平面几何证明常用方法.docx

目录1 .弓I言2 .利用平行四边形性质添加平行线证题3 .利用圆中的等量关系巧作辅助圆证题4 .利用平移、旋转，翻折，几何证明中的三种基本变换证题5 .反证法证题6 .巧用面积法解几何题结论参考文献致平面几何证明题的常用技巧数学计算机科学学院摘要灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径解决任何一道平面几何证明题，都要应用这样或那样的方法，而选择哪一种方法，就取决于我们用什么样的解题思路本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析关键词】平面几何证明题思路技巧TheplanegeometryprovingthecommonlyusedskillCollegeofMathematicsandComputerScienceAbstract：Flexible,properlychoosetheproblemsolvingmethodisagoodwayofsolvingplanegeometry.Anysolveaplanegeometryproving,onewayortheothermethod,andthechoiceofwhichmethod,itdependsonwhatkindofwayweuse.Thisarticletrytoplanegeometryprovingthatiscommonlyusedinseveralproblem-solvingideasandmethodsareanalyzed.Keywords:PlanegeometryToprovethetopicTrainofthoughtskills1引言平面几彳5]■难学，是很多初中生在学习中的共识，这里面包含了很多主观和客观因素，而学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。

波利亚曾说过，“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒为了辨别哪一条思路正确，哪一个方向可接近它，就要试探各种方向和思路由此可见，掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键2利用平行四边形性质添加平行线证题在同一平面，不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线，则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题，一般有如下四种情况.2.1 为了改变角的位置大家知道，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，错角相等，同旁角互补.利用这些性质，常可通过添加平行线，将某些角的位置改变，以满足求解的rtn 女.例1设P、Q为线段BC上两点，且BP= CQ,A为BC外一动点（如图1）.当点A运动到使 / BAP= / CAQ时，AABC是什么三角形？试 证明你的结论.答：当点A运动到使/ BAP= / CAQ时，4ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结在△DBP=/ AQC 中，显然 / DBP=/ AQC,/DPB=/ C.由 BP=CQ,可知 ADBP^AAQC.有 DP = AC,/BDP= / QAC.于是，DA// BP,/BAP=/BDP.则A、D、B、P四点共圆，且四边形ADBP为等腰梯形.故AB=DP. 所以AB=AC.这里，通过作平行线，将/QAC “平推”到/BDP的位置.由于A、D、 四点共圆，使证明很顺畅.例2如图2,四边形ABCD为平行四边形， / BAF= / BCE.求证：/ EBA= / ADE.证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC 的平行线，得交点P,连PE.由 AB I CD,易知△PBA^^ECD.有 FA= ED,PB=EC.显然，四边形PBCE、PADE均为平行四边形.有 / BCE= / BPE,/APE= / ADE.B、P由/BAF=/BCE,可知 有P、B、A、E四点共圆.于是，/ EBA= / APE./BAF= /BPE.所以，/EBA= / ADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P、B、A、E四点共圆,紧密联系起来./APE成为/EBA与/ADE相等的媒介，证法很巧妙.2.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条，常可通过添加平行线，将某些线段“送”到恰当位置，以证题.例3在△ABC中，BD、CE为角平分线，P为ED上任意一点.过P分别作AC、AB、BC的垂线,M、N、Q为垂足.求证：PM+PN=PQ.证明：如图3,过点P作AB的平行线交BD于F,过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G,连PG.由BD平行/ABC,可知点F到AB、BC两边距离相等.有KQ=PN.显然,空=EF=CG,可知PG//EC.PDFDGD由CE平分/BCA,知GP平分/FGA.有PK=PM.于是，PM+PN=PK+KQ=PQ.这里,通过添加平行线，将PQ'掐开”成两段,证得P阵PK就有PWPN=PQ证法非常简捷.2.3 为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例”，在一些问题中，可以通过添加平行线，实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4设Mi、M2是4ABC的BC边上的点，且BMi=CM2.任作一直线分别交AB、AC、AMi、AM2于P、Q、Ni、N2.试证：AB+AC=AM1+AM^APAQAN1AN2证明：如图4,若PQ//BC,易证结论成立.若PQ与PQPM=PK,PM+PN=PQ.Mi、M2△ABCBCBMi=CM2.AB、AC、AMi、AM2P、Q、Ni、N2AB!ACAMi+AM2APAQ—ANiAN2.PQ//BCPQ与BC不平行,设PQ交直线BC于D.过点A作PQ的平行线交直线BC于E.由BMi=CM2,可知BE+CE=MiE+M2E,易知图4APDE AQDEAB_BEAC_CEAM1_M1EAM2_M2EAN1—DE,AN2—DEAB , AC BE CE则而+DEAM1 + AM2AN? AN2AM2丽证明：如图5,过点A作BC的平行线，分 另I」交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M.显然,BD _ KD _ DCAN KA AM有 BD AM = DC AN.-AP由——二BDAFFBAMBC有AP=BD AMBCM P A Q N彩)所以,AB।AC_AMiAPAQ—AN7这里,仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为DE于是问题迎刃而解.例5AD是△ABC的高线，K为AD上一点，BK交AC于E,CK交AB于F.求证:/FDA=/EDA.有AQ =DC ANBC出AQAEAN田==DCECBC对比(1)、(2)、(3)有AP=AQ.显然AD为PQ的中垂线，故AD平分/PDQ.所以，/FDA=/EDA.这里，原题并未涉及线段比，添加BC的平行线，就有大量的比例式产生，恰当地运用这些比例式，就使AP与AQ的相等关系显现出来.2.4为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时，应注意到平行线等分线段定理，用平行线将线段相等的关系传递开去.C例6在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且/MDN=90°.如果BM2+CN2=DM2+DN2,求证:证明：如图6,过点B作AC的平行线交ND延长线于E.连ME.由BD=DC,可知ED=DN.有△BED^ACND.于是，BE=NC.显然，MD为EN的中垂线.有EM=MN.由BM2+BE2=BM2+NC2=MD2+DN2=MN2=EM2,可知ABEM为直好角形，/MBE=90°.有/ABC+/ACB=/ABC+/EBC=90°.于是，/BAC=90°.所以，AD2=1BC=1(AB2+AC2).24这里,添加AC的平行线，将BC的以D为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.例7如图7,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EA=DAFB=DB过D作AB的垂线,交半圆于C.求证:CDT分EF证明：如图7,分别过点E、F作AB的垂线，GH为垂足，连FAEB易知DBmFB^AB。

