圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系高考题及详解.doc

圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1. (2013•重庆高考文科・T4)设P是圆(x-3)2+(y+1)2，4上的动点，Q是直线x，-3上的动点，则|PQ|的最小值为()A.6B.4C.3D.2【解题指南】|PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.【解析】选B.|PQ的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径.圆心(3,-1)到直线x，-3的距离为6，半径为2,所以\PQ的最小值为6-2，4.2. (2013•天津高考文科・T5)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直，贝Ua=()A.€1B.1C.2D.122【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率，再由两直线垂直求a的值.【解析】选C.因为点P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5上的点，由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k=2,故过点P(2,2)的切线斜率为-1,所以直线ax-y+1=0的斜率为2,因此a=2.23. (2013•安徽高考文科・T6)直线x+2y-5+「5=0被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为()A.1B.2C.4D.4p6【解题指南】由圆的半径、圆心距、半弦长组成直角三角形，利用勾股定理即可求得半弦长。

解析】选C.由(x1)2(y2)25得圆心(1,2),半径r5，圆心到直线在半径、圆心距、半弦长组成的直角三x+2y-5+、.：5=0的距离T71455|51，角形中，弦长l2r2d22444.(2013•重庆高考理科・T7)已知圆c:1(x-3)2+(y-4)2，9，M、N分别是圆C、1()贝则PM|+|PN|的最小值为A.52€4B.17€1(x2)2I(y-3)2，1，圆C:C上的动点，P为x轴上的动点,2C.6€22D.17【解题指南】根据圆的定义可知|PM|+|PN，PC+PC€4,然后利用对称性求解.2【解析】选A.由题意知，圆C:(x-2)2+(y-3)2，1，圆C:(x-3)2+(y-4)2，912的圆心分别为C(2,3),C(3,4),且|PM|+PN，PC+点为C(2,-3),所以|PC|+|PC|，|PC|+|PC>CC，52,即|PM|+PN，PC+PC-4>52-4.PC-4,点C(2,3)关于x轴的对称225.(2013・广东高考文科•T7)垂直于直线y,x+1且与圆x2+y2，1相切于第一象限的直线方程是()C.x+y-1，0D•x+y+\/2，0【解析】选A.由题意知直线方程可设为x+y-c，0(c„0)，则圆心到直线的距离等于半径1，即巴聖工!,1,c，迈，所求方程为x+y-迈，0.12+126.(2013•陕西高考文科・T8)已知点M(a,b)在圆o:x2+y2,1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定【解题指南】利用点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系中的半径与距离，列出关系式，解之即可判断直线ax+by=1与圆O的位置关系.【解析】选B点M(a,b)在圆x2+y2,1夕卜…a2+b2„1.圆心0（0,倒直线ax€by=1距离d=.,1=圆的半径，故直线与圆相交.a2€b27.（2013•江西高考理科・T9）过点（迈,0）引直线l与曲线y+匚云相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）A.邑B.-3C.„3D._J3333【解题指南】圆心到直线的距离与直线的斜率有关,AAOB为等腰三角形，所以AB的长度也可用圆心到直线的距离表示，进而AAOB的面积可表示为圆心到直线的距离d的函数，借助二次函数思想可以求解出当AAOB的面积取最大值时的d值，进而可以求出直线的斜率.【解析】选B.曲线y’匚去表示以（0,0）为圆心，以1为半径的上半圆.设直线1的方程为y二k（x—、②,即kx-y—72k二0，若直线与半圆相交，则k,0，圆心到直线的距离为d=V'2k(d,1)，弦长为|AB|=2J1-d2，△AOB的面积为s=1AB|d=d\；'1—d2=Jd2(1—d2)，易知当d2=丄时S最大，解22)2=2得k2=3’8.（2013•山东高考理科・T9）过点（3,1）作圆x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为（）A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0解题指南】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的几何性质解题即可.解析】选A.由图象可知，A（1，1）是一个切点，根据切线的特点可知过点A.B的直线与过点（3,1）、（1、0）的直线互相垂直，k=-丄=-2，所以直线ABAB1—0的方程为y—1=—2（x-1），即2x+y-3=0.二、填空题9. （2013•山东高考文科・T13）过点（3,1）作圆（x—2）2„（y—2）2二4的弦，其中最短的弦长为__________【解题指南】过圆内一点的弦，最长的为直径，最短的为垂直于直径的弦.这样圆心到点（3,1）的距离，与弦长的一半，半径长构成一个直角三角形.【解析】半径为r=2，圆心为（2,2），圆心到点（3,1）的距离d=（3-2）+（1-2》=2,所求最短弦长为222—（2）=22【答案】22.10. （2013•浙江高考文科・T13）直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y=0所截得的弦长等于.【解题指南】由直线方程与圆的方程联立方程组,求两个交点的坐标,再求弦长.【解析】由…y=2x„3,，解得…x=—1或；x=3，所以两交点坐标为（—1,1）[x2+y2—6x—8y=0,[y=1〔y=9和（3,9），所以弦长l'（—1—3）2+（1—9）2=4需.【答案】处5.11. （2013•江西高考文科・T14）若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是.【解题指南】设出圆的标准方程，得出圆心坐标和半径的关系，再代入已知点.【解析】设圆的方程为（x—a）2+（y—b）2=r2，因为圆C经过点（0,0）和点（4，0），所以a=2，又圆与直线y=1相切，可得1-b=r，故圆的方程为-#-35(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2,将(0,0)代入解得b,€2,r，乂，所以圆的方325程为(x—2)2+(y+2)2，4.325【答案】(X-2)2+(y+2)2，4.厶l"12. (2013•湖北高考文科・T14)已知圆°:x2+y2,5，直线I:xcos0+ysin0,1n(0„0„2).设圆O上到直线1的距离等于1的点的个数为k，则k，.【解题指南】根据直线与圆的位置关系,求圆心到直线的距离，同半径的一半相比较.【解析】半径为R=5,圆心到直线1的距离d=1,1„5.故数形结合sin20+cos202k=4.【答案】4.三、解答题13. (2013•江苏高考数学科・T17)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线1:y=2x-4。

