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第五章多速率信号处理与小波变换2024/9/241现代信号处理ch第五章 多速率信号处理与小波变换•多采（抽）样率信号处理•多分辨率信号处理2现代信号处理ch多分辨率信号处理基础多分辨率信号处理基础v Fourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v 小波变换小波变换§ FourierFourier分析局限性分析局限性§ 不相容原理（测不准原理）不相容原理（测不准原理）§ 短时短时FourierFourier变换变换3现代信号处理chFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v Fourier分析局限性分析局限性§ 特点特点 - 定义了频率概念 - 分析了信号能量在各频率成分中的分布§ 局限局限 - 只能获得信号的整体频谱特性， 不能获得信号的局部频谱特性 - 不能描述和分析非平稳信号§ 典型例子典型例子 傅立叶变换常用于进行谐波分析但当傅立叶变换结 果谐波幅度很小，甚至可能被淹没时，利用传统的傅 立叶变换就很难获得可靠的结果，为此有必要研究信 号的局部特性，故引入小波变换4现代信号处理chFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v不相容原理（测不准原理）不相容原理（测不准原理） 为为研研究究信信号号的的局局部部特特性性,即即对对信信号号加加窗窗后后再再进进行行变变换换，，如如短短时傅立叶变换时傅立叶变换(STFT) 、小波变换、、小波变换、Gabor变换变换 。

Ø 定义定义： Gx(f, t) = F{x(τ)g(τ-t)}Ø 作用作用: 将一维信号将一维信号x(t)映射为时映射为时-频平面频平面(t,f)的二维函数的二维函数Ø 不相容原理：不相容原理： 对对于于有有限限能能量量的的任任意意信信号号s(t)或或窗窗函函数数h(t)，，其其时时宽宽和和频频宽宽的的乘积总是满足下面的不等式：乘积总是满足下面的不等式： 时宽时宽-带宽乘积带宽乘积= 或或 不相容原理也称测不准原理式中的不相容原理也称测不准原理式中的 和和 分别称为时间分别称为时间分辨率和频率分辨率时间分辨率和频率分辨率分别是信号在分辨率和频率分辨率时间分辨率和频率分辨率分别是信号在两个时间点和两个频率点之间的区分能力不相容原理表明，两个时间点和两个频率点之间的区分能力不相容原理表明，时宽和带宽（即时间分辨率和频率分辨率）是一对矛盾的量，时宽和带宽（即时间分辨率和频率分辨率）是一对矛盾的量，我们不可能同时得到任意高的时间分辨率和频率分辨率。

我们不可能同时得到任意高的时间分辨率和频率分辨率现代信号处理chFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v不相容原理（测不准原理）不相容原理（测不准原理） 窗函数在非平稳信号处理中起着重要的作用：窗函数是窗函数在非平稳信号处理中起着重要的作用：窗函数是否具有高的时间分辨率和频率分辨率与待分析的信号的非否具有高的时间分辨率和频率分辨率与待分析的信号的非平稳特性相关如果我们使用冲激信号作窗函数，则相当平稳特性相关如果我们使用冲激信号作窗函数，则相当于只取非平稳信号在于只取非平稳信号在t时刻的值进行分析，时间分辨率最高，时刻的值进行分析，时间分辨率最高，但却完全丧失了频率分辨率相反，如果取单位直流信号但却完全丧失了频率分辨率相反，如果取单位直流信号作窗函数，即像作窗函数，即像Fourier变换那样取无穷长的信号进行分析，变换那样取无穷长的信号进行分析，则其频率分辨率最高，但却完全没有了时间分辨率这预则其频率分辨率最高，但却完全没有了时间分辨率这预示着，对于非平稳信号，局部变换的窗函数必须在信号的示着，对于非平稳信号，局部变换的窗函数必须在信号的时间分辨率和频率分辨率之间作适当的折中选择。

值得强时间分辨率和频率分辨率之间作适当的折中选择值得强调指出的是，对非平稳信号作加窗的局域处理，窗函数内调指出的是，对非平稳信号作加窗的局域处理，窗函数内的信号必须是基本平稳的，即窗宽必须与非平稳信号的局的信号必须是基本平稳的，即窗宽必须与非平稳信号的局部平稳性相适应因此，非平稳信号分析所能获得的频率部平稳性相适应因此，非平稳信号分析所能获得的频率分辨率与信号的分辨率与信号的“局域平稳长度局域平稳长度”有关该长度很短的非有关该长度很短的非平稳信号是不可能直接得到高的频率分辨率的平稳信号是不可能直接得到高的频率分辨率的 6现代信号处理chFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v不相容原理（测不准原理）不相容原理（测不准原理） 窗函数与局域平稳长度间的关系告诉我们，时频分析窗函数与局域平稳长度间的关系告诉我们，时频分析适合局域平稳长度比较大的非平稳信号；如局域平稳长度适合局域平稳长度比较大的非平稳信号；如局域平稳长度很小，则时频分析的效果较差这一点在进行时频信号分很小，则时频分析的效果较差这一点在进行时频信号分析时是必须注意的析时是必须注意的。

