拉普拉斯变换1ppt课件.ppt

第二章第二章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换§§1 1 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义定义：设函数定义：设函数 当当 时有定义，积分时有定义，积分( ( 是一个复数是一个复数) )在在 的某一区域内收敛，则称此积分的某一区域内收敛，则称此积分所确定的函数所确定的函数 为为 的拉普拉斯变换，记为的拉普拉斯变换，记为即即也称为也称为 的象函数假设的象函数假设 是是 的拉普拉斯变换，的拉普拉斯变换，为为 的拉普拉斯逆变换，记为的拉普拉斯逆变换，记为称称也称为也称为 的原象函数的原象函数1 1、原象函数和象函数、原象函数和象函数.例例2-12-1：求单位函数：求单位函数 的象函数的象函数解：解：例例2-22-2：求：求 的象函数的象函数( ( 为复常数为复常数) )解：解：.2 2、拉普拉斯的存在定理、拉普拉斯的存在定理(1) (1) 及其及其 阶导数阶导数, ,当当 时是单值连续或者时是单值连续或者是分段连续的是分段连续的 称满足上述条件的原象函数称满足上述条件的原象函数 为为 类，记作类，记作关于实变量关于实变量 的函数的函数 满足下列条件满足下列条件(2)(2)当当 时，时， 的增长速度不超过某一指数函数的增长速度不超过某一指数函数即存在常数即存在常数 , ,使使 。

(满足此条件满足此条件的函数称它的增长是指数级的的函数称它的增长是指数级的, , 为它的增长指数为它的增长指数) )本书中，为了记号方便，象函数和原象函数之间的本书中，为了记号方便，象函数和原象函数之间的对应符号用对应符号用 表示并记作表示并记作 或或.存在性定理存在性定理 若关于实变量若关于实变量 的函数的函数 , ,即满足上述条件即满足上述条件(1)(2),(1)(2), 那么那么 的拉氏变换的拉氏变换 在右半平面在右半平面 上一定存在右端的积分在上一定存在右端的积分在 上绝对收敛且一致收敛，并且上绝对收敛且一致收敛，并且 在右半平面在右半平面 内为解析函数内为解析函数, ,且且此定理的条件是充分的物理学和工程技术中的常见此定理的条件是充分的物理学和工程技术中的常见函数大都能够满足这两个条件函数大都能够满足这两个条件。

t t充分大后充分大后它们的增长是指数级的它们的增长是指数级的3 3、象函数的基本性质、象函数的基本性质(1) 唯一性定理唯一性定理假如假如并且并且则对应的原象函数在除去可能有的间断点以外所有点上相等则对应的原象函数在除去可能有的间断点以外所有点上相等即即(2)象函数的解析性定理象函数的解析性定理由存在性定理可知，象函数由存在性定理可知，象函数 当当时是解析函数，即它可以展成幂级从而在级数的收敛时是解析函数，即它可以展成幂级从而在级数的收敛域内可微分或积分任意次域内可微分或积分任意次..(3) 线性性线性性假如假如并且并且那么那么(4).4 4、几个简单函数的象函数、几个简单函数的象函数1. 1. 单位函数单位函数 的象函数的象函数由例由例2-12-1知，知，2. 2. 指数函数指数函数 的象函数的象函数由例由例2-22-2知，知，.3. 3. 三角函数的象函数三角函数的象函数4. 4. 双曲函数的象函数双曲函数的象函数.§§2 2 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质(1)(1)原象函数的微分性原象函数的微分性证证1 1、微分性、微分性 假设假设那么那么.例例2-32-3：知：知 , ,求求 的象函数的象函数解解.特别当特别当 时，有时，有一般地，对任意的自然数一般地，对任意的自然数 ，假设，假设 , ,则有则有例例2-42-4：用微分性求：用微分性求 的象函数的象函数解解即即.(2)(2)象函数的微分性象函数的微分性假设假设 ，，一般地一般地由存在性定理证明即可得出结论由存在性定理证明即可得出结论例：求例：求同理同理那么那么.例2-5求 (k为实数) 的象函数.2 2、积分性、积分性假设假设 ，，证证反复利用积分性质可得反复利用积分性质可得(1)(1)原象函数的积分性原象函数的积分性那么那么.例：求例：求 的象函数的象函数解解.(2)(2)象函数的积分性象函数的积分性那么那么例例2-62-6：求：求 的象函数的象函数解解假设假设 ，，.3 3、相似定理、相似定理 假设假设 ，且，且 ，则对任意的常数，则对任意的常数总有总有证证令令那么那么.例例2-72-7：： 试求试求 的象函数的象函数解：解：. 4 4、延迟性、延迟性( (关于时间关于时间t t的位移性质的位移性质) )假设假设 , ,又又 时，时， ，那么，那么对任一非负实数对任一非负实数 , ,有有证证由于由于. 将函数将函数 与与 相比，相比， 是从是从 开场开场有非零值的，而有非零值的，而 是从是从 开始有非零值的开始有非零值的即延迟了一个时间即延迟了一个时间 ，从图象上看，从图象上看 的图象的图象是由是由 的图象沿的图象沿 轴向右平行移动轴向右平行移动 所得到。

