教学课件第十三章统计综合数据处理与多指标评价方法.ppt

第十二讲 统计综合提纲提纲 1.1.权重确定的一般方法权重确定的一般方法权重确定的一般方法权重确定的一般方法　　　　2.2.数据处理的一般方法数据处理的一般方法数据处理的一般方法数据处理的一般方法 3.3.常用综合评价方法常用综合评价方法常用综合评价方法常用综合评价方法一、权重确定的一般方法一、权重确定的一般方法l专家咨询法（Delphi法）l专家排序法l层次分析法（AHP法）l秩和比法（RSR法）l相关系数法l主成分分析法（PCA法）l因子分析法l算术均数组合赋权法（均数法）（算术均数组合赋权法的权重为前Η 种方法所得权值的算术平均数Α）l连乘累积组合赋权法（累积法）（连乘累积组合赋权法的权重为前Η 种方法所得权重的累积分数）1. 权数的确定方法分类l 按权数的表现形式分为：l绝对数权数；l比重权数通常采用比重权数——归一化权数l 按确定权数的方法分为：l主观赋权法；l客观赋权法2. 主观赋权法l主观赋权法¡德尔菲法（专家法）德尔菲法（专家法）——实际上各个专家可以根据自己的理解选择不同的方法¡相邻指标比较法相邻指标比较法；（先按重要性将全部评价指标排序，再将相邻指标的重要性进行比较¡层次分析法（ＡＨＰ）层次分析法（ＡＨＰ）——互反式两两比较构权法。

主观赋权法特点l权数的特性（指主观权数、人工权数）¡ 重要性重要性——权数是一种重要性程度的量化值指对权数是一种重要性程度的量化值指对合成值的影响程度大小重要性本身是个综合的概念，合成值的影响程度大小重要性本身是个综合的概念，表现在多个方面，如可以是表现在多个方面，如可以是“价值判断取向价值判断取向”上的重上的重要性，也可以是合成时要性，也可以是合成时“分辨能力（信息含量）高低分辨能力（信息含量）高低”的重要性，或的重要性，或“可靠度大小可靠度大小”的重要性的重要性¡模糊性模糊性——重要性本身就是个模糊的概念；习惯取点重要性本身就是个模糊的概念；习惯取点值人工性值人工性——没有绝对的正确错误标准；只能尽可没有绝对的正确错误标准；只能尽可能选择相对科学合理的权数能选择相对科学合理的权数¡主观性主观性——受评权者主观意识的影响受评权者主观意识的影响3. 客观赋权法l客观赋权法——从指标的统计性质来考虑，它是由客观数据决定l客观定权法包括模糊定权法、秩和比法、熵权法和相关系数法等（1）变异信息构权（离散/方差信息构权）l指标的区分度越高，对排序的影响就越大基于这种观点，以区分度(方差)信息量为权重。

目前，主要有两种方法：¡a）根据标准差大小来确定权数——直接将各评价指标的标准差（系数）向量进行归一化处理而得¡b）主成分分析法（PC构权法）——根据方差矩阵计算特征根及特征向量，并以特征向量为权重但事实上这种权数与原始变量的方差并不成正比，所以，严格地说，它反映的是变量之间的相关信息，而非方差信息 l方差信息构权最主要的问题——方差信息是否真正全面反映了综合评价的价值因此，有人提出，应该将方差信息权与重要性权结合起来（2）相关信息构权l复相关系数法——每个被选指标，根据其余指标对它的复相关系数来确定权数¡复相关系数大，权数是应该取大还是取小？l相关系数总和法——对其它指标的相关系数的总和，再作倒数处理并归一化（但对负相关的处理也有争议） 3）熵信息构权l熵有不同定义，相应有不同评价方法它本质上仍然是离散程度大－熵值小－权大只是定义了一个新的测度变异情况的指标（＝1—熵值）由此，任一相对变异指标都可用来定权4. 合成赋权法合成赋权法合成方法 ——由单项评价值计算综合评价值的方法1、算术平均法（加法合成、加减法合成）、算术平均法（加法合成、加减法合成）2、几何平均法（乘法合成、乘除法合成）、几何平均法（乘法合成、乘除法合成）3. 混合合成法混合合成法l加权算术平均法的主要特点（1）对于数据的要求最宽松，用于合成的某一指标数值可以为0、为负；（2）各指标可以相互补偿（等量补偿），即此升彼降，总的评价值不变；（3）突出了评价分数较大、权数较大者的作用，适用于主因素突出性的评价；（对较大数值的变动更为敏感）。

l几何平均法的主要特点（（1）对数据要求较高，指标数值不能为0、负数，（2） 鼓励被评价对象在各方面全面发展，任一方也不能偏废此合成方法督促“全面发展”，而不是靠重点倾斜的方法取胜；（3） 乘除法容易拉开评价档次，对较小数值的变动更敏感 二、数据处理的一般方法二、数据处理的一般方法 1. 数据类型的一致化处理方法数据类型的一致化处理方法 极大型极大型: :期望取值越大越好；期望取值越大越好； 极小型极小型: :期望取值越小越好；期望取值越小越好； 中间型中间型: :期望取值为适当的中间值最好期望取值为适当的中间值最好; ; 区间型区间型: :期望取值落在某一个确定的区间期望取值落在某一个确定的区间 内为最好内为最好 什么是一什么是一致化处理致化处理?为什么要为什么要一致化一致化? 2. 数据指标的无量纲化处理方法（标准化）数据指标的无量纲化处理方法（标准化） (3)功效系数法：功效系数法： (1)标准差法：标准差法：(2)极值差法：极值差法： 3. 模糊模糊指标的量化处理方法指标的量化处理方法 在在实实际际中中，，很很多多问问题题都都涉涉及及到到定定性性，，或或模糊指标的定量处理问题。

模糊指标的定量处理问题 诸诸如如: :教教学学质质量量、、科科研研水水平平、、工工作作政政绩绩、、人人员员素素质质、、各各种种满满意意度度、、信信誉誉、、态态度度、、意意识识、、观观念念、、能能力力等等因因素素有有关关的的政政治治、、社社会会、、人人文文等领域的问题等领域的问题 如何对有关问题给出定量分析呢？如何对有关问题给出定量分析呢？　　按国家的评价标准按国家的评价标准, ,评价因素一般分为五评价因素一般分为五个等级，如个等级，如A A，，B B，，C C，，D D，，E E 如何将其量化？若如何将其量化？若A A- -，，B B+ +，，C C- -，，D D+ +等又如等又如何合理量化？何合理量化？ 根据实际问题，构造模糊隶属函数的量根据实际问题，构造模糊隶属函数的量化方法是一种可行有效的方法化方法是一种可行有效的方法　　 3. 定性定性指标的量化处理方法指标的量化处理方法 　　假设有多个评价人对某项因素评价为假设有多个评价人对某项因素评价为A A，，B B，，C C，，D,ED,E共共5 5个等级个等级: {v1 ,v2 ,v3 ,v4,v5}。

