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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题8填空题问题:1. 设函数f(x)在x=0处连续，且，则曲线y=f(x)在x=0处的法线方程为______．答案:[解析] 由连续性，于是f(0)=0． 曲线y=f(x)在x=0处的法线斜率为，法线方程为．问题:2. 设y=y(x)由参数方确定，则=______，=______．y=y(x)在任意点处的曲率K=______．答案:[解析] y=y(x)的曲率 问题:3. 设y=y(x)由方程y=sin(x+y)确定，则=______．答案:[解析] 将方程两边对x求导得 解出 再对x求导得 代入1+y'的表达式得 问题:4. 作变量替换x=et，方程简化为______．答案:[解析] 由x=et，得t=lnx，于是 代入原方程得 即 问题:5. 设，则f(n)f)(0)=______．答案:(-1)n-1(n-1)![(-2)n-3n][解析] f(x)=ln(1-2x)-ln(1+3x) f(n)(x)=(ln(1-2x))(n)-(ln(1+3x))(n) 由归纳法易得到 (ln(1+ax))(n)=(-1)n-1an(n-1)!(1+ax)-n 于是 f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)![(-2)n(1-2x)-n-3n(1+3x)-n] f(n)(0)=(-1)n-1(n-1)![(-2)n-3n]． 问题:6. 设f(x)=x100ex2，则f(200)(0)=______．答案:[解析] 先写出f(x)的麦克劳林公式 取n=50，展开式中x200项的系数是．问题:7. 设有界函数f(x)在(c，+∞)内可导，且，则b=______．答案:0[解析] 本题可用反证法证明b=0，不妨设b＞0，取a满足0＜a＜b，由，则存在x0＞0，当x≥x0时f'(x)＞a，在[x0，x]上用拉格朗日中值定理，f(x)=f(x0)=f'(ξ)(x-x0)＞a(x-x0)(ξ∈(x0，x))，即f(x)＞a(x-x0)+f(x0)，因．所以，从而f(x)在(c，+∞)上无界，这与f(x)在(c，+∞)上是有界函数矛盾． 因f(x)在(c，+∞)可导，有界． 又．问题:8. 设函数f(x)在(a，+∞)内可导，且任意x∈(a，+∞)有|f'(x)|≤M(M常数)，则=______．答案:0[解析] 任取定一点x0∈(a，+∞)，对任意的x0∈(a，+∞)，有 其中ξ在x与x0之间 显然 由夹逼定理，有 用上题中评注结论，用洛必达法则立即得 问题:9. 数列极限=______．答案:2 [解析] 这是∞·0型的数列极限，转化为求型的函数极限，然后用洛必达法则． 这是∞·0型极限，为简化计算设法寻求的等价无穷小，它是f(x)=arctanx的改变量．由拉格朗日中值定理，它可改写成 其中，当n→∞时， 因此 问题:10. 函数的单调增区间是______，单调减区间是______，极值是______，凹区间是______，凸区间是______．答案: (-∞，-1]，[3，+∞)是单调增区间．[-1，1)，(1，3]是单调减区间；f(-1)=-2是极大值，f(3)=0是极小值；(1，+∞)是凹区间；(-∞，1)是凸区间[解析] ，x=-1，y"≠0，x=1处y无定义．现用x=-1，x=3将定义域分成如加下区间并列表． 问题:11. 设(1，3)是曲线y=x3+ax2+bx+14的拐点，则a=______，b=______．答案:-3，-9[解析] 求出y"=6x+2a， (1，3)为该曲线拐点 y(1)=1+a+b+14=3 y"(1)=6+2a=0 a=-3，b=-9．又 a=-3，b=-9时(1，3)确为该曲线的拐点． 因此，a=-3，b=-9 问题:12. 设f(x)=xex，则f(n)(x)在x=______处取极小值______．答案:-(n+1)；[解析] 先用归纳法求f(n)(x)． f'(x)=(x+1)ex，f"(x)=(x+2)ex，… 易归纳证明 f(n)(x)=(x+n)ex 再求f(n)(x)的驻点．由(f(n)(x))'=(x+n+1)ex=0 解得x=-(n+1) 为极小值．问题:13. 设y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1确定的，则y=y(x)的极值点是______．答案:x=1[解析] 将方程2y3-2y2+2xy-x2=1两边对x求导，得 6y2y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0 整理得y'(3y2-2y+x)=x-y ① 令y'=0，有x=y，将其代人2y3-2y2+2xy-x3=1得2x3-x2-1=(x3-1)+(x3-x2)=0，即(x-1)(2x2+x+1)=0于是x=1是唯一的驻点．