高中数学 第2部分 模块复习 新人教A版必修2含答案.doc

人教版）精品数学教学资料第2部分 模块复习 新人教A版必修2　　　　　　　　　　　　　　　　一、知识体系全览——理清知识脉络　主干知识一网尽览　　　　　　　　　　　　　　　　二、高频考点聚焦——锁定备考范围　高考题型全盘突破空间几何体的结构与特征空间几何体的结构与特征考查方向有两个方面：一是在选择、填空题中直接考查结构特征，二是作为载体在解答题中考查位置关系的判定证明，多与三视图相结合．要充分掌握柱、锥、台、球的定义及结构特征，解题时要注意识别几何体的性质．[例1]　某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(　　)A．三棱锥　　　　　　　　　 B．四棱锥C．四棱台 D．三棱台[解析]　由所给三视图与直观图的关系，可以判定对应的几何体为如图所示的四棱锥，且PA⊥面ABCD，AB⊥BC，BC∥AD.[答案]　B1．根据下列对几何体结构特征的描述，说出几何体的名称：(1)由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；(2)一个圆面绕其一条直径所在的直线旋转180°所围成的几何体．解：(1)该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，满足每相邻两个面的公共边都相互平行这一条件，故该几何体是六棱柱，如图(1)．(2)该几何体为球，如图(2)．2．下列各立体图形表示的是柱体或由柱体构成的几何体是(　　)A．①②③⑤　　　　　　　　 B．③④⑤C．①④⑤ D．②③④解析：选C　①是三棱柱，②是圆台中挖去一个圆柱形成的几何体，③是正方体去掉一个角后形成的几何体，④是五棱柱，⑤是正方体.空间几何体的三视图、直观图与表面积、体积空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力．在解决三视图问题时一定要遵循“长对正、高平齐、宽相等”，看清三视图的实虚线，还原几何体时，几何体的摆放位置，求表面积时注意组合体中衔接面的处理，求体积时要注意体积分割、转化求法的应用，对于三棱锥的体积还要注意等积转换法的应用．[例2]　(2012·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)A．28＋6　　　　　　　　　 B．30＋6C．56＋12 D．60＋12[解析]　　由三棱锥的三视图可得三棱锥的直观图如图(1)所示．S△ACD＝×AC×DM＝×5×4＝10.S△ABC＝×AC×BC＝×5×4＝10.在△CMB中，∠C＝90°，∴BM＝5.∵DM⊥平面ABC，∴∠DMB＝90°，∴DB＝ ＝，∴△BCD为直角三角形，∠DCB＝90°，∴S△BCD＝×5×4＝10.在△ABD中，如图(2)，S△ABD＝×2×6＝6，∴S表＝10＋10＋10＋6＝30＋6. [例3]　(2011·广东高考)如图，某几何体的正视图，侧视图和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为(　　)A．4 B．4C．2 D．2[解析]　由题得该几何体是如图所示的四棱锥P－ABCD，AO＝ ＝，∴棱锥的高h＝PO＝ ＝＝3，∴V＝××2××2×3＝2.[答案]　C3．如图，四边形ABCD是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，AB∥CD，AD⊥CD，且BC与y轴平行，若AB＝6，CD＝4，BC＝2，则原平面图形的实际面积是________．解析：由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是梯形，且AB，CD的长度不变，仍为6和4，高BC＝4，故所求面积S＝×(4＋6)×4＝20.答案：204．(2012·辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．解析：如图所示：该几何体为长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个圆柱．∴S表＝2×(4×3－π)＋2×(3×1)＋2×(4×1)＋2π＝24－2π＋6＋8＋2π＝38.5．(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm3.解析：法一：∵VA－A1B1D1＝××3×3×2＝3，VABD－A1B1D1＝×3×3×2＝9，∴VA－BB1D1D＝VABD－A1B1D1－VA－A1B1D1＝6(cm3)．法二：连接AC交BD于O，则有AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面BB1D1D，∴AO即为四棱锥A－BB1D1D的高，∴VA－BB1D1D＝×3×2×＝6(cm3)．答案：6与球有关的问题与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考查球的表面积与体积的求法．对于此类问题的关键是求出球的半径，在解决时要充分借助于图形(空间图或截面图)化空间问题为平面问题．[例4]　(2011·新课标全国卷)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．[解析]　设圆锥的底面半径为r，球面半径为R，则πr2＝×4πR2，解得r＝R，所以对应球心距为R，故小圆锥的高为R－R＝R，大圆锥的高为R，所以之比为.[答案]　6.如图，半径为2的球O中有一内接圆柱，当圆柱的轴截面为正方形时球的表面积与圆柱的侧面积之差为________．解析：若圆柱的轴截面为正方形，则圆柱的高与底面圆直径相等，且截面正方形的对角线长为球的直径，设圆柱高为h，底面圆半径为r，则h＝2，r＝，圆柱的侧面积S＝h·2πr＝2·2π＝8π.球的表面积为S＝4πR2＝16π，∴球的表面积与侧面积之差为8π.答案：8π7．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝3 cm，求球的体积．解：由AB＝BC＝CA＝3知△ABC为边长为3的正三角形，设其中心为O′，连接OO′，AO′，则OO′⊥AO′，AO′＝.设球半径为R，则OO′＝.在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2即R2＝()2＋2，∴R＝2.∴球的体积V＝π23＝π (cm3)．空间点、线、面位置关系的判断与证明[例5]　(2012·江苏高考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.[证明]　(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.8．(2012·北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连接PQ，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP，即A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.9．(2011·福建高考)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．解：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE，因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.(2)由(1)可知CE⊥AD.在直角三角形ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形，所以SABCD＝SABCE＋S△ECD＝AB·AE＋CE·DE＝1×2＋×1×1＝.又PA⊥平面ABCD，PA＝1，所以V四棱锥P－ABCD的体积等于SABCD·PA＝××1＝.直线方程与两直线的位置关系主要以选择、填空题的形式考查直线方程的求法，及由直线方程研究两直线的位置关系，在解答题中常与其他曲线结合考查直线与曲线的位置关系．掌握直线方程的各种形式及转化关系，能根据直线方程求斜率、截距，并会判断两直线的平行、垂直关系．[例6]　根据下列条件，求直线方程：(1)已知直线过点P(－2,2)且与两坐标轴所围成的三角形面积为1；(2)过两直线3x－2y＋1＝0和x＋3y＋4＝0的交点，且垂直于直线x＋3y＋4＝0.[解]　(1)设所求直线的方程为＋＝1.依题意，得解得或故所求直线方程是＋y＝1或＋＝1，即x＋2y－2＝0或2x＋y＋2＝0.(2)设所求直线的方程为(3x－2y＋1)＋λ(x＋3y＋4)＝0，即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋(1＋4λ)＝0.由所求直线垂直于直线x＋3y＋4＝0，得－·＝－1，解得λ＝.故所求直线的方程是3x－y＋2＝0.10．已知直线l1：(m＋2)x＋(m2－3m)y＋4＝0，l2：2x＋4(m－3)y－1＝0，如果l1∥l2，求m的值．解：当直线l1和l2都有斜率时，即m≠0且m≠3时，由＝≠，解得m＝－4，经验证可知两直线平行．当直线l1和l2都无斜率时，l1：x＝－，l2：x＝，显然l1∥l2，此时m＝3.综上所述m＝－4或m＝3.11．求经过两条直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且与原点的距离为1的直线方程．解：由方程组解得两条直线的交点A(1,3)．当斜率存在时，设所求直线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y＋3－k＝0.∵原点到直线的距离为1，即＝1，即|3－k|＝，两。