譬如：评价人对某事件譬如：评价人对某事件““满意度满意度””的评价可分为的评价可分为{ {很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意很满意，满意，较满意，不太满意，很不满意} }将其将其5 5个等级依次对应为个等级依次对应为5 5，，4 4，，3 3，，2 2，，1 1 这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函这里为连续量化，取偏大型柯西分布和对数函数作为隶属函数：数作为隶属函数： 根据这个规律，根据这个规律，对于任何一个评价值，对于任何一个评价值，都可给出一个合适的都可给出一个合适的量化值 据实际情况可构据实际情况可构造其他的隶属函数造其他的隶属函数如取如取偏大型正态分布偏大型正态分布三、常用综合评价方法（一）计分法（一）计分法（二）（二）TopsisTopsis法法（三）秩和比（三）秩和比(RSR)(RSR)法法（四）层次分析（四）层次分析(AHP)(AHP)法法（五）模糊综合评价方法（五）模糊综合评价方法（六）多元统计分析方法（六）多元统计分析方法（七）灰色系统评价方法（七）灰色系统评价方法（一）计分法1. 1. 综合计分法综合计分法l根据评价目的及评价对象的特征选定必要的评价指标l逐个指标定出评价等级，每个等级的标准用分值表示l以恰当的方式确定各评价指标的权数l选定累计总分的方案以及综合评价等级的总分值范围，以此为准则，对评价对象进行分析和评价，以决定优劣取舍l特点：简便易行，过于粗糙。

l计分法具体做法：计分法具体做法：¡按各个评价指标的经济重要性确定标准得分——全部指标的标准得分的总和=100 ，单项指标的标准得分就是该指标的最高分（满分，也就相当于权数） ；¡确定各指标的对比标准 ；¡按三档记分——改善得满分，持平得一半的分，下降得零分¡加总各评价指标的实际得分 l特点：特点： 简便易行，过于粗糙2 2、排队计分法、排队计分法 将评价单位的各项评价指标依优劣秩序排队，再将名次（位置）转化为单项评价值，最后由单项评价值计算各单位的综合评价值（总分）排队计分法的优缺点排队计分法的优缺点l优点：¡简便易行，简便易行，¡勿须另寻比较标准；勿须另寻比较标准；¡各单项评价值有统一的值域；各单项评价值有统一的值域；¡适用范围广泛（可用于定序以上层次的数据）适用范围广泛（可用于定序以上层次的数据）l缺点：¡原始数据信息的损失较大原始数据信息的损失较大（二）综合指数法l一个或一组变量对某特定变量值大小的相一个或一组变量对某特定变量值大小的相对数称指数，反映某一事物或现象动态变对数称指数，反映某一事物或现象动态变化的指数称个体指数，综合反映多种事物化的指数称个体指数，综合反映多种事物或现象动态平均变化程度的指数称总指数，或现象动态平均变化程度的指数称总指数，综合指数编制总指数的基本计算形式，定综合指数编制总指数的基本计算形式，定量地对某现象进行综合评价的方法称综合量地对某现象进行综合评价的方法称综合指数法指数法lKi 为单项评价指数：l综合评价指数公式为： 评价指数可以为正指标，也可以为逆指标。

但必须同向化一般是把逆指标转化为正指标——采用倒数法，此时，综合评价指数才是越大越好加权指数法加权指数法指标名称计量单位全 国标准数权数报告期指标值甲地区乙地区丙地区（甲）（乙）（1）（2）（3 ）（4）（5）社会总成本增加值社会总成本利税率社会劳动生产率商品流通费用率积累效果系数元/百元元/百元万元/人％％45202155030252551546252.2163548262.4183845211.81428试比较三个地区的综合经济效益试比较三个地区的综合经济效益三个地区的综合经济效益指数分别为：三个地区的综合经济效益指数分别为：=110.31% =116.67%=99.11%加权指数法的优缺点加权指数法的优缺点l主要优点：意义直观明晰；l主要缺点：各单项评价值没有统一的值域，影响评价指标的评价值之间的可比性（三）最优值距离法最优值距离法的特点l综合评价值为逆指标——越小越好（与最优值越接近）；l各单项评价指标的值域统一在（（0 0，，100100））之间l评价结果容易受极端值影响评价结果容易受极端值影响（四）功效系数法依据多目标规划原理提出l单项评价得分：l综合评价得分：¡几何平均法¡算术平均法功效系数法的优缺点功效系数法的优缺点l优点：优点：¡能够充分反映评价指标的原始信息；能够充分反映评价指标的原始信息；¡各单项指标的值域基本上在（各单项指标的值域基本上在（60，，100）之间；）之间；¡评价结果受极端值影响的程度比指数法和最优值距离法都评价结果受极端值影响的程度比指数法和最优值距离法都较弱较弱。

l缺点：缺点：¡必须事先确定两个参照系（对比标准必须事先确定两个参照系（对比标准——满意值和不容许满意值和不容许值）对指标值越大越好的指标有对指标值越大越好的指标有 对指标值越大越好的指标有对指标值越大越好的指标有 熵权法是一种可以用于多对象、多指标的综合评价方法，其评价结果熵权法是一种可以用于多对象、多指标的综合评价方法，其评价结果主要依据客观资料，几乎不受主观因素的影响，可以在很大程度上避主要依据客观资料，几乎不受主观因素的影响，可以在很大程度上避免人为因素的干扰免人为因素的干扰当 时熵的定义：熵的定义：第第 j 个指标的熵权定义为：个指标的熵权定义为：对象的空间距离为：对象的空间距离为：归一化归一化p = 2 欧氏距离欧氏距离p = 1 海明距离海明距离海海明明距距离离指标方案成本功耗转速可靠性A18.0650020000A27.0740015000A36.5820015000A45.0530010000A54.0820010000A63.5101006000指标方案成本功耗转速可靠性A100.811A20.2222220.60.750.642857A30.3333330.40.250.642857A40.66666710.50.285714A50.8888890.40.250.285714A61000指标方案成本功耗转速可靠性0.2454020.2621940.2420710.250333A1A2A3A4A5A6指标方案成本功耗转速可靠性L1i0.2454020.2621940.2420710.250333A10.702159A20.554332A30.408124A40.618355A50.455054A60.245402指标方案成本功耗转速可靠性L1i归一化0.2454020.2621940.2420710.250333A10.7021590.235353A20.5543320.185804A30.4081240.136797A40.6183550.207263A50.4550540.152527A60.2454020.082255指标方案成本功耗转速可靠性L1i归一化排序0.2454020.2621940.2420710.250333A10.7021590.2353531A20.5543320.1858043A30.4081240.1367975A40.6183550.2072632A50.4550540.1525274A60.2454020.0822556欧欧氏氏距距离离指标方案成本功耗转速可靠性L2i归一化排序0.2454020.2621940.2420710.250333A100.811A20.2222220.60.750.642857A30.3333330.40.250.642857A40.66666710.50.285714A50.8888890.40.250.285714A61000指标方案成本功耗转速可靠性L2i归一化排序0.2454020.2621940.2420710.250333A100.811A20.2222220.60.750.642857A30.3333330.40.250.642857A40.66666710.50.285714A50.8888890.40.250.285714A61000指标方案成本功耗转速可靠性L2i归一化排序0.2454020.2621940.2420710.250333A100.8110.1652620.3049381A20.2222220.60.750.6428570.0865820.1597593A30.3333330.40.250.6428570.0472510.0871866A40.66666710.50.2857140.1152760.2127052A50.8888890.40.250.2857140.067360.1242924A610000.0602220.1111205指标方案成本功耗转速可靠性L2i归一化排序0.2454020.2621940.2420710.250333A100.8110.1652620.3049381A20.2222220.60.750.6428570.0865820.1597593A30.3333330.40.250.6428570.0472510.0871866A40.66666710.50.2857140.1152760.2127052A50.8888890.40.250.2857140.067360.1242924A610000.0602220.1111205（六）其它综合评价方法的应用l多元统计方法——主成分分析法、因子分析法、聚类分析法l模糊数学方法——模糊综合评价（评判）l神经网络方法l灰色系统分析方法l…l还可以是多种方法的结合——如：模糊神经网络方法、模糊聚类方法l多种方法的评价结果——再综合，或者选择与其它评价结果相关程度最高的结果为最终选定的评价结果。

5.1 因子分析法 l 将反映不同侧面的许多指标综合成为少数几个主因子，最后计算出综合得分l基本思想：基本思想：根据变量之间的相关性大小把变量分组，使得同一组内变量之间的相关程度较高，不同组的变量之间相关性较低，每组变量代表一个基本结构（这个基本结构称为主因子或公共因子）从具有错综复杂的关系的众多经济现象中找出几个主因子，每一个因子代表经济变量之间相互依赖的一种经济作用，抓住这些主因子就可以帮助我们对复杂的经济问题进行分析和解释5.2 主成分分析法l 通过研究指标体系的内部结构关系从而将多个指标转化为互不相关的、包含原来指标的大部分信息的少数几个综合指标（主成分），以各主成分的方差贡献率对它们进行加权，计算出综合评价得分l它实质上是一种同度量化值的加权算术平均值，主成分中的系数就是其权数l主成分方法的优点：主成分方法的优点：¡1）消除变量之间的相关性；¡2）减少工作量（评价方法模式化、降维的简化作用）¡3）权数的非人为性（非随意性）应用主成分方法必须注意几点应用主成分方法必须注意几点¡样本容量要足够大（只对少数单位或时间进行评价就不样本容量要足够大（只对少数单位或时间进行评价就不能用）；能用）；¡若样本出现不正常现象或异常点（应该将之删除），也若样本出现不正常现象或异常点（应该将之删除），也不适用；不适用；¡评价单位的多少及增减，都可能改变权数，从而影响评评价单位的多少及增减，都可能改变权数，从而影响评价结论。