7现代信号处理chFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v短时短时FourierFourier变换变换 为为了了获获得得各各分分量量的的瞬瞬时时频频率率，，一一种种直直观观的的方方法法是是引引入入“局局部部频频谱谱”的的概概念念：：使使用用一一个个很很窄窄的的窗窗函函数数取取出出信信号号，，并并求求其其Fourier变变换换由由于于这这一一频频谱谱是是信信号号在在窗窗函函数数一一个个窄窄区区间间内内的的频频谱谱，，剔剔除除了了窗窗函函数数以以外外的的信信号号频频谱谱，，故故称称其其为为信信号号的的局局部部频频谱谱是是合合适适的的使使用用窄窄窗窗函函数数的的Fourier变变换换习习惯惯称称为短时为短时Fourier变换 Ø 含义含义 - 把把STFT看作是加窗付氏变换看作是加窗付氏变换;在时刻在时刻t, 计算其计算其“所有频率所有频率”分量分量 - 将将STFT看作频率为看作频率为f的的BPF;在频率在频率f, 在在“所有时间所有时间” 对信号滤波对信号滤波Ø 优缺点优缺点 - 优点优点：研究信号的局部特性研究信号的局部特性 - 缺点缺点：局部分辨率都一样局部分辨率都一样;时间频率分辨率相矛盾时间频率分辨率相矛盾(测不准测不准) - 原因原因：使用单一的窗口使用单一的窗口(基函数基函数)，即基函数不变，即基函数不变8现代信号处理ch小波变换小波变换v 小波变换的相关概念小波变换的相关概念§ 小波变换的引入小波变换的引入 为了为克服STFT的缺点，我们希望构造“可变”基函数, 即 构造构造: - 持续时间很短的高频基函数 - 持续时间很长的低频基函数 做到：做到： - 在高频区，频率窗口很宽，而时间窗口很窄； - 在低频区，频率窗口很窄，而时间窗口很宽。

这时，在时频平面不同位置应该具有不同的分辨率，即它应该是一种多分辨率分析方法小波变换就是这样一种多分辨率分析方法 9现代信号处理ch小波变换小波变换v 小波变换的相关概念小波变换的相关概念§ 小波基函数小波基函数 在小波变换中，小波基函数由某函数伸缩平移得到在小波变换中，小波基函数由某函数伸缩平移得到： 式中式中 a为标度因子为标度因子(scaling factor) h(t) —— 小波母函数，简称母函数小波母函数，简称母函数 ha,b(t)—— 小波基函数，简称基函数小波基函数，简称基函数易见易见，基函数与标度因子有着密切关系：，基函数与标度因子有着密切关系：- 对于大的对于大的a, 基函数是母函数的展宽型，是一低频函数基函数是母函数的展宽型，是一低频函数- 对于小的对于小的a, 基函数是母函数的缩小型，是一高频函数基函数是母函数的缩小型，是一高频函数10现代信号处理ch小波变换小波变换v 小波变换的相关概念小波变换的相关概念§ 小波变换小波变换(WT)的定义的定义 用小波基用小波基ha,b(t)取代富氏变换中的复指数基，即构成取代富氏变换中的复指数基，即构成WT 如图所示。

由图看见，如图所示由图看见，WT的时的时-频分辨率是变化的，即频分辨率是变化的，即Ø在高频区在高频区，，WT的持续时间较短的持续时间较短Ø在低频区在低频区，，WT的频率宽度较窄的频率宽度较窄Ø在中频区在中频区，，WT与与STFT具有相同的时具有相同的时-频分辨率频分辨率11现代信号处理ch12现代信号处理ch13小波变换小波变换n 波变换波变换 傅立叶变换（正弦波）、沃尔什变换（方波）傅立叶变换（正弦波）、沃尔什变换（方波）n 窗口变换窗口变换 短时傅立叶变换短时傅立叶变换 波变换和窗口变换都是固定基的变换波变换和窗口变换都是固定基的变换n 小波变换小波变换（任意）（任意） 具有可变化的时间分辨率和频率分辨率具有可变化的时间分辨率和频率分辨率v 如何理解小波变换如何理解小波变换现代信号处理ch14小波变换小波变换v 预备知识预备知识§ 小波变换定义的进一步讨论小波变换定义的进一步讨论 为便于后面讨论，将小波变换定义式写为为便于后面讨论，将小波变换定义式写为 其中小波基函数为其母函数的伸缩平移：其中小波基函数为其母函数的伸缩平移：式中标度因子式中标度因子a的大小直接关系母波的展宽和缩小的大小直接关系母波的展宽和缩小现代信号处理ch15小波变换小波变换v 预备知识（续）预备知识（续）如令 则上式变为 或式中 - 2m 是t的标度因子 - 2-mn是t的平移 - 2m/2 是归一化因子，以保证现代信号处理ch16小波变换小波变换v消失矩消失矩  一般要求小波具有一般要求小波具有消失矩消失矩性质：性质：当k=0时, 有（容许条件式） 这表明这表明 是一个迅速衰减的波是一个迅速衰减的波, 由此将由此将Wavelets译为小波译为小波, 以强调其波幅小的一面以强调其波幅小的一面; 其实具有消失矩性质的波不一定其实具有消失矩性质的波不一定 是幅值很小的波是幅值很小的波, 而是持续时间很短的波而是持续时间很短的波, 因此因此, 有人认为，有人认为， 子波比小波更符合子波比小波更符合“Wavelets”一词的含义。

一词的含义现代信号处理ch小波变换小波变换v STFT与与WT的比较的比较Ø 共同点共同点：：STFT 与与WT都可解释为：对每一分析频率都可解释为：对每一分析频率f，用，用 中心频率为中心频率为f 的带通滤波器的带通滤波器(组组)对信号对信号x(t)滤波的结果滤波的结果Ø 不同点不同点 - 在在STFT中中,带宽带宽Δf 与中心频率与中心频率f 无关无关,Δf =c (带宽恒定带宽恒定) - 在在WT中中,带宽带宽Δf 与中心频率与中心频率f 有关有关,Δf/f =c (相对带宽恒定相对带宽恒定)17现代信号处理ch。