高考数学总复习导数的概念和运算知识梳理教案.docx

导数的概念和运算【考纲要求】1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念2.掌握常函数y=C，幂函数y=xn（n为有理数），三角函数y=sinx，y=cosx，指数函数y=ex，y=ax，对数函数y=lnx，y=logax的导数公式；3.掌握导数的四则运算法则；并能解决一些简单的数学问题4.掌握复合函数的求导法则，会求某些简单复合函数的导数知识网络】导数的概念导数的概念和运算初等函数的求导公式导数的运算法则导数的运算复合函数求导【考点梳理】考点一：导数的概念：1．导数的定义：对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导即：（或）要点诠释：①增量可以是正数，也可以是负数；②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率2．导函数：如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况要点诠释：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率2)导数的几何意义：函数在点x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率要点诠释：①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴平行3)曲线的切线方程如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：考点二：常见基本函数的导数公式（1）（C为常数），（2）（n为有理数），（3），（4），（5），（6），（7），（8），考点三：函数四则运算求导法则设，均可导（1）和差的导数：（2）积的导数：（3）商的导数：（）考点四：复合函数的求导法则或即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数要点诠释：选择中间变量是复合函数求导的关键求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。

求导后，要把中间变量转换成自变量的函数典型例题】类型一：导数概念的应用例1、用导数的定义，求函数在x=1处的导数解析】∵∴∴举一反三：【变式】已知函数（1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线上一点处的切线方程答案】（1），（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，∴所求切线的斜率为∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0例2、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.【解析】设.由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.举一反三：【高清课堂：导数的概念和运算394565 典型例题五】【变式】过点，曲线的切线方程为答案】设所求切线的切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为则所求切线方程为，又因为切线过点，代入，或所以切线方程为或类型三：利用公式及运算法则求导数例3．求下列函数的导数：（1）； （2）（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4 【解析】（1）.（2）.（3）∵，∴.（4）举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）； （2）（3）y=6x3―4x2+9x―6【答案】（1）.（2）∴.（3）例4．求下列各函数的导函数（1）；（2）y=x2sinx; （３）y=； （４）y=【解析】（1）法一：去掉括号后求导.法二：利用两个函数乘积的求导法则 =2x(2x－3)+(x2+1)×2=6x2－6x+2（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx（３）=（4）==举一反三：【变式1】下列函数的导数 （1）； （2）【答案】（1）法一：∴法二： =+（2）∴【变式2】求下列函数的导数.（1）； （2）；（3）.【答案】（1），∴.（2），∴.（3）∵，∴.类型四：复合函数的求导问题例5．求下列函数导数.（1）； （2）；（3）； （4）.【解析】（1），..（2），∴（3），.∴（4），，∴.举一反三：【变式1】求下列函数的导数： (1)； （2）（3）y=ln（x＋）； （4）【答案】(1)令,,（2）令（3）=＝（4）类型五：曲线的切线方程求解问题【高清课堂：导数的概念和运算394565 典型例题三】例6．如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+5，则f（3）+ f′(3)=. 【解析】，【答案】 1举一反三：【变式】已知曲线.（1）求曲线上横坐标为1的点处的切线的方程；（2）第（1）小题中的切线与曲线是否还有其他的公共点？【答案】（1）将代入曲线的方程得，∴切点.∵，∴.∴过点的切线方程为，即.（2）由可得，解得或.从而求得公共点为，或.∴切线与曲线的公共点除了切点外，还有另外的点.例7．已知直线为曲线在点（1，0）处的切线，为该曲线的另一条切线，且.（1）求直线的方程；（2）求由直线、和轴所围成的三角形的面积.【解析】（1），直线的方程为.设直线过曲线上的点，则的方程为，即.因为，则有，.所以直线的方程为.（2）解方程组 得所以直线和的交点坐标为.、与轴交点的坐标分别为（1，0）、，所以所求三角形的面积为.举一反三：【变式】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程.【答案】由题意知，∴曲线在（0，1）处的切线的斜率∴该切线方程为设的方程为，则，解得，或.当时，的方程为；当时，的方程为综上可知，的方程为或.内容总结（1）导数的概念和运算【考纲要求】1.掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义（2）3．导数几何意义：（1）曲线的切线曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。