价结论应用主成分方法注意几点（续）应用主成分方法注意几点（续）¡属于一种相对评价，而非绝对评价属于一种相对评价，而非绝对评价l——评价标准与样本有关；评价结果是一个相对优劣评价标准与样本有关；评价结果是一个相对优劣顺序如进行经济效益评价，它的评价结果不能说明顺序如进行经济效益评价，它的评价结果不能说明经济效益的水平的具体差异大小经济效益的水平的具体差异大小¡它是原始变量的一种线性关系，没有考虑非线它是原始变量的一种线性关系，没有考虑非线性情况¡只适合于定量变量，不适合于包含定性变量的只适合于定量变量，不适合于包含定性变量的情况；情况；l常见的误解：常见的误解：¡把几个主成分的累计方差贡献率当作评价的把把几个主成分的累计方差贡献率当作评价的把我程度我程度/ 反映实际情况的程度反映实际情况的程度…5.3 灰色系统理论的关联分析——确定比较系列（评价指标体系）和参考系列（最优最劣确定比较系列（评价指标体系）和参考系列（最优最劣两组）；两组）；——计算被评价对象与参考系列的关联度和从属度计算被评价对象与参考系列的关联度和从属度 关联度关联度——被评价对象与参考系列在各指标点的关联度被评价对象与参考系列在各指标点的关联度的加权平均数，的加权平均数， 从属度从属度——综合反映了评价对象远离最差系列的程度和综合反映了评价对象远离最差系列的程度和接近最优系列的程度。

接近最优系列的程度——根据关联度和从属度进行排序根据关联度和从属度进行排序l特点：点关联度是建立在评价数据极差的基础上，既考虑了评价对象和整体的关系，又考虑了各评价对象之间的相互关系5.4 模糊神经网络l神经网络起源于对人脑的功能和结构的模拟，是由大量简单的处理单元广泛连接组成的复杂网络，…对于需要同时考虑诸多因素和研究模糊信息问题特别适用lBPBP网络网络————单向传播的多层网络单向传播的多层网络————由输入层、输由输入层、输出层和中间隐含层三个神经层次构成的模型出层和中间隐含层三个神经层次构成的模型先要提出一组训练样本（每个样本由输入样本和理想输出组成），训练过程技术通过计算输出值于期望值的误差，通过修改权值（权数），直至理想输出与实际输出一致为止（六）Topsis法TOPSIS（Technique for order preference by similarity to ideal solution）法，即逼近理想解排序法，意为与理想方案相似性的顺序选优技术，是系统工程中有限方案多目标决策分析的一种常用方法l它是基于归一化后的原始数据矩阵，找出有限方案中最优方案和最劣方案（分别用最优向量和最劣向量表示），然后分别计算诸评价对象与最优方案和最劣方案的距离，获得各评价对象与最优方案的相对接近程度，以此作为评价优劣的依据。

1. 设有设有n个评价对象、个评价对象、m个评价指标，原始数据可写个评价指标，原始数据可写为矩阵为矩阵X＝＝(Xij)n×m 2. 对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换对高优、低优指标分别进行同向化、归一化变换 3. 归一化得到矩阵归一化得到矩阵Z＝＝(Zij)n×m，其各列最大、最小，其各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别记为值构成的最优、最劣向量分别记为Z＋＋＝＝(Zmax1 Zmax2 … Zmaxm) Z－－＝＝(Zmin1 Zmin2 … Zminm) 4. 第第i个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为个评价对象与最优、最劣方案的距离分别为5. 第第i个评价对象与最优方案的接近程度个评价对象与最优方案的接近程度Ci为为 例例 某施工企业某施工企业2004～～2008年年7项指标的实际值，用项指标的实际值，用Topsis法比较该企业这法比较该企业这5年的工程安全质量年的工程安全质量 年份总施工面积保险使用率工期平均事故次数制度漏洞率措施落实率质量合格率工人伤亡率20042158476.77.31.0178.397.52.020052437286.37.40.8091.198.02.020062204181.87.30.6291.197.33.220072111584.56.90.6090.297.72.920082463390.36.90.2595.597.93.6Topsis法举例变换后，得到矩阵变换后，得到矩阵 对各项指标进行同向化、归一化变换对各项指标进行同向化、归一化变换 计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为计算各列最大、最小值构成的最优、最劣向量分别为 Z＋＋＝＝(0.4833 0.4805 0.4634 0.8178 0.4776 0.4487 0.5612)Z－－＝＝(0.4142 0.4081 0.4321 0.2024 0.3916 0.4455 0.3118)计算各年与最优、最劣向量的距离（以计算各年与最优、最劣向量的距离（以2004年为例）年为例）C1＝＝0.2497/(0.6289＋＋0.2497)＝＝0.2842计算接近程度（以2004年为例）年份D+D-Ci排序20040.62890.24970.2842320050.56400.27540.3281220060.53690.15140.2200520070.51410.17620.2552420080.24940.63020.71641可以看出，可以看出，2008 年综合安全质量最好，其次为年综合安全质量最好，其次为 2005年，随后为年，随后为 2004年、年、2007年，年，2006 年最差年最差 （七）秩和比(RSR)法•是利用秩和比RSR（Rank-sum ratio）进行统计分析的一组方法。

秩：等级 秩和：等级和•RSR是一个内涵较为丰富的综合性指标，具有0—1连续变量的特征，它以非参数分析方法为基础，通过指标数（列）、分组数（行）作秩的转换，再运用参数分析的概念和方法研究RSR的分布，解决多指标综合评价问题设有m个指标，对n组数据进行评价，形成n行m列的数据阵，则：其中Rij 为分别按列编秩后各行的秩次最小RSR=1/n，最大RSR=1秩和比法分析的步骤：l分别对要评价的各项指标进行编秩l计算各指标的秩和比（RSR）l确定RSR的分布l求回归方程l排序分档例1：采用秩和比法对某施工技术人员的4项考核指标进行综合评价l业务考试成绩（X1）l操作考核结果（X2）l工种内测评（X3）l工作量考核（X4）第一步，分别对要评价的各项指标进行编秩第一步，分别对要评价的各项指标进行编秩遇相等评分时，取平均等级遇相等评分时，取平均等级待待评对评对象象X1X2X3X4甲甲86（（5））优优-（（6））100（（7.5））233.9（（5））乙乙92（（7））良（良（3））98.2（（5））192.9（（3））丙丙88（（6））良（良（3））99.1（（6））311.1（（8））丁丁72（（3））良（良（3））95.5（（3））274.9（（7））戊戊70（（2））优优（（7.5））97.3（（4））263.6（（6））己己94（（8））优优（（7.5））100（（7.5））182.3（（2））庚庚84（（4））良（良（3））91.97（（1.5））220.6（（4））辛辛50（（1））良（良（3））91.97（（1.5））182.0（（1））第二步，计算各指标的秩和比（第二步，计算各指标的秩和比（RSRRSR））其中：m为指标个数，n为分组数，Ri为各指标的秩次，RSR值即为多指标的平均秩次，其值越大越优计算秩和比(RSR)值待评对象X1X2X3X4RSL甲86（5）优-（6）100（7.5）233.9（5）0.7344乙92（7）良（3）98.2（5）192.9（3）0.5313丙88（6）良（3）99.1（6）311.1（8）0.7388丁72（3）良（3）95.5（3）274.9（7）0.5000戊70（2）优（7.5）97.3（4）263.6（6）0.6094己94（8）优（7.5）100（7.5）182.3（2）0.7813庚84（4）良（3）91.97（1.5）220.6（4）0.3906辛50（1）良（3）91.97（1.5）182.0（1）0.2081第三步，确定第三步，确定RSRRSR的分布的分布lRSR→频数f→累积频数 →秩号范围 →平均秩次 →累积频率→Y（概率单位）。

