共零点问题专题总结-含解析.pdf

共零点问题1共零点问题预备知识变号零点与不变号零点;对于共零点问题， 如果利用 “分离函数+数形结合” 分析， 主要是研究变号零点的重合； 如果利用 “续轴标根法 穿针引线法” 分析， 主要是研究不变号零点；此类问题的解决方法： 简单的题， 可以直接分离函数+数形结合， 转化为共零点问题；复杂的题， 先讨论参数范围， 转化为恒成立问题或者共零点问题；类型1单变号零点单变号零点例1已知函数 f(x)=(2x-a+1)ln(x+a+1)的定义域为(-a-1,+)， 若 f(x)0恒成立， 则a的值为答案13解析只须y=(2x-a+1)与y=ln(x+a+1)的零点重合， 所以lna-12+a+1=0， 解得a=13例2关于x的不等式(ax-1)(lnx+ax)0在(0,+)上恒成立， 则实数a的取值范围是答案a-1e或a=e解析当a=0时， -lnx0在(0,+)上不恒成立， 故舍去；当a0时， 注意到 f x=ax-1与 g x=lnx+ax都是单调递增的， 结合图象分析， 只须两个函数的零点重合即可， 即g1a=-a+1=ln0， 解得a=e；当a0， 故ax-11时， ax2-x-1= x-122-54恒成立， 易得a-1；当0 x1时， ax2-x-1= x-122-54恒成立， 易得a-1；综上所述： a=-1， b=1例4若对任意的 x (-1,+)， 不等式 ex-aln(x+1)-b 0 恒成立， 则 a - b 的取值范围是答案1,+)解析只须y=ex-a与y=ln(x+1)-b的变号零点x0相同， 即a=ex0， b=ln x0+1， 所以a-b=ex0-ln x0+1x0+1-x0=1例5(1)已知函数 f(x)=(ex-a) ax+14， 若 f(x)0(xR R)恒成立， 则满足条件的实数a的个数为()A. 3B. 2C. 1D. 0(2)已知函数 f(x)= ex-a(tax+1)， 其中t0若对于某个tR R， 有且仅有3个不同取值的a， 使得关于x的不等式 f(x)0在R R上恒成立， 则t的取值范围为()A. (1,e)B. (e,2e)C. (e,+)D. (2e,+)答案(1)选A； (2)选C解析(1)当a=0时， f(x)=ex40(xR R)， 符合题意，当a0， 等价于 f(x)=ax+140(xR R)恒成立， 不合题意， 舍去；当a0时， g(x)=ex-a， h(x)=ax+14都是单调递增的， 依题意， 只须 g(x)与h(x)的零点是相同即可， 即-14=alna， 易求得符合题意的a只有两个(2)当a0， 则有tax+10在R R上恒成立， 不合题意， 舍去；当a=0时， ex0在R R上恒成立， 符合题意； 此时， 再找到2个不同取值的a即可；当a0时， 由于 f(x)0在R R上恒成立， 且g(x)=ex-a单调递增， 故h(x)=tax+1也是单调递增的，即t0， 且g(x)与h(x)的零点是相同的， 即lna=-1ta， 即-1t=alna， 即等价于关于a的方程-1t=alna有两解， 即-1e-1te例6若关于 x 的不等式 (ax - 20)lg2ax 0 对任意的正整数 x 恒成立， 则实数 a 的取值范围为答案3,103解析由x1可知a0， 原不等式可转化为 (ax-20)(2a-x)0， 即不等式 x-20a(x-2a)0对任意的正整数x恒成立问题等价于20a， 2a在相邻两个自然数之间不妨设函数 y1=20 x， y2=2x， x0， 两个函数图象的单调性不同且交点为( 10， 2 10)， 所以只需20a， 2a6,7即可， 解得a 3,103第2页共8页共零点问题3类型2单变号零点双变号零点例1(2012浙江理压轴)设aR R， 若x0时均有(a-1)x-1 x2-ax-10， 则a=答案32解析法一分离函数法+数形结合设 f(x)=(a-1)x-1， g(x)=x2-ax-1注意到 