高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案.doc

1 函数与方程 【【知识梳理知识梳理】】 1、函数零点的定义 （1）对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点)(xfy 0)(xf)(xfy  （2）方程有实根函数的图像与 x 轴有交点函数有零点因此判断一0)(xf( )yf x( )yf x 个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根函数零点的求法：0)(xf 解方程，所得实数根就是的零点0)(xf( )f x （3）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点 )f x 0 x( )f x ②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点 )f x 0 x( )f x ③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分( )f x , a b 0)()(bfaf( )f x , a b 不必要条件 2、函数零点的判定 （1）零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，)(xfy  ],[ ba ( )( )0f af b 那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程)(xfy  , a b ),( 0 bax 0)( 0 xf 0 x 的根。

0)(xf （2）函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法)(xfy 0)(xf ① 代数法：函数的零点的根；)(xfy 0)(xf ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质 )(xfy  找出零点 （3）零点个数确定 有 2 个零点有两个不等实根； 0 )(xfy 0)(xf 有 1 个零点有两个相等实根；0 )(xfy 0)(xf 无零点无实根；对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行0 )(xfy 0)(xf , a b 确定. 1、 二分法 （1）二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数[ , ]a b ( )( )0f af b( )yf x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二( )yf x 分法; 2 （2）用二分法求方程的近似解的步骤: ① 确定区间,验证,给定精确度;[ , ]a b( )( )0f af b ②求区间的中点;( , )a bc ③计算;( )f c (ⅰ)若,则就是函数的零点;( )0f c c (ⅱ) 若,则令(此时零点);( )( )0f af cbc 0 ( , )xa c (ⅲ) 若,则令(此时零点);( )( )0f cf bac 0 ( , )xc b ④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步.abab 【经典例题】 1．函数 3 ( )=2 +2 x f xx 在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A、0 B、1 C、2 D、3 2．函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A、(－2，－1) B、(－1,0) C、(0,1) D、(1,2) 3．若函数 (且)有两个零点，则实数的取值范围是 . )(xf x axa0a 1a a 4．设函数 f(x)满足 f()=f(x)，f(x)=f(2x)，且当时，f(x)=x3.又函数 g(x)= |xcos|，()xRx[0,1]x()x 则函数 h(x)=g(x)-f(x)在上的零点个数为 （ ） 1 3 [, ] 2 2  A、5 B、6 C、7 D、8 5．函数在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） 2 ( )cosf xxx A、4 B、5 C、6 D、7 6．函数在内 （ ）( )cosf xxx[0,) A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7．对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝Error!设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函数 y＝f(x)－c 的 图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 ( ) A、(－∞，－2]∪ B、(－∞，－2]∪ (－1， 3 2) (－1，－ 3 4) C、∪ D、∪ (－1， 1 4) ( 1 4，＋∞) (－1，－ 3 4) [ 1 4，＋∞) 8．已知函数fx（）=log(0a1). a xxb a＞，且当 2＜a＜3＜b＜4 时，函数fx（）的零点 * 0 ( ,1),,n=xn nnN则 . 3 9．求下列函数的零点： （1）； （2）. 32 ( )22f xxxx 4 ( )f xx x  10．判断函数 y＝x3－x－1 在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度 0.1)． 【课堂练习】 1、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ）( )43 x f xex A、 B、 C、 D、 1 (,0) 4  1 (0, ) 4 1 1 ( , ) 4 2 1 3 ( , ) 2 4 2、若是方程的解，则属于区间 （ ） 0 xlg2xx 0 x A、 B、 C、 D、(0,1)(1,1.25)(1.25,1.75)(1.75,2) 3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( ) 4、函数 f=2 +3x 的零点所在的一个区间是 （ ） x x A．（-2,-1） B、（-1，0） C、（0，1） D、（1，2） 5、设函数 f=4sin（2x+1）-x，则在下列区间中函数 f不存在零点的是 （ ） x x A、[-4,-2] B、[-2,0] C、[0,2] D、[2,4] 6、函数=-在[0，﹚内 （ ） xfxcosx A、没有零点 B、有且仅有一个零点 C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点 7、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过 0.25，则可以是（ ）( )f x( )422 x g xx( )f x 4 A、 B、 C、 D、( )41f xx 2 ( )(1)f xx( )1 x f xe 1 ( )ln() 2 f xx 8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( ) A、 B、 C、 D、 3 ( )8f xx( )ln3f xx 2 ( )2 22f xxx 2 ( )41f xxx  9、函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间 （ ） A、      4 1 , 8 1 B、      2 1 , 4 1 C、      1 , 2 1 D、(1,2) 10、0 1 lg x x有解的区域是 （ ） A、(0, 1] B、(1, 10] C、(10, 100] D、(100,) 11、在下列区间中，函数的零点所在的区间为 （ ）( )e43 x f xx A、 B、 C、 D、 1 (,0) 4  1 (0, ) 4 1 1 ( , ) 4 2 1 3 ( , ) 2 4 12、函数 2 ( )logf xxx的零点所在区间为（ ） A、 1 [0, ] 8 B、 1 1 [ , ] 8 4 C、 1 1 [ , ] 4 2 D、 1 [ ,1] 2 13、设 833xxf x ,用二分法求方程 2 , 10833xx x 在内近似解的过程中得  , 025 . 1 , 05 . 1, 01fff则方程的根落在区间（ ） A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C、(1.5,2) D、不能确定 14、设函数，则在下列区间中函数不存在零点的是（ ）( )4sin(21)f xxx( )f x A、 B、 C、 D、4, 22,00,22,4 15、函数， 零点个数为（ ）A、3 B、2 C、1 D、0 2 23,0 ( ) 2ln ,0 xxx f x x x      16、若函数 32 ( )22f xxxx的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = －2f (1.5) = 0.625f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = －0.054 那么方程 32 220xxx的一个近似根（精确到 0.1）为 （ ） A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5 17、方程的实数解的个数为 . 2 23 x x   18、已知函数 22 ( )(1)2f xxaxa的一个零点比 1 大，一个零点比 1 小，求实数a的取值范围。