Y为RSR的累积频率对应的概率单位值，Y=uα+5，uα标准正态分布的上分位点RSR值正态性检验：Z=0.4772，双侧检验P=0.9767，说明RSR值呈正态分布待评对象RSRf累计频数Y甲0.308111112.53.8157乙0.390612225.04.3255丙0.500013337.54.6314丁0.530314450.05.0000戊0.609415562.55.3186己0.718816675.05.6745庚0.734417787.56.1503辛0.738318896.9据（（1-1/4n）×100%估计）5.8563第四步，求回归方程第四步，求回归方程 RSR=A+BY经相关和回归分析，应变量RSR 与自变量概率单位Y之间具有线性相关（r=0.9528）线性回归方程为：F=59.078，P=0.0002说明所求线性回归方程有统计学意义第五步，根据第五步，根据RSRRSR值排序分档值排序分档 最佳分类归档的涵义是各档方差一致，相差具有显著性最佳分档准则为每档至少2例，尽量多分几组最佳分档步骤，首先进行方差一致性检验，在方差一致的前提下，再作统计检验，方差分析结果判断各类间是否具有统计学差异，然后利用多重比较检验各类间差异是否显著。

如果各类间的方差不一致或各类间的差异未达显著，则需考虑重新分档 •将各施工技术人员考核指标合理分档，分差、良、优三档各施工技术人员考核指标排序与等级分布等级PYRSR分档与排序差<37.5<4.6814<0.5000辛、庚良37.5～4.6814～0.5000～丁、乙、戊优75～5.6745～0.7188～丙、甲、己l经方差齐性检验X2=2.3006，P>0.05，说明各档方差一致l方差分析显示：F=22.9722,P=0.0030，说明各档间有显著差异l两两比较，P<0.05, 说明各档彼此之间均有差异，达到了最佳分档常用分档数及对应概率单位表1 六种设备的主要评价指标指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性A18.0650020000A27.0740015000A36.5820015000A45.0530010000A54.0820010000A63.5101006000l假设某企业生产时有六种设备选择方案，采用的评价指标有成本、功耗、转速和可靠性，基础资料见表1，问应作何种设备选择决策？指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性值值轶轶值值轶轶值值轶轶值值轶轶(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)A18.0650020000A27.0740015000A36.5820015000A45.0530010000A54.0820010000A63.5101006000六种设备评价指标的秩指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性值值轶轶值值轶轶值值轶轶值值轶轶(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)A18.01650020000A27.02740015000A36.53820015000A45.04530010000A54.05820010000A63.56101006000指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性值值轶轶值值轶轶值值轶轶值值轶轶(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)A18.016550020000A27.027440015000A36.5383.520015000A45.045630010000A54.0583.520010000A63.561011006000指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性值值轶轶值值轶轶值值轶轶值值轶轶(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)A18.0165500620000A27.0274400515000A36.5383.52002.515000A45.0456300410000A54.0583.52002.510000A63.5610110016000指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性值值轶轶值值轶轶值值轶轶值值轶轶(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)A18.01655006200006A27.02744005150004.5A36.5383.52002.5150004.5A45.04563004100002.5A54.0583.52002.5100002.5A63.56101100160001指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性RSRRSR值值轶轶值值轶轶值值轶轶值值轶轶加权加权等权等权(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)(9)(9)(10)(10)A18.01655006200006A27.02744005150004.5A36.5383.52002.5150004.5A45.04563004100002.5A54.0583.52002.5100002.5A63.56101100160001指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性RSRRSR值值轶轶值值轶轶值值轶轶值值轶轶加权加权等权等权(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)(9)(9)(10)(10)A18.016550062000060.75000.6917A27.02744005150004.50.64580.6108A36.5383.52002.5150004.50.52080.5267A45.04563004100002.50.68750.6875A54.0583.52002.5100002.50.52080.5500A63.561011001600010.37500.4333指标指标方案方案成本成本功耗功耗转速转速可靠性可靠性RSRRSR排序排序值值轶轶值值轶轶值值轶轶值值轶轶加权加权等权等权加权加权等权等权(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)(6)(6)(7)(7)(8)(8)(9)(9)(10)(10)(11)(11)(12)(12)A18.016550062000060.75000.691711A27.02744005150004.50.64580.610833A36.5383.52002.5150004.50.52080.52674.55A45.04563004100002.50.68750.687522A54.0583.52002.5100002.50.52080.55004.54A63.561011001600010.37500.433366指标指标方案方案A60.37501A3、A50.52082A20.64581A40.68751A10.75001R R S S R R分布指标指标方案方案A60.375011A3、A50.520823A20.645814A40.687515A10.750016指标指标方案方案A60.3750111A3、A50.5208232、3A20.6458144A40.6875155A10.7500166指标指标方案方案A60.37501111A3、A50.5208232、32.5A20.64581444A40.68751555A10.75001666指标指标方案方案A60.3750111116.67A3、A50.5208232、32.541.67A20.6458144466.67A40.6875155583.33A10.7500166697.50*指标指标方案方案A60.3750111116.674.03A3、A50.5208232、32.541.674.79A20.6458144466.675.43A40.6875155583.335.97A10.7500166697.50*6.96分档数分档数百分位数百分位数 Pχ Probit 分档数分档数百分位数百分位数 PχProbit 3

系统化、层次化分析问题的方法AHPAHP是是将半定性、半定量问题转化为定量问将半定性、半定量问题转化为定量问题的一种行之有效的方法，使人们的思维过题的一种行之有效的方法，使人们的思维过程层次化，通过逐层比较其间的相关因素并程层次化，通过逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据策提供了较具说服力的定量依据八）层次分析法1、层次分析法基本步骤（（1 1）建立层次结构模型；）建立层次结构模型；（（2 2）构造出各层次中的所有判断矩阵；）构造出各层次中的所有判断矩阵；（（3 3）层次单排序及一致性检验；）层次单排序及一致性检验；（（4 4）层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验例例 某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用 可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技术新设备新技术新设备 工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理。

较为合理步步1 1 建立层次结构模型建立层次结构模型在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次较简单的问题通常可分解为将这些关系分解成若干个层次较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）分析研究要符合决策者要求和意图分析研究要符合决策者要求和意图决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：否合理，决策者的主要标准为：（（1 1）是否有利于调动企业职工的积极性，）是否有利于调动企业职工的积极性，（（2 2）是否有利于提高企业的生产能力，）是否有利于提高企业的生产能力，（（3 3）是否有利于改善职工的工作、生活环境分析者可以提）是否有利于改善职工的工作、生活环境分析者可以提出自己的看法，但标准的最终确定将由决策者决定出自己的看法，但标准的最终确定将由决策者决定根据决策者的意根据决策者的意图图，可以建立起本，可以建立起本问题问题的的层层次次结结构模型如构模型如图图8.7所示。

所示合理利用企业利润合理利用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P图图中的中的连线连线反映了因素反映了因素间间存在的关存在的关联联关系，哪些因素存在关关系，哪些因素存在关联联关系也关系也应应由决策者决定由决策者决定对对于因果关系于因果关系较为较为复复杂杂的的问题问题也可以引也可以引进进更多的更多的层层次例如，在例如，在选购电选购电冰箱冰箱时时，如以，如以质质量、外量、外观观、价格、品、价格、品牌及信誉等牌及信誉等为为准准则则，也，也许许在衡量在衡量质质量量优优劣劣时时又可分出又可分出若干个不同的子准若干个不同的子准则则，如制冷性能、，如制冷性能、结结霜情况、耗霜情况、耗电电量大小等等量大小等等建立建立层层次次结结构模型是构模型是进进行行层层次分析的基次分析的基础础，它将思，它将思维过维过程程结结构化、构化、层层次化，次化，为进为进一步分析研究一步分析研究创创造了造了条件步步2 2 构造判断矩阵构造判断矩阵 层次结构反映了因素之间的关系，例如图中目标层次结构反映了因素之间的关系，例如图中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。

