第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION2.doc

§2 场论初步、、 场论的基本概念及梯度、散度与旋度[标量场 ] 空 间区域 D 的每点 M(x,y,z)对应一个数量 值 (x,y,z)，它在此空间区域 D 上就构成一个标量场，用点 M(x,y,z)的标函数 (x，y，z)表示.若 M 的位置用矢径 r 确定，则标量可以看作变矢 r 的函数 ＝ (r).例如温度场 u(x,y,z),密度场 ,电位场 e(x,y,z)都是标量场.)[矢量 场] 空间区域 D 的每点 M(x，y，z)对应一个矢量值 R(x，y，z)，它在此空 间区域 D上就构成一个矢量场，用点 M(x，y，z)的矢量函数 R(x，y，z)表示.若 M 的位置用矢径 r 确定，则矢量 R 可以看作变矢 r 的矢函数 R(r)：R(r)＝X(x，y，z)i＋Y (x，y，z)j＋Z(x，y ，z)k例如流速场 (x，y，z)，电场 E(x，y，z)，磁场 H(x，y，z)都是矢量场.与标量场的情况一样，矢量场概念与矢函数概念， 实质上是一样的.沿用这些术语(标量场、矢量场) 是为了保留它们的自身起源与物理意义.[梯度]grad ＝( ， ， )= = i＋ j＋ kxyzxyz式中 =i ＋ j ＋k 称为哈密顿算子,也称为耐普拉算子.grad 有的书刊中记作 del .xyz grad 的方向与过点 (x，y，z)的等量面 ＝C 的法线方向 N 重合，并指向 增加的一方，是函数 变化率最大的方向，它的长度等于 .梯度具有性质：grad( ＋ )＝ grad ＋ grad ( 、 为常数)grad( )＝ grad ＋ gradgradF( )＝ grad[方向导 数]＝l·grad ＝ cos ＋ cos ＋ cosxyz式中 l＝(cos ,cos ,cos )为方向 l 的单位矢量, , , 为其方向角.方向导数为 在方向 l 上的变化律，它等于梯度在方向 l 上的投影.[散度]divR＝ ＋ ＋ = ·R=div(X , Y , Z)xXyYzZ式中 为哈密顿算子. 散度具有性质：div( a＋ b)＝ diva＋ divb ( 、 为 常数)div( a)＝ div a＋a graddiv(a×b)＝b· rot a－a·rotb[旋度]rotR＝( )i＋( )j＋( )k= ×R=zYyZxZXyXYZYzyxkji式中 为哈密顿算子，旋度也称涡度， rot R 有的书刊中记作 curl R.旋度具有性质：rot( a＋ b)＝ rot a＋ rot b ( 、 为常数)rot( a)＝ rot a＋a×gradrot(a×b)＝(b· )a－( a· )b＋(div b)a－(div a)b[梯度、散度、旋度混合运算] 运算 grad 作用到一个标量场 产生矢量场 grad ，运算div 作用到一个矢量场 R 产生标量场 div R，运算 rot 作用到一个矢量场 R 产生新的矢量场rot R.这三种运算的混合运算公式如下：div rot R＝０rot grad ＝０div grad ＝ ＋ ＋ =2x2yzgrad div R＝ ( R)rot rot R＝ ×( ×R)div grad( + )= div grad + div grad ( 、 为常数)div grad( )= div grad ＋ div grad ＋２grad ·gradgrad div R－rot rot R＝ R式中 为哈密顿算子， ＝ · ＝ ２为拉普拉斯算子.[势 量场(守恒场)] 若矢量 场 R(x，y，z)是某一标函数 (x，y，z)的梯度，即R＝grad 或 X＝ ，Y＝ ，Z＝则 R 称 为势量场，标函数 称为 R 的势函数.矢量场 R 为势量场的充分必要条件是：rot R＝０，或= , = , =yxYzyZxzX势函数计算公式(x，y，z)＝ (x0，y0，z0)＋ ＋xX0d,0y0d,0＋ zzxZ0,[无散场 (管形 场)] 若矢量 场 R 的散度为零，即 div R＝0，则 R 称为无散场.这时必存在一个无散场 T，使 R＝rot T，对任意点 M 有T＝ 14Vrdot式中 r 为 dV 到 M 的距离，积分是对整个空间进行的.[无旋场] 若矢量场 R 的旋度为零，即 rot R＝0，则 R 称为无旋场.势量场总是一个无旋场，这时必存在一个标函数 ，使 R＝grad ，而对任意点 M 有＝－ 14Vrdiv式中 r 为 dV 到 M 的距离，积分是对整个空间进行的.、、 梯度、散度、旋度在不同坐 标系中的表达式1．