对一道江苏高考试题的解法探究.pdf

·4 0· 中学教研 ( 数学) 2 0 1 5生 对 一 道 江 苏 高 考 试 题 的 解 法 探 究 ●翟爱国 ( 戴南高级中学江苏兴化2 2 5 7 2 1 ) ●张安林 ( 兴化市教育局教研室江苏兴化 2 2 5 7 0 0 ) 题 目 如图 1 ， 在平面直角坐标系 x O y中， 已 知椭圆 2 + 告 2 ： 1 ( 其中 > 6 > o ) 的 离心率为 ， 0 D 二 且右焦点 F到左准线 f 的距离为 3 ． 1 ) 求椭圆的标准方程； 2 ) 过点 F的直线 与椭 圆 交于点 A， B， 线段 A B的垂 直 平分线分别交直线 Z 和 A B于 点P， C ， 若 P c= 2 A B， 求直线 A B的方程． A 图 1 ( 2 0 1 5年 江 苏省数 学 高考试题 第 1 8题 ) 本题考查的内容丰富、 包 罗万象 ， 涉及椭圆定 义 、 方程 、 几何性质 、 圆锥曲线统一定义 、 焦点弦、 直 线与椭 圆的位置关系 、 直线与直线 的位置关 系、 定 值问题等诸多基础知识． 在圆锥曲线背景下动直线 过定点、 定值 、 最值问题一直 以来是高考考查的热 点． 笔者对第 2 ) 小题进行了全新地审视与研究， 获 得了 8种不 同的解法和 3个探究 ， 现整理如下 ， 供 读者参考． 1 ) - 5 - + y 2 =1 ( 过程略) ． 2 ) 解法 1 若直线A B斜率不存在， 此时P C= 3 ， A B= √ ， 不满足 P C=2 A B， 故直 线 A B的斜率存 在． 设直线A B 的方程h Y=k ( ～1 ) ( 其 中 k ≠ 0 ) ， 代入 + y 2 =1 ， 整理得 ( 2 k +1 ) 一 4 k + 2 k 一 2= 0 ． 设 A ( y I ) ， ( y 2 ) ， 则 由 ¨ ：= ， ： = 滑 。

)一 2 k 一 ， 从 而 c ( ， 一 2上 k 2 + 1 ) ． 设 直 线 P c 的 方 程 为 + =一 2 k 2 Y ) ， + 一 I J ， 令 = 一 2 ， 得 y = + ％· 此 时 P ( + ) ， 从 而 = ( + 2 )2 + ( + 由弦长公式得 =( 1 8 ( 再由题意得 P c = 4 A B ， 化简得 k 一k 一k +1=0． 即 ( k 一1 ) ( k +1 ) = O， 解得 k=±1 ， 因此直线A B的方程为 Y=±( —1 ) ． 点评解法 1是对题意的直接理解 ， 是最易想 到、 最易理解的一 种解法． 先通 过取直线 A B的特 殊位置算出 P c≠2 A B， 紧接着 引人参数 k ， 根据等 量关系列出方程 ， 求参． 其 中， 求线段 P C的长度用 两点间距离公式， 求线段 A 长用弦长公式 A B= ~ ／ 1 + k I x 一 2 I ， 代入P c = 4 A B 求解参数 k ． 但 美中不足的是线段 JP C的长度表达式形式复杂、 计 算量较大． 笔者尝试设直线 A B的方程为 = m y+1 ( 其中 m≠O ) ， 计算量还是很大． 能不能优化解法 1 呢? 解法 2 设直线 A B的斜率为 k ， 则 k ≠0 ．由解 法 1知 ， c ， =一2 · 由直线上 两点间距 离公 式得 P c = √ l + 1 一 P I ' 计 算 得P C = ( 黯 If, 、 二 1． 1 ， 再由P C = 4 A B ， 解得 k=±1 ， 因此直线 A B的方 程为Y=- I- ( 一1 ) ． 点评比较解法 2和解法 1中得到的 P C ， 显 然解法 2中求得 的更简洁． 两点间距离公式 、 直线 上两点间距离公式 、 弦长公式本质上是一样 的， 学 生对公式本质的掌握才能避免解题被动． 另外 ， 笔 第9期 翟爱国， 等： 对一道江苏高考试题的解法探究 · 41· 者还尝试用点 P到直线 A B的距离公式求线段 P c 的长度 ， 运算过程也较解法 1简洁． 解法 3 设直线A B 的斜率为 k ， 则 k ≠0 ． 由解 法 2知 ， = ( ) ． 又 A B= A F+B F=( a一 既1 )+( a—e x 2 ) = 2 。

