数学史与数学教育( HPM) 的一个案例—刘徽的“割圆术”与微.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑数学史与数学教育( HPM) 的一个案例—刘徽的“割圆术”与微 [摘　要]刘徽的“割圆术”是中国数学史上的重要成就之一,其中包含着中国数学家对无限问题的独特熟悉和致用的处理方式.好多高等数学教科书在陈述极限概念时大都提及,但所述,并未表达刘徽本意.刘徽的“割圆术”是为证明圆面积公式而设计出来的一种方法,其融合了庄、墨两家理解和处理无限问题的方法,并且使用了数列极限的“夹逼准那么”和不成分量可积的预设.通过这些相关学识的历史考察,试图以HPM的方法来辅佐解决极限概念教学的难题. [关键词]刘徽;割圆术;无限;可积 《高等数学》[1]在讲授数列极限概念之前,介绍了我国古代数学家刘徽的割圆术中极限思想,进而引入数列极限的描述定义.实际上,刘徽借“割圆术”方法,凭借其高明的对无限问题的理解和致用的处理方式,以“不成分量可积”前提、“夹逼准那么”等学识证领略圆的面积公式,运算中包含着微积分的思想.另外要指出的是,他利用证明圆面积公式所设计出的机械性的算法程序,求得的圆周率的近似值———徽率（157÷50）.郭书春先生认为,刘徽在世界上最先把无穷小分割和极限思想用于数学证明.[2] 1　刘徽的“割圆术” 我国古代数学经典《九章算术》第一章“方田”中有我们现在所熟谙圆面积公式“半周半径相乘得积步”.魏晋时期数学家刘徽为证明这个公式,于公元263年撰写《九章算术注》,在这一公式后面写了一篇长约1800余字的注记———“割圆术”. “割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不成割,那么与圆周合体而无所失矣!觚面之外,犹有余径,以面乘余径,那么幂出弧表.若夫觚之细者,与圆合体,那么表无余径.表无余径,那么幂不外出矣.以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍,故以半周乘半径而为圆幂.”[3] 2　几点注记 在证明这个圆面积公式的时候有两个重要思想,一个就是我们现在所讲的极限思想.其次个是无穷小分割思想. 2.1　数列极限的夹逼准那么 刘徽利用割圆术证明圆的面积公式时,用了“夹逼准那么”(SqueezeTheorem).他从圆内接正6边形开头割圆,设圆面积为S0,半径为r,圆内接正n边形边长为ln,周长为Ln,面积为Sn,将边数加倍后,得到圆内接正2n边形的边长、周长、面积分别记为:l2n、L2n、S2n. 刘徽用“勾股术”得[4]: 若知Ln,那么可求出圆内接正2n边形的面积: 刘徽认为,“觚面之外,犹有余径,以面乘余径,那么幂出弧表”: S2nS0Sn+2(S2n-Sn)=S2n+(S2n-Sn), “若夫觚之细者,与圆合体,那么表无余径.表无余径,那么幂不外出矣.” limn→∞S2nS0limn→∞(Sn+2(S2n-Sn))=limn→∞(S2n+(S2n-Sn)). 即在n趋于无穷大时,圆内接正多边形的面积就是圆面积. 2.2　折中的无限分割方法 关于量可分的两种假定,在中国古代对应着两个命题.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”的“尺棰命题”中隐含着一个量无限可分(潜无限)的假定.而“非半弗斫,说在端”的“非半弗斫”命题那么认为一个量是有分外多的极微小的不成分片面组成的.— 3 —。