本科毕业论文（设计）：关于多项式整除性的讨论.doc

巢湖学院 2015 届本科毕业论文（设计）关于多项式整除性的讨论关于多项式整除性的讨论摘 要多项式整除性的研究在多项式理论和方法中占有一个重要的地位，在多项式的运算范围内，除法的运算不封闭，由于这个原因我们没有在多项式环上定义除法运算.本文首先根据以前所学的原理引出带余除法，在带余除法的基础上得出多项式整除的定义，接着引入与多项式整除相关的内容，本文将秉承着由简单到复杂，理论与实例相结合的研究方法，进行关于多项式整除性的讨论.关键词关键词：多项式；带余除法；整除关于多项式整除性的讨论Discussion on the Divisibility of PolynomialAbstractResearch on polynomial divisible occupies an important position in the polynomial theory and method, the polynomial operation scope, division operation is closed, and for this reason we are not in the ring of polynomials defined on the division operation. This article from the knowledge we have learned, introducing the concept of division, thus obtains the divisibility of polynomial. Then it introduces the related content of the divisibility of polynomial .This paper will uphold from the simple to the complex, the research method of combining theory and practice, sums up some discussion on the divisibility of polynomial.Keywords : Polynomial, division with remainder, exact division目目 录录引言................................................................11. 带余除法定理.....................................................12. 整除的定义.......................................................23. 和整除相关的知识.................................................33.1 整除的基本性质..................................................33.2 多项式的整除性与它所在系数域之间的关系..........................43.3 最大公因式......................................................43.3.1 最大公因式的定义..............................................53.3.2 重因式的定义..................................................53.3.3 多项式互素的相关性质..........................................54. 处理整除性问题的一些常用方法.....................................64.1 利用整除判定定理................................................64.2 根据不可约多项式的性质处理问题..................................74.3 待定系数法......................................................74.4 利用乘法公式....................................................94.5 根据因式分解的唯一性定理处理问题...............................104.6 利用整除的传递性...............................................104.7 利用单位根及因式定理...........................................11结束语.............................................................11参考文献...........................................................12关于多项式整除性的讨论0引言引言在大学数学与应用数学这个专业的主要课程里，《高等代数》是一门基础且很重要的课程，而多项式理论是这门课程里学生接触最早的知识内容，多项式整除性的研究在多项式理论和方法中占有很重要的地位，而多项式理论的研究就起源于中国的古老问题之一的“代数方程的求解”.多项式是一种很普遍，很重要且相对简单的函数，无论是在中学代数知识点的学习还是在大学里进一步对数学专业的研究，关于多项式的理论都显得尤为重要，而多项式整除性的研究在多项式理论和方法中占有一个非常重要的地位.1799 年大家耳熟能详的数学家高斯在他的博士论文中第一次说明了代数基本定理.