e ( = 2 · ( 以下 点评解法 3是用椭圆的焦半径公式求线段 A B的长度 ， 较用弦长公式计算来得简洁． 解法 4 设直线 A B 的斜率 为 k ， 则 k≠ 0 ． 设 A( l ， Y 1 ) ， B( x 2 ， Y 2 ) ， 则 f +2 y =2， 【 + 2 y ； = 2 ， 2个式子相减 ， 得 ， Yl—Y 2 1+X ,2 c i 一 而 一 ’ 变形得 Y c =一 ． 结 合 y = ( 一 1 ) ， 解 得 c ( ， 一 ) ． 设 直线 P C的方程为 Y +志 = 一 * 一 ) ( 以 下 + 一 l 以 j、 略 ) ‘ 点评解法 4用点差法 ， 求 出点 C的坐标 ， 不 同于解法 1中常用 的“ 韦达定理法 ” 求弦 中点坐 标． 解法5 如图2 ， 过点C作c Dj - z ， 4 E ∥z ， 肌 上 A E， 可证△P C D一△ E， 从而 = ， 即 ：2． y'一Y 2 亦即 c + 2=2 ( Y l — Y 2 )= 2 k ( l — 2 ) ， 从而 c + 2 = 2 I k I ~ ／ ( 1 + 2 ) 一 4 x 1 2 ． 由解法 1知 2 ． ． , ／ 8 k + 8 c 芝 丽， 。

- 一 z — 芝 可， 代入化简得 即 解得 k 一2 k +1=0． ( k 一1 ) 0， k=±1 ( 以下略) ． 点评解法 5是通过作辅助线 ， 找到 2个相似 三角形 ， 把条件 P C=2 A B的等量关系转化为另一 个等量关系 + 2= 2 k ( 一 ) ， 为本题继续寻找 图形中的几何量之间关 系求解参数 k开了一个好 头． r L -- ~ F A U ⋯‘ ‘～＼ ＼2I f 、 0 ． 图 2 图 3 解 法 6 设 直线 A B 的斜 翠为 ， 则 k≠0 ． 如 图 3 ， 设 直 线 P C 与 轴 交 于 点 M，可 求 得 ( ，0 ) FM 一 = ． 由AP C D, ~AF MC得 一PC一 PD —FC ’ 变形得 P D= 而P C= 2而 A B． 由解法 l知 ， A B= 2 · k 2 +1，代入上 式得 = 4 ， 即 I ． l _ _ = — 一：4 ． ~ 2 k 2 + 1) 2 2‘ ’ 化简得 k =1 ( 以下略) ． 点评解法 6和解法 5的相同点是借助 2个 相似三角形寻求新的等量关系式 ； 不同点是解法 6 中AF MC是图形 中已有的三角形 ， 其 中求线段 F C 长用的是两点间距离公式． 研究解法 6 ， 笔者发现 ： 当直线 A B的斜率 k存 在且 k ≠0时 ， 2 · ，FM = ， 此时 而A B= 2 ： ， 是巧合还是必然? 探 究1 已 知 椭圆 x+ 告= 1 ( 其中0 > b > 0 ) ， 过右焦点 F作一条斜率存在且不为 0的直线 Z ． ， 交椭圆于点 A， B， 线段 A B的垂直平分线 交 ·4 2· 中学教研 ( 数学) 2 0 l 5年 轴 于 点 ， 求 证 ： 而A B = 吾 ( 证 明 略 ) ． 3 ， 由探究l 知而A B= 了2= 2 √ ，即 F M = 譬 A ． 设 直 ： ：掣 丝 ： 3——． MC =FMs i n o t =ABs i n ． 从 而P c： P M + MC：三 _=-_ + √L~ A B s m ． 从 而P c = + 音+ ‘ AB ：丁 ， 得 5 -3 c o s 2 a + s i n a= 2 -C正OS20 ／， ／ ' 3 解得 s i n = ( 以下略) ． D 点 P， C， 试求 的取值范围· t P C ~ 2 k 2k 2+ 1 ( 6 k 22--~ + 1 }+ 2 ]2 k 1 9 k + 6 k 。