19、判断函数 23 2 ( )4 3 f xxxx在区间[ 1,1]上零点的个数，并说明理由 20 、求函数的一个正数零点(精确度 0.1)． 32 ( )236f xxxx 5 【课后作业】 1、下列函数图象与 x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( ) 2、设，则在下列区间中，使函数有零点的区间是 ( ) 2 ( )3xf xx)(xf A、[0,1] B、[1,2] C、[－2，－1] D、[－1,0] 3、已知唯一的零点在区间、、内，那么下面命题错误的 （ ）)(xf(1,3)(1,4)(1,5) A、函数在或内有零点 B、函数在内无零点)(xf(1,2)2,3)(xf(3,5) C、函数在内有零点 D、函数在内不一定有零点)(xf(2,5))(xf(2,4) 4、若函数 3 ( )3f xxxa有 3 个不同的零点,则实数a的取值范围是 （ ） A、2,2 B、2,2 C、, 1  D、1, 5、函数xxxfln)(的零点所在的区间为 （ ） A、 （－1，0） B、 （0，1） C、 （1，2） D、 （1，e） 6、求函数零点的个数为 （ ）132)( 3 xxxf A、 B、 C、 D、1234 7、如果二次函数有两个不同的零点，则的取值范围是 （ 2 3yxxmm ） A、 B、 C、 D、 11 (,) 4  11 (,) 2  11 (,) 4  11 (,) 2  8、方程根的个数为 （ ） A、无穷多 B、 C、 D、0lg xx f(3) 310 9、用二分法求方程在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0， ∴ f(－1) f(0)0，且函数 y＝x3－x－1 的图象是连续的曲线，所以它在区间 [1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下： 区间中点值中点函数近似值 (1,1.5)1.25－0.3 (1.25,1.5)1.3750.22 (1.25,1.375)1.312 5－0.05 (1.312 5。