但准则层中的各准则在目标衡量中所占的出来但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重比重( (权值）并不一定相同，在决策者的心目中，权值）并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例它们各占有一定的比例 怎样来确定合理的权值？怎样来确定合理的权值？SaatySaaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法即每次取两个因子对比较矩阵的办法即每次取两个因子x xi i和和x xj j，以，以a aijij表示表示x xi i和和x xj j对对Z Z的影响大小之比，全部比较结果用的影响大小之比，全部比较结果用矩阵矩阵A A=(=(a aijij) )n n××n n表示，称表示，称A A为为Z Z－－X X之间的成对比较判之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）容易看出，若断矩阵（简称判断矩阵）容易看出，若x xi i和和x xj j对对Z Z的影响之比为的影响之比为a aijij，则，则x xj j和和x xi i对对Z Z的影响之比应为：的影响之比应为： 定义：若矩阵定义：若矩阵A A=(=(a aijij) )n n××n n满足满足显然判断矩阵是正互反矩阵。

从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据SaatySaaty等人等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用性，实验结果也表明，采用1~91~9标度最为合适标度最为合适如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用1~91~9及其倒及其倒数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，先比较类，再比较每一类中的元素先比较类，再比较每一类中的元素关于如何确定关于如何确定a aijij的值，的值，SaatySaaty等建议引用数字等建议引用数字1~91~9及其倒数作及其倒数作为标度他们认为，人们在成对比较差别时，用为标度他们认为，人们在成对比较差别时，用5 5种判断级较种判断级较为合适即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别为合适即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别程度，程度，a aijij相应地取相应地取1,3,5,71,3,5,7和和9 9。

在成对事物的差别介于两者在成对事物的差别介于两者之间难以定夺时，之间难以定夺时，a aijij可分别取值可分别取值2 2、、4 4、、6 6、、8 8步步3 3 层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验 上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰影响，较客观地反映出一对因子影响力的差别但综合全部影响，较客观地反映出一对因子影响力的差别但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性如果比较比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：的元素还应当满足： 满足该关系式的正互反矩阵称为一致矩阵满足该关系式的正互反矩阵称为一致矩阵定理定理 若若A A为为一致矩一致矩阵阵，，则则（（1））A必必为为正互反矩正互反矩阵阵2））A的的转转置矩置矩阵阵AT也是一致矩也是一致矩阵阵3））A的任意两行成比例，比例因子（即的任意两行成比例，比例因子（即wi /wj）大于零，从）大于零，从而而rank（（A））=1（同（同样样，，A的任意两列也成比例）。

的任意两列也成比例）4））A的最大特征根的最大特征根λmax=n，其中，其中n为为矩矩阵阵A的的阶阶A的其余特征的其余特征根均根均为为零5）若）若A的最大特征根的最大特征根λmax对应对应的特征向量的特征向量为为W=（（w1,…, wn））I，，则则aij=wi /wj，， i,j = 1,2,…,n定理定理 正互反矩正互反矩阵阵A的最大特征根的最大特征根λmax必必为为正正实实数，其数，其对应对应特征向量的所有特征向量的所有分量均分量均为为正正实实数A的其余特征根的模均的其余特征根的模均严严格小于格小于λmax证证明从略）明从略）定理定理 n阶阶正互反矩正互反矩阵阵A为为一致矩一致矩阵阵当且当且仅仅当其最大特征根当其最大特征根 λmax=n，且当正互反矩，且当正互反矩阵阵A非一致非一致时时，必有，必有λmax>n根据定理，我根据定理，我们们可以由可以由λmax是否等于是否等于n来来检验检验判断矩判断矩阵阵A是否是否为为一致矩一致矩阵阵由于特征根由于特征根连续连续地依地依赖赖于于aij，故，故λmax比比n大得越多，大得越多，A的非一致性的非一致性程度也就越程度也就越为严为严重，重，λmax对应对应的的标标准化特征向量也就越不能真准化特征向量也就越不能真实实地反映地反映出出X={x1,…,xn}在在对对因素因素Z的影响中所占的比重。

因此，的影响中所占的比重因此，对对决策者提供决策者提供的判断矩的判断矩阵阵有必要作一次一致性有必要作一次一致性检验检验，以决定是否能接受它以决定是否能接受它 为为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，确定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下等人采用了如下办办法：法：（（1）求出）求出 ，称，称CI为为A的一致性指的一致性指标标容易看出，当且容易看出，当且仅仅当当A为为一致矩一致矩阵时阵时，，CI = 0CI的的值值越大，越大，A的非一的非一致性越致性越严严重利用线线性代数知性代数知识识可以可以证证明，明，A的的n个特征根之和等于其个特征根之和等于其对对角角线线元素之和（即元素之和（即n）故）故CI事事实实上是上是A的除的除λmax以外其余以外其余n－－1个特征个特征根的平均根的平均值值的的绝对值绝对值若A是一致矩是一致矩阵阵，其余，其余n－－1个特征根均个特征根均为为零，故零，故CI=0；否；否则则，，CI>0，其，其值值随随A非一致性程度的加重而非一致性程度的加重而连续连续地增大当地增大当CI略大于零略大于零时时（（对应对应地，地，λmax稍大于稍大于n），），A具有具有较为满较为满意的一致性；否意的一致性；否则则，，A的一致性就的一致性就较较差。

差（（2）上面定）上面定义义的的CI值虽值虽然能反映出非一致性的然能反映出非一致性的严严重程度，但仍未能指明重程度，但仍未能指明该该非一致性是否非一致性是否应应当被当被认为认为是可以允是可以允许许的事实实上，我上，我们还们还需要一个度量需要一个度量标标准为为此，此，Saaty等人又研究了他等人又研究了他们认为们认为最不一致的矩最不一致的矩阵阵——用从用从1~9及及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵阵，取充分大的子，取充分大的子样样，求得最大，求得最大特征根的平均特征根的平均值值 ，， 并定并定义义称称RI为为平均随机一致性指平均随机一致性指标标对对n =1,…,11,，，Saaty给给出了出了RI的的值值，如表所示如表所示N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（（3）将）将CI与与RI作比作比较较，定，定义义称称CR随机一致性比率随机一致性比率经经大量大量实实例比例比较较，，Saaty认为认为，在，在CR<0.10时时可以可以认为认为判断矩判断矩阵阵具有具有较为满较为满意的一致性，否意的一致性，否则则就就应应当重新当重新调调整判断矩整判断矩阵阵，，直至具有直至具有满满意的一致性意的一致性为为止。

止综综上所述，在步上所述，在步3中中应应先求出先求出A的最大特征的最大特征根根λmax及及λmax对应对应的特征向量的特征向量W=（（w1,…, wn））T，，进进行行标标准化，准化，使得使得 再再对对A作一致性作一致性检验检验：：计计算算 ，，查查表得到表得到对应对应于于n的的RI值值，求，求 ，，若若CR<0.1，，则则一致性一致性较为满较为满意，以意，以 i作作为为因子因子xi在上在上层层因子因子Z中所具有中所具有的的权值权值否则则必需重新作比必需重新作比较较，修正，修正A中的元素只有在一致性中的元素只有在一致性较为满较为满意意时时，，W的分量才可用作的分量才可用作层层次次单单排序的排序的权权重现对现对本本节节例（即合理利用利例（即合理利用利润问题润问题））进进行行层层次次单单排序为为求出求出C1、、C2、、C3在目在目标层标层A中所占的中所占的权值权值，构造，构造O－－C层层的成的成对对比比较较矩矩阵阵，，设设构造出的成构造出的成对对比比较较判断知判断知阵阵A=于是于是经计经计算，算，A的最大特征根的最大特征根λmax=3.038，，CI=0.019，，查查表得表得RI = 0.58，故，故CR = 0.033。

