例谈高考对零点问题的考查_孔欣怡.pdf

高中版高中版 2017 年 1 月 例谈高考对零点问题的考查 筅河南省开封高中孔欣怡 函数和方程的理论是高中新课标教材中新增的知 识点 近几年高考中频频出现零点问题 其形式逐渐多 样化 它主要涉及到基本初等函数的图像 渗透着转化 与化归 数形结合 函数与方程等思想方法 在培养思维 的灵活性 创造性等方面起到了积极的作用 本文就函 数零点在高中数学中的常见题型及求解方法进行剖析 希望对大家有所帮助 一 函数零点 存在性 问题的考查 函数的零点问题是近年来各级考试中的热点题型 之一 无论小题 大题均有所涉及 主要题型包括 原函 数的零点存在形式转化 零点个数判断 零点存在性证 明及导函数零点存在唯一性虚设等 下面结合具体实例 进行解析 1 函数零点存在的形式转化 在函数与方程之间存在三种等价转化关系 函数 F x f x g x 的零点圳方程f x g x 0的根圳函数 y f x 的图像与函数y g x 的图像交点的横坐标 合理 运用这些等价关系 可以将零点问题转化为方程的根或 两个函数图像的交点问题 例1已知函数f x 2 x x m x2 x 1 x 1 1 1 若函数f x 无零点 求实数m的取值范围 2 若函数f x 在 2 2 有且仅有一个零点 求实 数m的取值范围 解析 1 函数f x 无零点圳f x 2 x x m x2 x 1 x 1 1 0无解 即 x2 x m 2 x2 x 0无解或x 0 x 1是根 所以 1 4 m 2 0 或 m 2 0 或 1 1 m 2 0 解 得 m m 7 4 或m 圳圳 2 2 函数f x 在 2 2 有且仅有一个零点圳设g x x2 x m 2有一个零点 结合二次函数图像可知 1 4 m 2 0 g 2 g 2 圳 0 或有一个根为2 或 2 令一个根在 2 2 之间 解得 m m 7 4 或4 m0时 f x 在 0 单调递增 0 2 a 单调递减 2 a 单调递 增 这时要使函数f x 存在唯一零点x0 必有x0 0 不合 题意 当a0 f 2 a 0 解 得a 2 解法二 f x ax3 3x2 1存在唯一的零点 显然x 0 不是零点 即ax3 3x2 1 0 令a 3x2 1 x3 g x g x 3x2 3 x4 0 x 1 所以g x 在 1 单调递减 在 教学 参谋 解法探究 58 高中版高中版 2017 年 1 月 教学 参谋 解法探究 1 1 上单调递增 在 1 上单调递减 又g 1 2 g 1 2 要使直线y a与y g x 有横坐标大于零的交 点 必有a 2 3 函数零点的存在的确定性证明 函数y f x 是定义在 a b 上的连续函数 满足f a f b 0 则函数在区间 a b 内存在零点 即存在c a b 使得f c 0 这个c也就是方程f x 0的根 如果函数 y f x 是单调函数 那么在此区间有唯一零点 根据此定 理要证明函数在区间 a b 内有零点 只需证明f a 与 f b 的符号相反即可 例3设函数fn x 1 x x2 22 x3 32 xn n2 x R n N 证明 1 对每个n N 存在唯一的xn 2 3 1 满 足fn xn 0 2 对任意p N 由 1 中xn构成的数列 xn 满足0 xn xn p0 所以fn x 在 2 3 1 上单调递增 又fn 1 0 fn 2 3 2 2 1 2 3 1 4 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 2 n 1 2 3 1 4 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 n 22 1 1 2 3 0 的零点个数为 解析 当x 0时 令x2 2x 3 0解得x 3 当x 0时 令 2 lnx 0解得x e2 故函数有两个零点 2 利用函数图像判断函数零点个数 直接利用函数图像与x轴的交点个数或者将函数变 形 将函数零点变成两个函数图像的交点问题 函数 F x f x g x 的零点 即方程f x g x 的根 也就是 函数y f x 的图像与函数y g x 的图像交点的横坐标 当函数y F x 的图像不易画时 可将F x 分解成两个相 对简单的函数 即F x f x g x 利用f x 与g x 图像 交点的个数来判断F x 的零点个数 例5设定义在R上的函数f x 是最小正周期为2 的偶函数 f x 是f x 的导函数 当x 0 时 0 f x 1 当x 0 