋2＝×8－9＋×42＝－2.求两个向量的数量积的三种方法　1.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　)A. B．3 C．2 D．5答案　B解析　解法一：以{，}为基底，可知||＝||＝2，·＝0，则＝＋＝＋，＝＋＝－＋，所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3.故选B.解法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，可得＝(1，2)，＝(－1，2)，所以·＝－1＋4＝3.故选B.解法三：由题意可得，ED＝EC＝，CD＝2，在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC＝＝＝，所以·＝||||cos∠DEC＝××＝3.故选B.2．(2023·海南中学高三月考)如图为函数y＝sin的部分图象，P，R，S为图象与x轴的三个交点，Q为函数图象在y轴右侧部分上的第一个最大值点，则(＋)·(＋)的值为(　　)A．π－2 B．π＋4C．π2－2 D．π2＋4答案　D解析　设PR的中点为A，RS的中点为B，则Q，A，B，所以(＋)·(＋)＝(2)·(2)＝4·＝4·(π，－1)＝π2＋4.故选D.3．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝________．答案　11解析　设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为，即cosθ＝，又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a||b|cosθ＝1×3×＝1，所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11.多角度探究突破考向二　平面向量数量积的性质角度　平面向量的垂直例2　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则(　　)A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1答案　D解析　因为a＝(1，1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.(2)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)A．a＋2b B．2a＋bC．a－2b D．2a－b答案　D解析　由已知可得，a·b＝|a||b|cos60°＝1×1×＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2×1＝≠0，不符合题意；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0，不符合题意；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2×1＝－≠0，不符合题意；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0，符合题意．故选D.有关平面向量垂直的两类题型(1)利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题(2)已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值(根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数)．　(2023·江苏省苏锡常镇四市二模)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a⊥b，若(a＋b)⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　)A．2 B．2 C．4 D.答案　C解析　∵a⊥b，∴a·b＝0，∵(a＋b)⊥(a－λb)，∴(a＋b)·(a－λb)＝a2－λb2＝0，∵|a|＝2，|b|＝1，∴4－λ＝0，解得λ＝4.故选C.角度　平面向量的模例3　(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a－b|＝，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________．答案　解析　解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝.解法二：设c＝a－b，则|c|＝，a＋b＝c＋2b，2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝.求平面向量的模的两种方法　(2023·济宁三模)在边长为4的等边三角形ABC中，已知＝，点P段CD上，且＝m＋，则||＝________．答案　解析　∵＝，∴＝m＋＝m＋，∵D，P，C三点共线，∴m＋＝1，∴m＝，∵△ABC为边长为4的等边三角形，∴2＝＝2＋2＋·＝1＋4＋×4×4×＝7，∴||＝.角度　平面向量的夹角例4　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)A．－6 B．－5 C．5 D．6答案　C解析　c＝(3＋t，4)，cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即＝，解得t＝5.故选C.(2)(2023·淄博一模)若向量a＝(m，－3)，b＝(3，1)，则“m＜1”是“向量a，b的夹角为钝角”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　B解析　向量a＝(m，－3)，b＝(3，1)，由向量a，b的夹角为钝角，得解得m＜1且m≠－9，又“m＜1”是“m＜1。