因因CR<0.1，接受矩，接受矩阵阵A，求出，求出A对应对应于于λmax的的标标准化准化特征向量特征向量W= ( 0.105, 0.637，， 0.258)T，以，以W的分量作的分量作为为C1、、C2、、C3在在目目标标O中所占的中所占的权权重311153C1C2C3C1 C2 C30类类似求措施似求措施层层中的中的P1、、P2在在C1中的中的权值权值，，P2、、P3在在 C2中的中的权值权值及及P1、、P2在在C1中的中的权值权值：： 1P231P1P2P1C113λmax=2，CI = CR = 0W = (0.75, 0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI = CR = 0W = (0.167, 0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI = CR = 0W = (0.66, 0.333)T经层次单排序，得到图经层次单排序，得到图合理利用企业利润合理利用企业利润调动职工积调动职工积极性极性C1提高企业技提高企业技术水平术水平C2改善职工工改善职工工作生活条件作生活条件C3发奖金发奖金P1扩建福利扩建福利事业事业P2引进新设备引进新设备P3目标层目标层O准则层准则层C措施层措施层P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332设设上一上一层层次（次（A层层）包含）包含A1,…,Am共共m个因素，它个因素，它们们的的层层次次总总排序排序权值权值分分别为别为a1,…,am。

又又设设其后的下一其后的下一层层次（次（B层层）包含）包含n个因素个因素B1,…,Bn，它，它们们关于关于Aj的的层层次次单单排序排序权值权值分分别为别为b1j,…,bnj（当（当Bi与与Aj无关无关联联系系时时，，bij = 0）现现求求B层层中各因素关于中各因素关于总总目目标标的的权值权值，即求，即求B层层各因素的各因素的层层次次总总排排序序权值权值b1,…,bn，，计计算按表算按表11所示方式所示方式进进行行,即即 ，，i =1,…,n表表11bn m…bn2bn1Bn………………B2 m…b22b21B2B1m…b12b11B1B层总层总排序排序权值权值Ama m… …A2a 2A1a1层层A层层B步步4 4 层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验最后，在步骤（最后，在步骤（4）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因）中将由最高层到最低层，逐层计算各层次中的诸因素关于总目标（最高层）的相对重要性权值素关于总目标（最高层）的相对重要性权值例如，例如，对对于前面考察的工厂合理利用留成利于前面考察的工厂合理利用留成利润润的例子，措施的例子，措施层层层层次次单单排排序序权值权值的的计计算如表所示。

算如表所示 层层C层层PC1C2C3层层P的的总总排序排序权权值值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531对层对层次次总总排序也需作一致性排序也需作一致性检验检验，，检验检验仍象仍象层层次次总总排序那排序那样样由高由高层层到低到低层层逐逐层进层进行这这是因是因为虽为虽然各然各层层次均已次均已经过层经过层次次单单排序的一致性排序的一致性检验检验，，各成各成对对比比较较判断矩判断矩阵阵都已具有都已具有较为满较为满意的一致性但当意的一致性但当综综合考察合考察时时，各，各层层次的非一致性仍有可能次的非一致性仍有可能积积累起来，引起最累起来，引起最终终分析分析结结果果较严较严重的非一致重的非一致性设设B层层中与中与Aj相关的因素的成相关的因素的成对对比比较较判断矩判断矩阵阵在在单单排序中排序中经经一致性一致性检验检验，，求得求得单单排序一致性指排序一致性指标为标为CI(j)，，(j =1,…,m)，相，相应应的平均随机一致性指的平均随机一致性指标标为为RI(j) (CI(j)、、RI(j)已在已在层层次次单单排序排序时时求得求得)，，则则B层总层总排序随机一致性比排序随机一致性比率率为为CR = 当当CR<0.10 时时，，认为层认为层次次总总排序排序结结果具有果具有较满较满意的一致性并接受意的一致性并接受该该分析分析结结果。

果对对于表于表7.11中的中的P层总层总排序，由于排序，由于C—P层间层间的三个判断矩的三个判断矩阵阵的一致性指的一致性指标标（即（即CI(j)，，j=1，，2，，3）均）均为为0，故，故P层总层总排序的随机一致性比率排序的随机一致性比率CR=0，接，接受受层层次分析次分析结结果，将留成利果，将留成利润润的的25.1%用于用于发奖发奖金，金，21.8%用于用于扩扩建福利建福利事事业业，余下的，余下的53.1%用于引用于引进进新技新技术术新新设备设备2 2、最大特征根及对应特征向量的近似计算法、最大特征根及对应特征向量的近似计算法众所周知，求矩众所周知，求矩阵阵A的特征根与特征向量在的特征根与特征向量在n较较大大时时是非常麻是非常麻烦烦的，需要的，需要求解高次代数方程及高求解高次代数方程及高阶线阶线性方程性方程组组由于判断矩由于判断矩阵阵中中aij的的给给出方法是比出方法是比较较粗糙的，它只是决策者主粗糙的，它只是决策者主观观看法在一定精度内的定量化反映，也就是看法在一定精度内的定量化反映，也就是说说，建模本身存在着，建模本身存在着较较大的模型大的模型误误差因而，在差因而，在计计算特征根和特征向量算特征根和特征向量时时，没有必要化，没有必要化费费太多的太多的时间时间和精力去求和精力去求A的特征根与特征向量的精确的特征根与特征向量的精确值值。

事事实实上，在上，在应应用用层层次分析法决策次分析法决策时时，，这这些量的些量的计计算通常采用算通常采用较为简较为简便的便的近似方法近似方法1、方根法、方根法在在应应用小型用小型计计算器求判断矩算器求判断矩阵阵A的最大特征根与的最大特征根与对应对应特征向量特征向量时时可采用方可采用方根法其计计算步算步骤骤如下：如下：（（1）求判断矩）求判断矩阵阵每行元素的乘每行元素的乘积积，，i =1,2,…,n（（2）求）求Mi的的n次方根次方根 （（3）对）对 进行标准化，求特征向量各分量的近似值进行标准化，求特征向量各分量的近似值 4）求）求A的最大特征根的近似的最大特征根的近似值值从（从（7.6）式中不）式中不难难看出，当看出，当A为为一致矩一致矩阵时阵时，由，由A中各行乘中各行乘积积的的n次方根次方根组组成的向量与成的向量与A的特征向量成比例因而当的特征向量成比例因而当A的非一致性不太的非一致性不太严严重重时时，方，方根法求得的根法求得的Wi（（i = 1,…,n）可近似用于）可近似用于层层次次单单排序的排序的权值权值对对前面例子中的前面例子中的O—C判断判断阵阵，有，有每行元素相乘求求 ，得，得 2、幂法、幂法计算步骤：计算步骤：（步（步1）任取一）任取一标标准化向量准化向量W(0)，指定一精度要求，指定一精度要求ε>0，，k=0。

步（步2）迭代计算）迭代计算 ，，k = 0,1,…若若 ，，i = 1,…,n，，则取则取W= 为为A的对应于的对应于λmax的特征向量的近似，的特征向量的近似，否则转步否则转步2步（步3）） 将将 标准化，即求标准化，即求 其中其中 为为 的第的第i个分量（步（步4）求）求λmax的近似的近似值值对前面例子中的对前面例子中的O—C判断矩阵，判断矩阵，若取若取 ，， =0.001，利用幂法求近似特征向量如下：，利用幂法求近似特征向量如下：（第一次迭代）（第一次迭代） (0) = (0.511,3,1.444)T，， = 4.955，求得，求得W(1) = (0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）（第二次迭代） (2) = (0.321,1.993,0.802)T，， = 3.116，求得，求得W(2) = (0.103,0.639,0.257)T（第三次迭代）（第三次迭代） (3) = (0.316,1.925,0.779)T，， = 3.02，求得，求得W(3) = (0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）（第四次迭代） (4) = (0.318,1.936,0.785)T，， = 3.04，求得，求得W(4) = (0.105,0.637,0.258)T因因 ，取，取W = W(4)。