此时，y=x=1 对①求导y"(3y2-2y+x)+y'(3y2-2y+x)'x=1-y' 把x=1，y=1，y'(1)=0代入上式，得，于是y(x)只有极值点为x=1，它是极小值点．问题:14. 设f(x)=3x2+Ax-3(x＞0)，A为正常数，则A至少为______时，有f(x)≥20(x＞0)．答案:64[解析] 为使f(x)≥20，只要3x5+A≥20x3即20x3-3x5≤A，设g(x)=20x3-3x5，则A至少是g(x)在(0，+∞)内的最大值． 因，所以x=2是g(x)在(0，+∞)的最大值点，所以A至少为g(2)=64，有f(x)≥20．问题:15. 函数f(x)=|4x3-18x2+27|在[0，23上的最小值等于______，最大值等于答案:0；27[解析] 设φ(x)=4x3-18x2+27，则 φ(x)在[0，2]单调下降 φ(0)=27，φ(2)=-13 唯-x0∈(0，2)，φ(x0)=0 由于f(x)=|φ(x)| f(0)=27，f(x0)=0，f(2)=13 因此，f(x)在[0，2]的最小值为0，最大值为27． 问题:16. 设，则f(x)的值域是______．答案:．[解析] 先考察f(x)的单调性． 因此，f(x)的值域是．问题:17. =______．答案:，C为任意常数[解析]问题:18. =______．答案:，C为任意常数[解析] 令，解出于是 问题:19. 已知，则f(x)=______．答案:，C为常数[解析] 将两边求导得 f'(x3)=3x2 令，则 因此，，C为常数．问题:20. ______．答案:，C为常数[解析] 将sinx作如下分解 sinx=α(sinx+cosx)+β(sinx+COSX)'=(α-β)sinx+(α+β)cosx 令得 于是 问题:21. =______．答案:，C为常数[解析] 令则x=t2-1，dx=2tdt，于是 问题:22. =______．答案:，C为常数[解析] 先用分部积分法 再作变量替换 令，则x=ln(t2-1)，，于是 因此，．问题:23. =______．答案:，C为常数[解析] 注意分解 1+x6=1+(x2)3=(1+x2)(x4-x2+1) 问题:24. 设a＞0，则=______．答案:[解析] 由于是奇函数，所以 由定积分的几何意义(半径为a的半圆的面积) 所以．问题:25. =______．答案:[解析] 而 因此， 问题:26. 设(存在)，b≠0，则a=______，b=______．答案:a=6，[解析] 若a≤0，则I=+∞，所以a＞0，I为型极限，由洛必达法则 因此，a=6，．问题:27. 设，则f(x)的极值为______，f(x)的拐点坐标为______．答案:0；[解析] 由f'(x)=e-x4·2x=0，得x=0． 当x＜0时，f'(x)＜0，当x＞0时，f'(x)＞0，所以， 极小值点为x=0，极小值为f(0)=0． 由f"(x)=2e-x4(1-4x4=0，得． 当或时，f"(x)＜0， 当时，f"(x)＞0，因此，拐点坐标为．问题:28. 设f(x)是定义于x≥1的正值连续函数，则 的极小值点是x=______． 答案: 2[解析] x=2是极小值点(也是最小值点)．问题:29. 设f(x)有连续的一阶导数，，f(0)=0，f(a)=1，则F(2a)-2F(a)=______．答案:1[解析] (对第一个积分令2a-t=u) (对第一个积分作分部积分) =f2(a)-f(2a)f(0)=1． 问题:30. 设，则f(x)=______．答案:[解析] 设 则f(x)=x2-bx+2a 对上式两边分别在[0，1]和[0，2]上作定积分 即 即 由①式和②式得 于是．问题:31. 则=______．答案:[解析] 先对换元，再计算．设x-2=t，dx=dt，当x=1时t=-1；当x=4时t=2． 问题:32. =______．答案:[解析] 问题:33. ，x∈[0，π]则f(x)在[0，π]上的全体原函数是______．答案:F(x)+C，C为常数 [解析] 令 则f(x)在[0，π]上的全体原函数是 ∫f(x)dx=F(x)+C，C为常数．问题:34. =______．答案:1[解析] 令x=-t， 因此 于是I=1． 问题:35. =______．答案:[解析] 问题:36. 设|y|＜1，则=______．答案:[解析] 被积函数分段表示 于是，以y为分界点用分段积分法得 问题:37. 设f(x)的原函数F(x)恒正，且F(0)=1，当x≥0时有f(x)F(x)=sin22x，则f(x)______．答案:[解析] 已知f(x)F(x)=sin22x，F'(x)=f(x) 由 问题:38. 设f(x)有一阶导数且满足。