单位矢量的变换[一般公式] 假定 x=f( ),y=g( ),z=h( )把( )空间的一个区域 ,,,, 一对一地连续映射为(x ，y，z)空间的一个区域 D，并假定 f，g，h 都有连续偏导数，因为 对应是一对一的，所以有＝ (x，y，z)，xyxyz,,再假定 也有连续偏导数，则有, ddzzyyx或逆变换 zyxzyxdd沿 dx，dy，dz 方向的单位矢量 记作 i，j，k，沿 方向的单位矢量记作 ，则有, e,222222222 zyxzyxzyxkjiekjiekjie[圆 柱面坐标系的单位矢量] 对于圆柱面坐标系(图 8.11)zyxsinco02,,z单位矢量为 kejizcossn它们的偏导数为 0zzzzeee,,[球面坐 标系的单位矢量] 对于球面坐标系(图 8.12)cosinrzyx020r,,单位矢量为jiekjicosnsinicoir它们的偏导数为  eeee0ecossin,cos,sin,  rrrr2．矢量的坐标变换[一般公式] 一个由(x ，y，z)坐标系所表达的矢量可以用 ( )坐标系来表达:,＝( ， y， z)＝ i＋ y j＋ z k＝xxee式中    222222222 222222222 222222222      zyxzzyxzzyxz zyxzyxzyx zyxzyxzyxzyx[圆柱面坐 标系与直角坐标系的互换] 由圆柱面坐标系到直角坐标系的变换公式zyxcossini由直角坐标系到圆柱面坐标系的变换公式 zyxcossini[球面坐标系与直角坐标系的互换] 由球面坐标系到直角坐标系的变换公式sincocosicosi inrzyrx由直角坐标系到球面坐标系的变换公式cossinsinicconiyx zyx3．各种算子在不同坐标系中的表达式设 U＝U(x，y ，z)是一个标函数，V ＝V(x ，y，z)是一个矢函数.[在圆柱面坐 标系中各种算子的表达式]哈密顿算子 ＝ + +~e1ze梯 度 gradU＝ U＝ + +Uze散 度 divV＝ ·V＝~z11旋 度 rotV＝ ×V＝ ＋ ＋ez ezz1拉普拉斯算子 U＝div gradU＝ 22zU[在球面坐标系中各种算子的表达式]哈密顿算子 ＝ + +~re1sinre梯 度 gradＵ＝ Ｕ＝ + +UrUrsi1e散 度 div V= ·V=~sinisinrrr 112旋 度 rotV＝ ×V＝ isi re+ rrr1in＋ re拉普拉斯算子 U＝div gradU ＝ 2222 1111  UrrUr sinsinsi、、 曲线积分、曲面 积 分与体积导数[矢量的曲线积分及其计算公式] 矢量场 R(r)沿曲 线 的曲线积分定义为R(r)·dr＝ R( )· ri-1ni10lmi~式中 ri-1=ri－r i-1，右边极限与 的选择无关，曲 线i~由 A 到 B(图 8.13)若矢函数 Ｒ(r)是连续的(就是它的三个分量是连续函数), 曲线 也是连续的, 且有连续转动的切线, 则曲线积分 rRd存在.若 Ｒ(r)为一力场，则 Ｐ＝ 就等于把一质点沿着  移动时力 Ｒ所作的功.矢量曲线积分的计算公式如下：＝rRdzZyYxXd= ＋ (图 8.14)21 1r2rR=－rdd= ＋TRrrTd=k (k 为常数)rdd[矢量的环流] 如果 为一闭曲线， 则沿曲线  的曲 线积分＝rRzZyYxXd称为矢量场 Ｒ(r)沿闭曲线  的环流.势量场沿任何闭曲线的环流都等于零.如果 Ｒ(r)为一势量场，且它的势函数为 时，则曲线积分= ＝ (B)－ (A)rRdBAr与连接 A，B 两点的路径无关，只依 赖于 A，B 两点的位置(图 8.15).[矢量的曲面积分] 设 S 为一曲面，令 N＝ 表示在曲面 S 上一点的法线cos,cs单位矢量, A而 dS＝N dS 表示面积矢量元素.又设 (r)= (x, y,z)是定义在曲面 S 上的连续标函数，R(r)=( X(x, y,z),Y(x, y,z), Z(x, y,z))是定义在曲面 S 上的连续矢函数，则曲面积分有如下的三种形式：1 标量场的通量(或流量)dS= dydz i＋ dzdx j＋ dxdy kzSzxSy式中 Syz，Szx，Sxy分别表示曲面 S 在 Oyz 平面，Ozx 平面，Oxy 平面上的投影.S xy的正负号规定如下：当从 ｚ轴正方向看去时，看到的是曲面 S 的正面， 认为 Sxy为正，如果看到的是曲面的反面，则认为 Sxy为负(图 8.16).2 矢量场的标通量R·dS= Xdydz＋ Ydzdx＋ ZdxdyyzSzxSy式中 Syz等的意义同 1 .3 矢量场的矢通量R×dS＝ (Zj－Y k)dydz＋ (Xk－Zi )dzdx＋ (Yi－Xj)dxdyyzSzxSy式中 Syz等的意义同 1 .[矢量的体积导数] 如果 S 是包围体积 V 的闭 曲面，并包含点 r，则沿闭曲面 S 的曲面积分( dS, R·dS, R×dS)与体积 V 之比，当 V 趋于零时(即它的直径 ０)的极限称为标 量场 (或。