进而，可求得进而，可求得 3、和积法、和积法（步（步1）将判断矩阵）将判断矩阵A的每一列标准化，即令的每一列标准化，即令 , i, j =1, …,n令令 （步（步2）将）将 中元素按行相加得到向量中元素按行相加得到向量 ，其分量，其分量 ，，i = 1, …, n步（步3）将）将 标标准化，得到准化，得到W，即，即 ，，i = 1, …, nW即为即为A的（对应于的（对应于λmax的）近似特征向量的）近似特征向量步（步4）求最大特征根近似值）求最大特征根近似值 仍以前面例子中的仍以前面例子中的O—C判断矩阵为例：判断矩阵为例：按列标准化按列标准化 标准化标准化，以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且以上近似方法计算都很简单，计算结果与实际值相差很小，且A的非一的非一致性越弱相差越小，而当致性越弱相差越小，而当A为一致矩阵时两者完全相同。

为一致矩阵时两者完全相同按行相加按行相加3 3、层次分析法应用举例、层次分析法应用举例在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个：（1）如）如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；（2）如何将某些定性）如何将某些定性的量作比较接近实际的定量化处理的量作比较接近实际的定量化处理层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据层次分析法也有其局限性，主要表现在：（层次分析法也有其局限性，主要表现在：（1）它在很大程度上依）它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严的严重非一致性（即矛盾性），却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性重片面性2）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高）比较、判断过程较为粗糙，不能用于精度要求较高的决策问题。

的决策问题AHP是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、是一种半定量（或定性与定量结合）的方法，如何用更科学、更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究更精确的方法来研究问题并作出决策，还有待于进一步的探讨研究在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步，如何在应用层次分析法时，建立层次结构模型是十分关键的一步，如何从实际问题中抽象出相应的层次结构从实际问题中抽象出相应的层次结构例例 招聘工作人员招聘工作人员某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领某单位拟从应试者中挑选外销工作人员若干名，根据工作需要，单位领导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图导认为招聘来的人员应具备某些必要的素质，由此建立层次结构如图7.9所示招聘人员综合情况招聘人员综合情况知识知识能力能力外表外表经经济济知知识识外外语语知知识识法法律律知知识识组组织织能能力力公公关关能能力力计计算算机机操操作作气气质质身身高高体体形形C层层B层层A层层0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而该单位领导认为，作为外销工作人员，知识面与外观形象同样重要，而在能力方面则应有稍强一些的要求。

根据以上看法，建立在能力方面则应有稍强一些的要求根据以上看法，建立A—B层成对层成对比较判断矩阵比较判断矩阵→ 求得求得λmax =3，，CR = 01211121B1B2B3B3B2B1A类类似建立似建立B—C层层之之间间的三个成的三个成对对比比较较矩矩阵阵: 注：注：权权系数是根据后面的系数是根据后面的计计算添加上去的算添加上去的 1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W = (0.186,0.737,0.077)T = 3.047, = 3.047, CRCR = 0.08 = 0.08W = ( , , )TW = (0.738,0.168,0.094)T = 3.017, = 3.017, CRCR = 0.08 = 0.08经层经层次次总总排序，可求得排序，可求得C层层中各因子中各因子Ci在在总总目目标标中的中的权权重分重分别为别为：：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024 招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的招聘工作可如下进行，根据应试者的履历、笔试与面试情况，对他们的九项指标作九项指标作1—9级评分。

设其得分为级评分设其得分为X= (x1,…,x9)T，用公式，用公式y = 0.047x1 + 0.184x2 +0.019x3 +0.167 (x4 + x5 + x6 )+ 0.184x7 + 0.042x8 + 0.024x9 计算总得分，以计算总得分，以y作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用作为应试者的综合指标，按高到低顺序录用例例 （挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业（挑选合适的工作）经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图所示生该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如图所示工作满意程度工作满意程度研究研究课题课题发展发展前途前途待待遇遇同事同事情况情况地理地理位置位置单位单位名气名气工作工作1工作工作2工作工作3目标层目标层A准则层准则层B方案层方案层CB1B2B3B4B5B6C1C2C3该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：该生经冷静思考、反复比较，建立了各层次的成对比较矩阵：133222B611311B51B43511B314211B214111B1B6B5B4B3B2B1A由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵。

由于比较因素较多，此成对比较矩阵甚至不是正互反矩阵方案（方案层层）） 12C3314C21C1C3C2C1B1125C314C21C1C3C2C1B211C311C231C1C3C2C1B3(层层次次总总排序排序)如下表如下表 所示 表表准则研究课题发展前途待遇同事情况地理位置单位名气总排序权值准则层权值0.160.190.190.050.120.30方案层工作10.140.100.320.280.470.770.40单排序工作20.620.330.220.650.470.170.34权值工作30.240.570.460.070.070.060.26根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作根据层次总排序权值，该生最满意的工作为工作1由于篇幅限由于篇幅限止，本例省略了一致性检验）止，本例省略了一致性检验）例例 作品作品评评比 电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术电影或文学作品评奖时，根据有关部门规定，评判标准有教育性、艺术性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为性和娱乐性，设其间建立的成对比较矩阵为由此可求得由此可求得W = (0.158,0.187,0.656)T，，CR = 0.048 (< 0.1)本例的本例的层层次次结结构模型如构模型如图图 所示所示 电影或文学作品评比教育性艺术性娱乐性作品1作品n……0.1580.1870.656在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分。

在具体评比时，可请专家对作品的教育性、艺术性和娱乐性分别打分根据作品的得分数根据作品的得分数X = (x1, x2, x3)T，利用公式，利用公式y = 0.158x1 + 0.187x2 +0.656x3 计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序计算出作品的总得分，据此排出的获奖顺序读者不难看出，读者不难看出，A矩阵的建立对评比结果的影响极大事实上，整个评矩阵的建立对评比结果的影响极大事实上，整个评比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者的比过程是在组织者事先划定的框架下进行的，评比结果是按组织者的满意程度来排序的这也说明，为了使评比结果较为理想，满意程度来排序的这也说明，为了使评比结果较为理想，A矩阵的建矩阵的建立应尽可能合理立应尽可能合理在方案在方案C C层中列出的多项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示层中列出的多项指标，有些可用数量表示，有些只能定性表示即使对于可以定量表示的指标，由于各指标具有不同的量纲，互相之间不即使对于可以定量表示的指标，由于各指标具有不同的量纲，互相之间不能直接进行比较能直接进行比较为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量。

如可将每一指标为此，在层次单排序与总排序时应先统一化成无量纲量如可将每一指标分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得分数然后再根据各因子的分为若干等级并对每一等级规定一个合适的得分数然后再根据各因子的重要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子的权重要程度利用成对比较及层次排序来确定各因子的权在评估时，只要根据各项指标，利用由层次分析得到的评估公式计算其最在评估时，只要根据各项指标，利用由层次分析得到的评估公式计算其最终得分即可终得分即可AHPAHP分析有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果关分析有一个共同的特征，模型涉及的因素间存在着较为明确的因果关系，这些因果关系又可以分成若干个层次同一层次中的各因素间相互影系，这些因果关系又可以分成若干个层次同一层次中的各因素间相互影响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层传递的响很小基本上可略去不计，上层因素对下层的某些因素存在着逐层传递的支配关系，但不考虑相反的逆关系支配关系，但不考虑相反的逆关系更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考虑更复杂的层次结构可以考虑同一层次内各因素间的相互影响，也可以考虑下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多的数下层因素对上层因素的反馈作用，因研究这类层次结构需要用到更多的数学知识。

