二次函数与相似三角形之间的综合题[共10页].doc

二次函数与相似三角形之间的综合题型教学设计田敏（一）二次函数综合——二次函数与相似三角形存在问题适用学科 数学 适用年级 初三适用区域 人教版 课时时长（分钟） 40知识点 .二次函数综合与三角形相似的综合教学目标 1. 熟练运用所学知识解决二次函数综合问题2．灵活运用数形结合思想教学重点 巧妙运用数形结合思想解决综合问题教学难点 灵活运用技巧及方法解决综合问题教材分析：1、二次函数是初中数学新人教版二十二章的内容，是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型也是中考的必考内容之一，中考分值已超过了 10% 所以在初中数学中占着重要的地位学情分析：2、二次函数与几何图形的综合也是这几年中考的热点题型 应用信息技术解决重点难点的地方： 本节课主要体现二次函数的与相似三角形的综合性试题 重在思考线路3、学习二次函数， 对学生进入高中后进一步学习函数的一般性质起着承上启下的作用同时也是学习物理等其他学科的重要工具教学过程一、复习预习1.二次函数的基础知识2.勾股定理3.相似三角形的性质二、知识梳理考点 1 二次函数的基础知识1.一般地，如果 y=ax 2+bx+c （a，b，c 是常数且 a≠0），那么 y 叫做 x 的二次函数，它是关于自变量的二次式， 二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 当 b=c=0 时，二次函数 y=ax 2 是最简单的二次函数．2.二次函数 y=ax 2+bx+c （a，b，c 是常数，a≠0）的三种表达形式分别为：一般式： y=ax 2+bx+c ，通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式： y=a （x－h）2+k ，通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a （x－x1）（x－x2），通常要知道图像与 x 轴的两个交点坐标 x1，x2才能求出此解析式； 对于 y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（－b2a24ac b，4a）．对于 y=a（x－h）2+k 而言其顶点坐标为 （h，k），?由于二次函数的图像为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向，对称轴，顶点．考点 2 勾股定理及逆定理1.定理：直角三角形两直角边 a，b 的平方和等于斜边 c 的平方。