+ 1 4 + 2 + 酬 丽 ’ ， PC、 9t +6 t+1 9 1—3 t I J 一2+ 2— t 2 +— 2 t ’ 设 g ( ￡ ) = 9+ 1 - 3 t，得 = ． 令 g ( ) = 0 ， 解 得 江 l ( = 一 ÷ 舍 去 ) ． 因 此 ， 当 ￡ ∈ ( 0 ， 1 ) 时， g ( t ) 0 ． 综上可得 ， g( t ) =g ( 1 )=4 ， 此时 k =1 ． 于 是＼[ AP C，~ 2 >14 ， ．AP C≥2，当且仅 当后=±1时等号成 立． 探究 3 已知椭圆 + =1 ( 其 中 0>b> 0 ) ， 过右焦点 F作一条与 戈 轴不垂直的直线交椭 圆于点A ， B ， 线段 A B的垂直平分线分别交椭圆的 左 准 线 z A B 于 点 P ， C ，试 求 磊的 取 值 范 围 · p ，’ 解 如 图 3 ， 设直 线 A B 的倾斜 角为 a( 其 中 0 2b． 一 · ⋯ 2 c ‘ 第9期 林逸凡： 圆锥曲线高考题热点题型及通用妙解 · 4 3· 圆 锥 曲 线 高 考 题 热 点 题 型 及 通 用 妙 解 ●林逸凡 ( 吉林大学附属中学实验学校高中部吉林长春1 3 0 0 0 0 ) 2 0 1 5 年高考在社会各界的广泛关注下轰轰烈 烈地落下了帷幕． 在收集整理各地真题的过程中发 现， 许多省市如山东、 浙江、 湖北、 上海等， 在对圆锥 曲线的试题命 制 中， 不约而 同地采用 了同一种题 型——求 2个交点和原点 0构成 的三角形面积． 这类题型如果采用传统的坐标法 ， 通常需要对直线 的斜率是否存在进行讨论， 计算过程也相当麻烦， 得分率不高． 在实际的教学过程 中， 笔者曾引导学生对这一 类题型进行归纳 ， 进而得出一种简洁优美的通用解 法． 有趣的是 ， 当时恰是受了 2 0 1 3年山东省数学高 考真题 的启发． 2 0 1 5年山东省“ 旧瓶装新酒” ， 又出 了同类型的题 目， 应 当引起考生的重视． 高考题往 往是能够追根溯源的， 鼓励学生在平时勤思考 ， 多 总结、 归纳题型， 领悟题魂， 对提高自身解题能力有 相当大的帮助． 教师可以让学生站到一个更高的视 角去看问题 ， 难题 自然迎刃而解． 1 热点题型： 求 2个交点和原点 D构成 的三角形 的面积 对坐标系内2 个点与原点 O构成的三角形面 积计算 ， 有如下结论 ： 结论 1 A ( ， Y 。

) ， B( ， Y ) 为直角坐标系中 的 2个点 ， 则点 A， 和原点 O构成的三角形 面积 为 s A A O B~ - y ． 证 明 ( 向量 法 ) 1— _ +— _+ S= ÷ I O AI ·I O BI s i n LA O B= 1 2 ( + ， ， ) ( ； + y ； ) 一 ( X ,1 ： + y I Y 2 ) = ÷ l x 2 y l — Y 2 】 1 ． 此公式有深刻的高等数学背景 ， 二维情形的证 明比 较简单， Y 一 x 2 y 实际上是行列式。