设圆C的半径为1，圆心在1上1) 若圆心C也在直线y，x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2) 若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围解题指南】(1)先利用题设中的条件确定圆心坐标,再利用直线与圆相切的几何条件找出等量关系,求出直线的斜率.(2)利用MA=2MO确定点M的轨迹方程,再利用题设中条件分析出两圆的位置关系,求出a的取值范围.【解析】⑴由题设知，圆心C是直线y=2x-4和y=x-1的交点，解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在.设过A(0,3)的圆C的切线方程为y=kx+3,由题意,|3k€1=1,解得k=0或-3,4故所求切线方程为y=3或3x+4y-12=0.(2)因为圆心在直线y=2x-4上,所以圆C的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1.设点M(x,y),因为MA=2MO,所以x2+(y，3)2=2x2+y2,化间得x2€(y€1)2二4,所以点M在以D(0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意知，点M(x,y)在圆C上,所以圆C与圆D有公共点，则2-1WCDW2+1,即lWja2+(2a-3)2W3.由5a2-12a+8$0,得a^R;12由5a2-12aW0,得0WaW~5.所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0,-y].14. (2013•新课标全国II高考文科•T20)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2、辽，在y轴上截得线段长为2暑。

1)求圆心P的轨迹方程;(2)若P点到直线y€x的距离为玄,求圆P的方程2【解题指南】(1)设出点P的坐标与圆P半径，利用弦长、圆心距、半径之间的关系求得点P的轨迹方程；(2)利用已知条件求得点P的坐标，从而求出半径，写出圆的方程.【解析】(1)设P(x,y,，圆P的半径为r.由题设y2+2€r2,x2+3€r2.从而y2+2=x2+3•故P点的轨迹方程为y2„x2€1.(2)设p(x,y),由已知得00又P点在双曲线y2„x2€1上,从而得-#--#-x—y€1,V00y2—x2€1,00€0.€—1.…x—y€1,V00y2—x2€1,001,€0.€1.此时圆的半径=打.x—y€00y2—x200此时，圆的半径r=.故圆P的方程为x2+(y+»€3或x2+(y-1€3，15. (2013•四川高考文科・T20)已知圆C的方程为x2+(y—4)2€4，点O是坐标原点直线l:y=kx与圆C交于M,N两点1)求k的取值范围；⑵设Q(m,“)是线段MN上的点，且忘€岛+為请将"表示为m的函-#-数解题指南】本题求解时要抓住直线与圆有两个交点，所以在求解k的取值范围时可以利用判别式进行求解，在第二问的处理上要注意丄+丄的IOQ|2|OM|2|ON|2使用，从而寻找到m,n的关系.【解析】（1）将y€kx代入x2+（y一4）2二4中，得(1+k2)x2一8kx+12€0(*)由„€(，8k)2—4(1+k2)…12>0，得k2>3所以k的取值范围是（-卩-再）（3,+2）.可设点（2）因为M、N在直线1上，［可设点M、N的坐标分别为（x,kx）,（x,kx）1122OM|2^2，x2x212€(1+k2)x2,|ON|2€(1+k2又|OQ|2€m2+n2€(1+k2)m2•由侖2€為+為，得2(1+k2)m211+(1+k2)x2(1+k2)x212-#--#-即2€丄+丄m2x2x212(x+x)2—2xx-#-由(*)式可知，121+k212xx€121+k2，所以m2365k2-3-#-因为点Q在直线y€kx上，所以k€£，代入m2€暑3中并化简，得5n2一3m2=36•由m2€及k2>3，可知00，所。