即：a2+b 2=c 2）2.勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（ 1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边和另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题3.逆定理：如果三角形的三边长： a，b，c，则有关系 a2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形4.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边为 c2）验证 c2 和 a2+b 2 是否具有相等的关系，若 a2+b 2=c 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形考点 3 相似三角形的性质1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例2.相似三角形的一切对应线段 (对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比3.相似三角形周长的比等于相似比4.相似三角形面积的比等于相似比的平方5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方6.若 a/b =b/c ，即 b2=ac ，b 叫做 a,c 的比例中项7.c/d=a/b 等同于 ad=bc.8.相似三角形的性质（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例 .（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 .（3）相似三角形周长的比等于相似比三．例题讲解例 1.如图，Rt△AOB 的两直角边 OA、OB 的长分别是 1 和 3，将△AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 90° ，至△DOC 的位置．(1)求过 C、B、A 三点的二次函数的解析式；(2)若(1) 中抛物线的顶点是 M ，判定△MDC 的形状，并说明理由．解：（1）由题意知， C、B、A 三点的坐标分别为： C（-3 ，0）、B（0，3）、A（1，0）；设二次函数的解析式为 y=a （x-1 ）（x+3 ），依题意，有： a（0-1 ）（0+3 ）=3 ，解得：a=-1 （ 此方法为交点式法 ）故过 C、B、A 三点的二次函数的解析式为 y=-x 2-2x+3 ．（2）△MDC 是等腰直角三角形，理由如下：由（1）知，抛物线的解析式： y=-x 2-2x+3=- （x+1 ）2+4 ，则 M （-1，4）；易知：C（-3 ，0）、D（0，1），则：MC 2= （-1+3 ）2+ （4-0 ）2=20 ，MD 2= （-1-0 ）2+ （4-1 ）2=10 ，CD2= （-3-0 ）2+ （0-1 ）2=10 （根据已知和题中所给的条件确定定值即 MC 、 MD 、 CD 长度）则 MC 2=MD 2+CD 2，且 MD=CD ，（依据题目要求，按照事物的性质即勾股定理逆定理来完成题目所求）因此△MDC 为等腰直角三角形．解析:（1）△OCD 是由△OBA 旋转所得，因此 OB=OC 、OA=OD ，所以由 OA、OB 的长，即可得出 A、B、C、D 四点的坐标，利用待定系数法即可求出过 C、B、A 三点的二次函数的解析式．即用一般式法也可以完成（2）由（1）的二次函数解析式不难求出顶点 M 的坐标，在已知 M 、C、D 三点坐标的情况下，由坐标系两点间的距离公式可求出 MD 、CD、MC 三边的长，再由三边长来判断△MCD 的形状．例 2.直线1y x 1分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点， △AOB 绕点 O 按逆时针3方向旋转 90° 后得到△COD ，且 A 与 C 对应 B 与 D 对应，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A、C、D 三点．(1) 写出点 A、B、C、D 的坐标；(2) 求经过 A、C、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点 G 的坐标；(3) 在直线 BG 上是否存在点 Q，使得以点 A、B、Q 为顶点的三角形与 △COD 相似？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 ．【答案】（1）A (3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．（2）因为抛物线y＝ax2＋bx ＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，9a 3b c 0, a 1, 所以 解得c 3, b 2,a b c 0. c 3.所以抛物线的解析式为y＝－ x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点 G 的坐标为(1，4)．（这里也可以用交点式法求解析式 ,因为（ 1）中已经得到了与 x轴的两个交点坐标， A(3,0) D(-1,0) 再代入 C(0,3) ，得 y=-(x-3)(x+1). 最后可以将其化成一般式 ）（3）如图2，直线BG 的解析式为y＝3x＋1，直线CD 的解析式为：y＝3x＋3，因此 CD // BG．因为图形在旋转过程中 ，对应线段的夹角等于旋转角， 所以 AB⊥CD．因此AB⊥BG，即 ∠ABQ ＝90°．（ 按题目要求找出定量、定性 ）因为点 Q 在 直线BG 上 ，设点 Q 的 坐标为(x ， 3x ＋ 1) ， 那 么2 (3 )2 10BQ x x x ．（设未知数代出题中需要的关系 ）Rt△COD 的两条直角边的比为1∶ 3，如果 Rt △ABQ 与 Rt△COD 相似，存在两种情况：（按照题目要求列出满足要求的关系式 ） BQ①当 3 BA时， 10x 3．解得 x 3．所以10Q ， Q2 ( 3, 8) ．1 (3,10)②当 BQ 1BA 3时， 10x 1 ．解得 1x ．所以10 331Q ，( ,2)331Q ．( ,0)43【解析】1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角 ．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（ 3）题判断 ∠ABQ＝90 °是解题的前提．4．△ABQ 与△COD 相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点 Q 与点 B 的位置关系分上下两种情形，点 Q 共有 4 个．四，课堂练习1. 如图，直线y=-x+3 与 x轴、y轴分别相交于点 B、点 C，经过B、C 两点的抛物线y=x2+bx+c 与 x轴的另一交点为A，顶点为P．①求该抛物线的解析式和 A 点的坐标；②连接 AC，BP，求证：△BCP∽△OCA；③在 x轴上找一点 Q，使得以点 P、B、Q为顶点的三角形与△ ABC 相似，请求出点 Q 的坐标．2. 如图，抛物线经过点 A(4 ，0) 、B（1 ，0) 、C（0，－2）三点 ．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PM ⊥x 轴 ，垂足为 M ，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与 △OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D ，使得 △DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标．,课程小结本节课主要研究了二次函数和相似三角形的点存在性问题，考查了学生是否能够灵活运用二次函数的图象与性质、 待定系数法、 解一元二次方程、 勾股定理、 相似三角形的性质、等知识点解决实际问题，注重数形结合思想及分类思想的运用。

作业设计作业设计目的是要有层次性，由易到难逐层深入先必须克服学生对二次函数的恐惧心里， 接着完成一些简单计算， 再深入中档题型， 最后达到举一反三1、如图，直线 y= －x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 B、C，经过 B、C 两点的抛物线 y=ax 2+bx+c 与x 轴另一交点为 A，顶点为 P，且对称轴是直线 x=2 ，（1）求抛物线解析式；（2）连结 AC，请问在 x 轴上是否存在点 Q，使得以点 P、B、Q 为顶点的三角形与△ACB 相似，若存在，请求出 Q 点坐标；若不存在，说明理由 .（3）D 点为第四象限的抛物线上一点，过点 D 作DE⊥x 轴，交 CB 于E，垂足于 H，过 D 作 DF⊥CB，垂足为 F，交 x 轴于 G，试问是否存在这样的点 D，使得△DEF 的周长恰好被 x 轴平分？若能，请求出 D 点坐标；若不能，请说明理由YCO A B X2 如图，在平面直角坐标系 xoy 中，抛物线 y=x2 向左平移 1 个单位， 再向下平移 4 个单位，得到抛物线 y=(x-h)2+k ，所得抛物线与 x 轴交于 A、B 两点(点 A在点 B 的左边)，与 y 轴交于点 C，顶点为 D．(1)求 h、k 的值；(2)判断△ACD 的形状，并说明理由；(3)段 AC 上是否存在点 M ，使 △AOM 与△ABC 相似？若存在， 求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．教学反思本节课虽然完成的教学任务， 但理。