从刚接触多项式理论的研究到现在，无数后辈在前人探索研究的经验基础上总结经验并且有所创新和深入，终于在多项式的研究领域里取得了相当不错的成绩.比如说处理多项式整除问题的一些常用方法；与整除相关内容的升华；吴峰险，张晓林于 2003 年在他们的论文中涉及到矩阵在多项式整除中的应用，论证了矩阵的引入对多项式整除性的研究带来了很多方便.还有好多数学家在多项式整除性方面取得了不错的研究成绩，丰富和完善了多项式理论.本文是在总结归纳一些数学工作者的重要理论，全文贯穿用从容易到复杂，理论与实例相结合的科学研究方法，首先介绍带余除法，巧妙的引入多项式的整除的定义，接着探讨多项式整除的性质，再接着进一步讨论如何证明多项式的整除以及解决多项式整除性问题的常用方法.多项式整除的应用很广泛，在不同的条件下使用不同的方法会使解决问题达到事半功倍的效果，尤其是针对繁杂的证明题.当然今后在高等代数中学习矩阵的运用就显得尤为重要.1.1. 带余除法定理带余除法定理带余除法带余除法: :假如对于任意两个多项式和，)(xf)(xg，其中，那么肯定存在多项式][)(],[)(xPxgxPxf0)(xg，使得：][)(],[)(xPxrxPxq巢湖学院 2015 届本科毕业论文（设计）1(1))()()()(xrxgxqxf成立，其中或者，并且这样的是唯一决定的[1].))(())((xgxr0)(xr)(),(xrxq证明：(1)中的存在我们显然很容易能够直接得出，下面我们用常)(),(xrxq用的数学归纳法来进一步阐述.如果，取即可.0)(xf0)()(xrxq下面我们假设，令的次数分别为.对的次数 n0)(xf)(),(xgxfmn,)(xf作第二数学归纳法.当时，显然取式成立.mn ) 1 (),()(, 0)(xfxrxq下面我们进一步来研究这种情况.若次数小于时，的存在mn n)(),(xrxq已证.现在分析次数为的情况.n令分别是的首项，由观察我们可知与有mnbxax ,)(),(xgxf)(1xgaxbmn)(xf相同的首项，所以多项式：的次数小于或为 0.对于)()()(1 1xgaxbxfxfmnn后者，取; 0)(,)(1xraxbxqmn对于前者，由归纳法假设，对有存在使)(),(1xgxf)(),(11xrxq，)()()()(111xrxgxqxf其中：或者.))(())((1xgxr0)(1xr于是，.)()())(()(11 1xrxgaxbxqxfmn也就是说，有使成立，)()(,)()(11 1xrxraxbxqxqmn)()()()(xrxgxqxf由归纳法原理，对任意的的存在性就证明了.)(),(, 0)(),(xrxqxgxf其中或者，于是，))(())(('xgxr0)('xr),()()()()()(''xrxgxqxrxgxq即.)()()())()((''xrxrxgxqxq如果，又根据假设那么且有 )()('xqxq, 0)(xg, 0)()('xrxr，))()(())(())()((''xrxrxgxqxq但是，，显然上式在任何情况下是不可能成立，这))()(())(('xrxrxg就说明了因此.),()('xqxq)()('xrxr2.2. 整除的定义整除的定义整除整除: :设都是数域上的多项式，如果存在使得)(),(xgxfF)(xh关于多项式整除性的讨论2那么称整除，或者被整除，记作|),()()(xhxfxg)(xf)(xg)(xg)(xf)(xf，此时也称是的一个因式，或者是的一个倍式.)(xg)(xf)(xg)(xg)(xf如果不是的一个因式，即对任意的恒有)(xf)(xg],[)(xFxh那么称不整除.),()()(xhxfxg)(xf)(xg例如:由于因此|，又如，对任意的因为),1(2xxxxxxx 2],[)(xFxh的常数项不为 1，所以，因此不能整除.)(xxh)(1xxhxx1x根据定义，对任意的不是整除，就是不能],[)(),(xFxgxf)(xf)(xg)(xf整除，因此整除是多项式之间的一种二元关系，我们把整除和不整除统称)(xg为整除性.注明：注明：①多项式的整除定义“设都是数域上的多项式如果存在)(),(xgxfF，使等式成立，那么称整除”中，不排除],[)(xFxh)()()(xhxgxf)(xg)(xf是零多项式.因此，当时，必有，而时，可)(xg0)(xg0)(xf0)(xf)(xg以不为 0.所以零多项式只能整除零多项.②对于数域上任意常数和，有，作为数域上F)0( ccd)(1dccddc,F的多项式， |，但这里应该注意与数论中数的整除性区别.若作为多项式有cd2|1，但作为数的整除性，2 不能整除 1.由于多项式的整除性中有许多理论类似于数论中的整除性.证明也往往采取类比的方法，这也是容易引起混淆的原因.3.3. 和整除相关的知识和整除相关的知识本节首先介绍了有关整除的一些基本性质并对某些重要的性质给出了具体的证明，接着讨论了多项式的整除性与其所属系数域之间的关系，最后给出了对于最大公因数的说明.3.1 整除的基本性质整除的基本性质(1)对有|，|O O；],[)(xPxf)(xf)(xf)(xf对有|],[)(xPxf, 0,aPaa)(xf即：任一多项式整除他自身；任一个多项式能够整除零多项式[2]；(2)|，|，那么其中 为非零常数；)(xf)(xg)(xg)(xf),()(xcgxfc证明：事实上，由|有由|有)(xf)(xg),()()(1xfxhxg)(xg)(xf巢湖学院 2015 届本科毕业论文（设计）3于是：).()()(2xgxhxf).()()()(21xfxhxhxf如果为零，那么也为零，结论显然成立.如果那么消去)(。