延所得到延迟性表明，时间函数延迟迟性表明，时间函数延迟 的拉普拉斯变换等于它的的拉普拉斯变换等于它的象函数乘以因子象函数乘以因子 例例2-8 2-8 求求 的象函数的象函数 解法解法1：：因因利用线性性得到利用线性性得到解法解法2：：令令而而于是有于是有借助于延迟性定理借助于延迟性定理大家想一下，解法大家想一下，解法1和和解法解法2哪个是正确的哪个是正确的？为什么？？为什么？.注意：延迟性定理的确切表达或者是不容易产注意：延迟性定理的确切表达或者是不容易产生误解的表达应如下生误解的表达应如下假假设设那那么么例例2-92-9：求函数：求函数的拉氏变换的拉氏变换.1tO知知于是由延迟性定理知于是由延迟性定理知.例例2-92-9：求如图所示波形的象函数：求如图所示波形的象函数11解：已给波形的表达式为解：已给波形的表达式为.可以把波形看成是下图虚线所示的两个波形相减而得可以把波形看成是下图虚线所示的两个波形相减而得11知知由延迟性由延迟性. 5 5、周期函数的象函数、周期函数的象函数设设 是是 内以内以 为周期的函数，且为周期的函数，且 在一在一周期内逐段光滑，那么周期内逐段光滑，那么 例例2-11 求函数求函数 的象函数的象函数 解：解：是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数令令同时同时.由于由于所以所以.6 6、逐段连续或者逐段光滑函数的象函数、逐段连续或者逐段光滑函数的象函数例例2-12 求函数求函数 的象函数的象函数31 解：由图象知解：由图象知.例例2-13 求函数求函数 的象函数的象函数解：由图象知解：由图象知因而因而.例例2-14 求函数求函数 的象函数的象函数解：由图象知解：由图象知.因而因而.例例2-15 求函数求函数 的象函数的象函数解：由图象知解：由图象知因而因而.例例8 8：求如图所示阶梯函数的拉氏变换：求如图所示阶梯函数的拉氏变换解解当当 时时7 7、阶梯函数的象函数、阶梯函数的象函数.8 8、关于、关于 的位移性质的位移性质假如假如 且且 ，，则对则对任意的复常数任意的复常数证明：事实上证明：事实上.例例2-16 求下列函数的象函数求下列函数的象函数解：解：(1) 由于由于由位移性质由位移性质再由原象函数的微分性质再由原象函数的微分性质.解：解：(2) 由于由于由象函数的微分性质由象函数的微分性质再由位移性质再由位移性质.。