浅析平移公式的应用.docx

          浅析平移公式的应用                    【关键词】图形平移;平移公式;平移变换;向量;坐标;函数解析式;化简BriefanalysistranslationformulaapplicationXiaoFenghe【Abstract】【Keywords】Graphicstranslation;Translationformula;Translationtransformation;Vector;Coordinates;Analyticalfunction;Simplification1图形平移的定义理解设F为坐标平面内的一个图形,将F上所有点按同一方向,平移相同的单位长度,得到图形F’这个过程叫图形的平移,将一个图形平移,图形的形状,大小不变,只是在坐标平面内的位置发生了变化因此,在平移前后图形中的那些与位置无关的几何量,如图形上任意两点之间的线段长度不变;而那些与位置有关的对象,如图形上点的坐标,曲线的方程或函数解析式等都会发生变化2平移公式设P(x,y)为图形F上任一点,它按向量a=(h,k))平移后的图形F′上对应点为P′(x′,y′)则有x′=x+hy′=y+k3平移公式的应用3.1点的平移与向量的平移例1,已知A(4,6),B(5,7),a=(1,2)(1)求点A按向量a平移后所得点的坐标;(2)求向量AB按向量a平移后所得向量A′B′的坐标。

解:(1)设A′(x′,y′),由平移公式,得x′=4+1=5y′=6+2=8,故A′(5,8)2)由平移公式得B′(6,9),则A′B′=(1,1)因为AB=(1,1),所以AB=A′B′注:点平移后坐标改变,向量平移后坐标不变.图形的平移实质是点的平移3.2求平移前(后)的函数解析式或曲线的方程例2,把函数y=3sin2x的图像按a=(－π4,1)平移,得到y=g(x)的图像,求g(x)的解析式解法1：函数y=3sin2x的图像按a=(－π4,1)平移后图像解析式为:y-1=3sin2(x+π4),即y=3sin(2x+π2)+1解法2：设P(x,y)是函数y=3sin2x的图像上任一点,按向量a=(－π4,1)平移后的对应点是P′(x′,y′)在y=g(x)的图像上,由平移公式x′=x-π4y′=y+1即x=x′+π4y=y′-1代入解析式y=3sin2x中,得y′=3sin(2x′+π2)+1,所以g(x)的解析式为:g(x)=3sin(2x+π2)+1例3,若将函数F图像按a=(1,-1)平移后,得到函数F′的解析式为:y=2x2,求函数F的解析式解:设P(x,y)为函数F上任一点,P′(x′,y′)为平移后函数F′图像上相应的点,由平移公式x′=x+1y′=y-1代入解析式y′=2x′2中,得:y－1=2(x+1)2即y2=2x2+4x+3.所以函数F的解析式:y2=2x2+4x+3注:将图形或点按向量a=(h,k)平移,也就是将图形沿x轴向右(h＞0)或向左(h＜0)平移∣h∣个单位,再沿y轴向上(k＞0)或向下(k＜0)平移∣k∣个单位。

函数y=f(x)的图像按向量a=(h,k)平移后,所得图象解析式为:y-k=f(x-h)曲线f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后,所得曲线的方程为f(x－h,y－k)=0曲线y=f(x)按向量a平移得到y=g(x),则可把y=g(x)按向量－a平移得到y=f(x)3.3求平移向量的坐标例4,将二次函数y=x2+6x+11的图象经过怎样的一个平移，可以得到函数y=x2的图象解法１：（待定系数法）设平移向量为ａ＝(h,k)，则x′=x+hy′=y+k代入y′=x′2，得y+k=(x+h)2，整理得y=x2+2hx+h2-k它是平移前的解析式，应与y=x2+6x+11相同比较系数，得2h=6h2-k=11解得h=3k=-2∴按向量a＝（3,－2）平移可满足要求注：本解法是待定系数法，它是将平移公式按照问题要求代入，再根据问题已知条件比较系数，从而确定h，k值，即可得到平移向量解法２：（特殊点法）原图象的顶点为（－3,2），平移后的图象的顶点为（0,0）,利用平移公式可得－3＋h=02+k=0解得h=3k=-2所以平移向量a＝（3,－2）注：本解法是利用平移抛物线的特殊对应点，也就是平移抛物线顶点的对应点，来得到平移向量。

所以本解法实质是利用对应点求得对应的平移向量解法3:(配凑法)y=x2＋6x＋11=(x＋3)2＋2即y－2=(x＋3)2设x′=x+3y′=y-2则y′=x′2故所求向量a=(3,－2)注:本解法是利用配凑法,就是把平移前函数解析式配凑成与平移后解析式形式相同,再利用平移公式得到平移向量注:由平移前后解析式确定平移向量的坐标可采用如下三种方法:(1)待定系数法;(2)配凑法;(3)特殊点法3.4化简曲线的方程例5,利用向量的平移化简方程xy+y－2x－4=0,并指出这一方程所确定的曲线的对称中心解:由xy+y－2x－4=0,得y=2x+4x+1=2+2x+1,即y-2=2x+1设x′=x+1y′=y-2,则y′=2x′因此将曲线xy+y－2x－4=0按向量a=(1,-2)平移,得到y=2x因此方程所确定的曲线的对称中心是(－1,2)3.5求平移向量模的最值例6,设函数f(x)=a·(b+c),其中向量a=(sinx,－cosx),b=(sinx,－3cosx),c=(－cosx,sinx)(x∈R)(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(2)将函数y=f(x)的图像按向量d平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d。

解：(1)略(2)由(1)可知,f(x)=2－2sin(2x－π4)设d=(h,k),将平移公式x=x′-hy=y′-k代入f(x)=2－2sin(2x－π4),得y′-k=2-2sin[2(x′-h)-π4],故平移后的解析式为:y=2－2sin(2x-2h-π4)+k因平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,由f(0)=0得:k=－2,－2h－π4=kπ,则h=－kπ2-π8(k∈Z)于是d=(-kπ2-π8,-2),∣d∣=(-kπ2-π8)2+4,要使∣d∣最小,只有k=0,此时d=(-π8,-2)即为所求  -全文完-。