且x 2 时 x 2 22f x 0 则函数y f x sinx在 2 2 上的零点个数为 解析 由当x 0 且x 2 时 x 2 22f x 0知 当x 0 2 22时 f x 0 从而f x 在 2 22 上单调 递增 又x 0 时 0 f x 1 在R上的函数f x 是最小 正周期为2 的偶函数 在同一坐标系中作出和g x sinx 简图如图1 由图1知 y f x sinx在 2 2 上的零点 个数为4 图 1 6 4 20246 2 1 1 2 y 3 分离参数转化为两个函数图像的交点个数 对于解决含参数的函数零点个数问题时 从正面合 理地对参数的取值进行分类讨论是常用的策略 但有时 学生会因为找不到分类的标准或讨论不够全面而失分 通过分离原函数对应方程f x 0中的变量和参数a后变 形成g x h a 将原函数的零点个数问题化归为函数 y g x 图像和直线y h a 的交点个数问题 可避免复杂 的讨论 例6设函数f x lnx ax g x ex ax 其中a为实数 59 高中版高中版 2017 年 1 月 教学 参谋 解法探究 1 若f x 在 1 上是单调递减函数 且g x 在 1 上有最小值 求a的取值范围 2 若g x 在 1 上是单调递增函数 试求f x 的零点个数 并证明你的结论 解析 1 略 2 证明 因为g x 在 1 上是单调递增函数 所以g x ex a 0 即a ex对x 1 恒成立 而当 x 1 时 ex 1 e 所以a 1 e 由f x 0得a lnx x 所 以函数f x 的零点个数就是直线y a与函数h x lnx x 图 像交点的个数 因为h x 1 lnx x2 所以令h x 0 得x e 当x 0 e 时 h x 0 h x 在 0 e 上单调递增 当x e 时 h x 0 h x 在 e 上单调递减 故h x 的最大值为h e 1 e 又当x 0 1 时 h x 0 当x 0时 h x 当x 时 h x 0 故可作出 h x lnx x 的简图如图2 由图2知 当a 0或a 1 e 时 f x 的零点个数为1 当 0 a 1 e 时 f x 的零点个数为2 4 利用零点存在定理和函数单调性判断函数零点 个数 用零点存在定理可判断函数零点是否存在 如果需 要进一步判断图像连续不断的函数的零点是否唯一 可 以借助函数的单调性 需将判定的区间划分为函数的单 调区间逐一判定 一般地 图像连续不断的函数f x 在区 间 a b 上单调 且f a f b 0 则函数f x 在区间 a b 上有唯一零点 例7已知函数f x axsinx 3 2 a R 且在 0 2 22 上的最大值为 3 2 1 求函数f x 的解析式 2 判断函数f x 在 0 内的零点个数 并加以证 明 解析 1 f x xsinx 3 2 过程省略 2 函数在内有且只有两个零点 证明如下 由 1 知 f x xsinx 3 2 从而f 0 3 2 0 又f x 在 0 2 22上的图像是连续不断的 所以 f x 在 0 2 22上至少有一个零点 又当x 0 2 22时 f x sinx xcosx 0 所以f x 在 0 2 22上单调递增 故 在 0 2 22上只有一个零点 当x 2 22 时 令g x f x sinx xcosx 由g 2 2 2 1 0 g 0 且g x 在 2 22 上的图像是连续不 断的 故存在m 2 22 使得g m 0 由g x 2cosx xsinx知 x 2 22 时 g x g m 0 即f x 0 从而 f x 在 2 22 m 上单调递增 故当x 2 22 m 时 f x f 2 2 2 3 2 0 故在 2 22 m 上无零点 当x m 时 g x g m 0 即f x 0 f 0且a 1 当2 a 3 b 4时 函数f x 的零点x0 n n 1 则n 解 方程logax x b 0 a 0且a 0 的根为x0 即函数 y logax 2 a 3 与函数y x b 3 b0 由于a1 a3 a9成等比数列 则a23 a1a9 即 a1 2d 2 a1 a1 8d 圯d2 a21d 又d 0 故a1 d 因为S5 a25 所以5a1 5 4 2 d a1 4d 2 由 得a 3 5 d 3 5 故an 3 5 n 1 3 5 3 5 n 例2已知数列 an 的前n项和Sn满足Sn 2an 1 n 圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯圯 61 。