f(x)， g(x)0都过定点 0,-1， 如图所示， 分析易知 f(x)， g(x)两个函数有共同的零点， 即 g1a-1=0且a1， 解得a=32Oxy-11a-1例2(1)若不等式(ax+3)(x2-b)0对任意的x0， +)恒成立， 则()A. ab2=9B. a2b=9， a0C. b=9a2， a0， ab=12B. a0， ab=2C. a0， a=2bD. a0， b=2a答案(1)选B； (2)选B解析易知a0， b0， 作出 g x=x2-b的图象， 注意到 f x=ax+3过定点 0,3， 旋转 f x的图象， 依题意， 只须a0， 故原不等式等价于 x-2a(|x|-b)0； 当b0时， 显然不合题意， 故b0；利用图象分析， 只须y=ax-2 与y=|x|-b的零点重合即可， 即2a=b， 即ab=2例3(1)设a， bZ Z， 若对任意x0， 都有(ax+2)(x2+2b)0， 则a+b=(2)已知m， nZ Z， 函数 f(x)=(mx+3) x2-n， x(0,+)， 若曲线y= f(x)不落在x轴的上方， 则m+n=()A. 8B. 8或-2C. 6D. 6或-2答案(1)-1； (2)选B解析(1)设 f(x)=ax+2， g(x)=x2+2b，当b0时， g(x)=x2+2b0， 而 f(x)=ax+20不可能在x0时恒成立， 故舍去；当b0， 且-2a=- -2b， 即a2b=2， 又a， bZ Z，故a=1， b=-2第3页共8页勘误请联系数海之旅公众号4(2)等价于(mx+3) x2-n0在x(0,+)上恒成立， 易知m0， 分离函数， 利用零点重合， 则有-3m=n， 又m， nZ Z， 所以m=-1n=9 或m=-3n=1 例4已知函数 f(x) = (x2+ ax + b) (ex- e)， a， b R R， 当 x 0 时， f(x) 0， 则实数 a 的取值范围为()A. -2a0B. -1a0C. a-1D. 0a1答案选C解析等价于 x-1(x2+ax+b)0在x0时恒成立， 转化为共零点问题；设 g(x)=x2+ax+b， 只须 g(1)=0即可， 即b=-1-a， 利用韦达定理， 易得函数 g(x)的另外一个零点-a-10， 即a-1例5设a0， 令x=0， 则ab0， 与a0矛盾， 故舍去；若b0， 则x+2b0时， f(x)=aex-1与g(x)=aex+2x都是增函数， 转化为共零点问题， 则有 g ln1a=0， 解得a=e；当a0时， aex-1 0， 注意到 y = x - a + lnxa是单调递增的， 且其零点为 a， 故原不等式可转化为x-a-2x2+ax+100；设 f x=-2x2+ax+10， 类似分析， 只须 f a=0， 解得a=10例8已知a0， 对任意x0， 不等式(x-a) x2+bx-a0恒成立， 则ab的取值范围是答案(-,-1)(0,+)解析只须令x=a是y=x2+bx-a的变号零点， 则a2+ba-a=0， 即a+b=1， 所以ab=a1-a=11-a-1(-,-1)(0,+)， 其中a0且a1第4页共8页共零点问题5例9( 多选题 ) 记函数 f(x) 与 g(x) 的定义域的交集为 I若存在 x0 I， 使得对任意 x I， 不等式 f(x)- g(x) x-x00恒成立， 则称(f(x)， g(x)构成 “M函数对” 下列所给的两个函数能构成 “M函数对” 的有()A. f(x)=lnx， g(x)=1xB. f(x)=ex， g(x)=exC. f(x)=x3， g(x)=x2D. f(x)=x+1x， g(x)=3 x答案选AC解析符合条件的 “M函数对” ， 有如下特征： 设h(x)= f(x)- g(x)0,只须h(x)在定义域内存在唯一的变号零点， 且变号零点在单调增区间内.