HB,aD=aU=AG-AB二式相减，得D4一AE2=AB-（HB-AG）,或（DB-AD）-AB=AB-（HB-AG.于是，DB-AD=HB-AG或DB-HB=AD-AG就是D*GD显然，EG//CD//FH故CD^分EF.这里，为证明CD平分EF想到可先证CD平分GH为此添加CD的两条平行线EGFH从而得到GH两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等，在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线ARAMAC构成一组直线束，DE是与BC平行的直线.于是,有DMAMME--,BNANNC即DM_ME或DM_BNBNNC-MENC.此式表明，口阵ME的充要条件是BN=NC利用平行线的这一性质，解决某些线段相等的问题会很漂亮.例8如图9,ABCM四边形，两组对边延长后得交点E、F,对角线BD//EFAC的延长线交EF于G求证：E五GF证明：如图9,过C作EF的平行线分别交AEAF于MN由BD//EF可知MN/BD易知Sabe『SaDEF.有54BEC=S»AnKG-*5nDFC可得MC=CN.所以，EG=GF.例9如图10,是△ABC的边BC外的旁切圆，D、E、F分别为。

与BC、CA、AB的切点.若OD与EF相交于K,求证：AK平分BC.ABdnG图9证明：如图10,过点K作BC的行平线分别交直线AB、AC于Q、P两点，连OP、OQ、OE、OF.由OD^BC,可知OKXPQ.由05，人8,可知0、K、F、Q四点共圆，有/FOQ=/FKQ.由OELAC,可知O、K、P、E四点共圆.有/EOP=/EKP.显然，/FKQ=/EKP,可知/FOQ=/EOP.由OF=OE,可知RtAOFQ^RtAOEP.WJOQ=OP.于是，OK为PQ的中垂线，故QK=KP.所以，AK平分BC.综上，我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线，让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用.3利用圆中的等量关系巧作辅助圆在某些数学问题中，巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的在联系，通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆的若干思路.3.1挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”，此时若能把握问题提供的信F息，恰当补出辅助圆，并合理挖掘图形隐含的性质，就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1作出三角形的外接圆例1如图1,在4ABC中，AB=AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且/BED=2/CED=/A.求证：BD=2CD.分析：关键是寻求/BED=2/CED与结论的联系.容易想到作/BED的平分线，但因BE茬D,故不能直接证出BD=2CD.若延长AD交△ABC的外接圆图1于F,则可得EB=EF,从而获取.证明：如图1,延长AD与△ABC的外接圆相交于点F。