学知识 设设U ={ {u1, u2, … , un} }为为n种因素种因素( (或指标或指标),),V ={ {v1, v2, … , vm} }为为m种评判种评判( (或等级或等级).). 由于各种因素所处地位不同由于各种因素所处地位不同, ,作用也不一样作用也不一样, ,可用权可用权重重A = (a1, a2, … , an )来描述来描述, ,它是因素集它是因素集U 的一个模糊的一个模糊子集子集. .对于每一个因素对于每一个因素ui , ,单独作出的一个评判单独作出的一个评判 f (ui), ,可可看作是看作是U到到V 的一个模糊映射的一个模糊映射 f , ,由由 f 可诱导出可诱导出U 到到V 的的一个模糊关系一个模糊关系 Rf , ,由由Rf可诱导出可诱导出U 到到V 的的一个模糊线性变一个模糊线性变换换TR(A)= A °R = B, ,它是评判集它是评判集V 的一个模糊子集的一个模糊子集, ,即为综合评判即为综合评判. . ( (U, V, R ) )构成模糊综合评判决策模型构成模糊综合评判决策模型, , U, V, R是此是此模型的三个要素模型的三个要素. .四、模糊综合评判决策模糊综合评判决策的方法与步骤是：模糊综合评判决策的方法与步骤是： ⑴ ⑴ 建立因素集建立因素集U ={ {u1, u2, … , un} }与决断集与决断集V ={ {v1, v2, … , vm}.}. ⑵ ⑵ 建立模糊综合评判矩阵建立模糊综合评判矩阵. . 对于每一个因素对于每一个因素ui , ,先建立单因素评判：先建立单因素评判：( (ri1, ri2, … , rim) )即即rij(0≤(0≤rij≤1)≤1)表示表示vj对因素对因素ui所所作的评判作的评判, ,这样就得到单这样就得到单因素评判矩阵因素评判矩阵R =( (rij) )n×m. . ⑶ ⑶ 综合评判综合评判. . 根据各因素权重根据各因素权重A =( (a1, a2, … , an ) )综合评判综合评判: : B = A⊕ ⊕R = (b1, b2, … , bm )是是V上的一个模糊子集上的一个模糊子集, ,根据运算根据运算⊕⊕的不同定义的不同定义, ,可得到不同的模型可得到不同的模型. . 模型模型ⅠⅠ：：M(∧∧,∨∨)——主因素决定型主因素决定型bj = ∨∨{(ai∧∧rij), 1≤i≤n } ( j = 1, 2, … , m ). 由于综合评判的结果由于综合评判的结果bj的值仅由的值仅由ai与与rij (i = 1, 2, … , n )中的某一个确定中的某一个确定(先取小先取小, ,后取大运算后取大运算), ,着眼点是考虑主要因素着眼点是考虑主要因素, ,其他因素对结果影响不其他因素对结果影响不大大, ,这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况这种运算有时出现决策结果不易分辨的情况.模型模型Ⅱ：：M ( · , ∨∨)——主因素突出型主因素突出型bj = ∨∨{(ai · rij), 1≤i≤n } ( j = 1, 2, … , m ). M ( · , ∨∨)与模型与模型M (∧∧,∨∨) 较接近较接近, 区别区别在于用在于用ai rij代替了代替了M (∧∧,∨∨) 中的中的ai∧∧rij . 在模型在模型M ( · , ∨∨)中中,对对rij乘以小于乘以小于1的权重的权重ai表明表明ai是在考虑多因素时是在考虑多因素时rij的修正值的修正值,与主要因素与主要因素有关有关,忽略了次要因素忽略了次要因素.模型模型ⅢⅢ：： M(∧∧, ＋＋)——主因素突出型主因素突出型bj = ∑(ai ∧∧ rij) ( j = 1, 2, … , m ). . 模型模型ⅢⅢ也突出了主要因素也突出了主要因素. . 在实际应用中在实际应用中, ,如果主因素在综合评判中起如果主因素在综合评判中起主导作用主导作用, ,建议采纳建议采纳Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ, Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ, 当模型当模型ⅠⅠ失效时失效时可采用可采用Ⅱ,Ⅲ.Ⅱ,Ⅲ.模型模型ⅣⅣ：：M( · , ＋＋)————加权平均模型加权平均模型bj = ∑(ai · rij) ( j = 1, 2, … , m ). . 模型模型M( · , ＋＋)对所有因素依权重大小均对所有因素依权重大小均衡兼顾衡兼顾, ,适用于考虑各因素起作用的情况适用于考虑各因素起作用的情况. .例例1. 服装评判服装评判 因素集因素集U ={ {u1( (花色花色), ), u2( (式样式样), ), u3( (耐穿程度耐穿程度), ), u4( (价格价格)})}；； 评判集评判集V ={ {v1( (很欢迎很欢迎), ), v2( (较欢迎较欢迎), ), v3( (不太欢迎不太欢迎), ), v4( (不欢迎不欢迎)}.)}. 对各因素所作的评判如下：对各因素所作的评判如下：u1 ：：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)u2 ：：(0.7, 0.2, 0.1, 0 )(0.7, 0.2, 0.1, 0 )u3 ：：( 0, 0.4, 0.5, 0.1)( 0, 0.4, 0.5, 0.1)u4 ：：(0.2, 0.3, 0.5, 0 )(0.2, 0.3, 0.5, 0 ) 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4), ,分分别用各种模型所作的评判如下：别用各种模型所作的评判如下：M(∧∧,∨∨)：： B = (0.2, 0.3, 0.4, 0.1)M( · ,∨∨)：： B = (0.14, 0.12, 0.2, 0.03)M(∧∧, ＋＋)：：B = (0.5, 0.9, 0.9, 0.2)M( · , ＋＋)：： B = (0.24, 0.33, 0.39, 0.04) 对于给定各因素权重对于给定各因素权重A = (0.4, 0.35, 0.15, 0.1), ,分别用各种模型所作的评判如下：分别用各种模型所作的评判如下：M(∧∧,∨∨)：： B = (0.35, 0.4, 0.2, 0.1)M( · ,∨∨)：： B = (0.245, 0.2, 0.08, 0.04)M(∧∧, ＋＋)：：B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2) M( · , ＋＋)：： B = (0.345, 0.36, 0.24, 0.055)例例2. ““晋升晋升””的数学模的数学模型型. . 以高校老师晋升教授为例：因素集以高校老师晋升教授为例：因素集U ={ {政治政治表现及工作态度表现及工作态度, ,教学水平教学水平, ,科研水平科研水平, ,外语水平外语水平},},评判集评判集V={ {好好, ,较好较好, ,一般一般, ,较差较差, ,差差}. }. 因素因素 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差政治表现及工作态度政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 4 2 1 0 0教学水平教学水平 6 1 0 0 0 6 1 0 0 0 科研水平科研水平 0 0 5 1 1 0 0 5 1 1 外语水平外语水平 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1  给定以教学为主的权重给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用，分别用M(∧∧,∨∨)、、 M( · , ＋＋)模型所作的评判模型所作的评判如下：如下： M(∧∧,∨∨)：： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( · , ＋＋)：： B = (0.6, 0.19, 0.13, 0.04, 0.04)模糊数学方法中权重的确定方法模糊数学方法中权重的确定方法 在模糊综合评判决策中在模糊综合评判决策中, ,权重是至关重要的权重是至关重要的, ,它反映它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用用, ,它直接影响到综合决策的结果它直接影响到综合决策的结果. . 凭经验给出的权重凭经验给出的权重, ,在一定的程度上能反映实际情况在一定的程度上能反映实际情况, ,评判的结果也比较符合实际评判的结果也比较符合实际, ,但它往往带有主观性但它往往带有主观性, ,是不是不能客观地反映实际情况能客观地反映实际情况, ,评判结果可能评判结果可能““失真失真”.”. 加权统计方法加权统计方法因素因素 uj 权权重重 aij 1频数统计方法频数统计方法 (1) (1) 对每一个因素对每一个因素uj , ,在在k个专家所给的权重个专家所给的权重aij中找出最大值中找出最大值Mj和最小值和最小值mj , ,即即Mj =max{aij|1 ≤i ≤k}, j =1, 2 , … n;mj =min{aij|1 ≤i ≤k}, j =1, 2 , … n. . (2) (2) 选取适当的正整数选取适当的正整数p, ,将因素将因素uj所对应的权所对应的权重重aij从小到大分成从小到大分成p组组, ,组距为组距为( (Mj - - mj)/)/p. . (3) (3) 计算落在每组内权重的频数与频率计算落在每组内权重的频数与频率 (4) (4) 取最大频率所在分组的组中值取最大频率所在分组的组中值( (或邻近的或邻近的值值) )作为因素作为因素uj的权重的权重. . (5) (5) 将所得的结果归一化将所得的结果归一化. .。