对于A， h x=xln-1x,显然符合特征；对于B， f(x)=ex与g(x)=ex相切， 等价于h(x)有一个不变号零点， 不符合特征；对于C， h x=x3-x2=x2x-1， 利用穿针引线法， 快速作出图象， 显然符合特征；对于D， f(x)=x+1x与 g(x)=3 x 在定义域 0,+上存在两个不相切的交点， 等价于 h(x)有两个变号零点， 不符合特征.类型3双变号零点双变号零点例1(1)若不等式(|x-a|-b)(2x-x2)0对任意实数x恒成立， 则a+b=()A. -1B. 0C. 1D. 2(2)若不等式(|x-a|-b)sin x+60对x-1， 1恒成立， 则a+b=()A.23B.56C. 1D. 2(3)若不等式(|x-a|-b)cos2x+30对x-1， 3恒成立， 则a-b=()A.13B.23C.56D.73(4)对任意xR R， 不等式sin x+4cos(ax+b)0恒成立， 则sin(a+b)和sin(a-b)的值分别等于()A.22，22B. -22，22C. -22， -22D.22， -22答案(1)选D； (2)选B； (3)选A； (4)选B解析(1)如图， 作出g x=2x-x2的图象， 易知g 0=g 2=0；平移 f x=|x-a|-b图象， 依题意只须 f x与g x的零点重合即可， 即知 f 0= f 2=0； 同时， 结合对称性， 易知2a=0+2=2， 即a=1， 代入 f 0= 0-1-b=0， 故b=1121xyO111xyO(2)如图， 作出g x=sin x+6在x-1， 1上的图象， 易知g -16=g56=0；平移 f x=|x-a|-b图象， 依题意只须 f x与g x的零点重合即可， 即知 f -16= f56=0； 同时，结合对称性， 易知2a=-16+56=23， 即a=13， 代入 f56=56-13-b=0， 故b=12第5页共8页勘误请联系数海之旅公众号6(3) 同上类似分析， 设 f(x) = |x - a|-b， 易得 f13= f73= 0， 2a =13+73=83， 即 a =43， 又f73=73-43-b=0， 故b=1(4)只须y=sin x+4与y=cos(ax+b)的图象关于x轴对称即可， 即cos(ax+b)=-sin x+4=sin -x-4=cos2+x+4=cos x+34，所以a=， 不妨取b=34， 进而sin(a+b)=-22， sin(a-b)=22例2(1)已知函数 f(x)=(x2+a2-1)ln|x+a|， 若 f(x)0恒成立， 则a的值为(2)已知 f(x)=(|x|+a2-1)ln|x+a|， 满足 f(x)0在定义域上恒成立， 则a的值为(3)若(x-1)(x-a)ln(x2-3x+a+1)0在R R上始终成立， 则a的值为()A. 0B. 1C. 2D. 3答案(1)0； (2)0； (3)选C解析(1)令ln|x+a|=0， 解得x=1-a或x=-1-a， 依题意， 函数h(x)=x2+a2-1的零点也为x=1-a或x=-1-a， 即(1-a)2+a2-1=0(-1-a)2+a2-1=0 ， 解得a=0(2)令ln|x+a|=0， 解得x=1-a或x=-1-a， 依题意， 函数h(x)=|x|+a2-1的零点也为x=1-a或x=-1-a， 即|1-a|+a2-1=0|-1-a|+a2-1=0 ， 解得a=0(3)由于x2-3x+a+10在R R上成立， 故=9-4(a+1)54依题意， 函数 f(x)=(x-1)(x-a)与 g(x)=ln(x2-3x+a+1)的零点是相同的， 即g(1)=0g(a)=0 ， 解得a=2例3不等式(|x-a|+|x+a|-1)(x2-1-a2+2a)0对任意xR R恒成立， 则a=答案12或1解析设 f x=|x-a|+|x+a|-1， 注意到g x=x2-1-a2+2a=x2-(a-1)2；当 g x=x2-(a-1)20对任意xR R恒成立时， 必有a=1， 此时 g x=x20。