2020-2021学年辽宁省鞍山市韭菜台中学高三数学理月考试题含解析.docx

2020-2021学年辽宁省鞍山市韭菜台中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 己知函数在（0，1）上为减函数，函数的（1，2）上为增函数，则a的值等于 A．1 B．2 C． D．0参考答案：B2. 设集合，，在集合（    ）． A． B． C． D．参考答案：B或，，∴，故选．3. 已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于(  )   A、          B、           C、       D、  参考答案：D4. 平面上画了一些彼此相距的平行线，把一枚半径的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平行线相碰的概率是                               （    ）                  参考答案：A5. 已知全集U=N，集合，，则（A）               （B）               （C）               （D）参考答案：D略6. 集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x∈Z|x2﹣5x＜0}，则A∩B=（　　）A．{1，2} B．{2，3} C．{1，2，3} D．{2，3，4}参考答案：A【考点】交集及其运算．【分析】由一元二次不等式的解法求出集合B，由交集的运算求出A∩B．【解答】解：∵集合B={x∈Z|x2﹣5x＜0}={x∈Z|0＜x＜5}={1，2，3，4}，且集合A={x|﹣2＜x＜3}，∴A∩B={1，2}，故选A．7. 若集合，全集U=R，则=（     ）A．B．  C．  D．参考答案：A8. 下列函数中，周期为，且在上为减函数的是  （   ）  A.               B.   C.                D. 参考答案：A略9. 已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（　　）A． B．1 C．2 D．参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系． 【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可． 【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上， 又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直， 所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行， 所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2． 故选C． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．10. 已知函数，若函数的图像上点P（1，m）处的切线方程为，则m的值为（    ）A．          B．             C．－            D．－参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 等边△ABC的边长为2，D,E分别为BC,CA的中点，则=            .参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．解析：由于D，E分别为边BC，CA的中点，则=（+），=（+），则?=（+）?（+）=（﹣﹣﹣+）=×（﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×）=．故答案为：．【思路点拨】运用中点的向量表示形式，结合向量的数量积的定义和性质，计算即可得到所求值． 12. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为_________;参考答案：13. 已知A，B，C三点在球O的表面上，，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为____.参考答案：6π【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】解：设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，∴得r2r2＝，得r2．球的表面积S＝4πr2＝4ππ．故答案为：．【点睛】本题考查球O的表面积，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，是中档题．14. 若有穷数列满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列{an}是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列{an}有          个．参考答案：4设，由题意知，，，.∵数列各项都为正整数，∴，则满足条件的数列有4个.15. 设满足约束条件，  则的取值范围为________．参考答案：16. 经过圆的圆心，并且与直线垂直的直线方程是        ．参考答案：试题分析：由题设可知圆心的坐标为,所求直线的斜率为,则所求直线的方程为,即.考点：直线与圆的方程．17. 已知函数图象关于原点对称.则实数的值为          ．参考答案：±2三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，SD=DC=2AD，侧棱SD⊥底面ABCD，点E是SC的中点，点F在SB上，且EF⊥SB．（1）求证：SA∥平面BDE；（2）求证SB⊥平面DEF；（3）求二面角C﹣SB﹣D的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】数形结合；空间角；立体几何．【分析】（1）连接AC交BD于点O，连接OE．然后利用三角形中位线的性质可得OE∥SA，再由线面平行的判定定理证得SA∥平面BDE；（2）由SD=DC，E是SC的中点可得DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性质得到BC⊥平面SDC，从而得到BC⊥DE，进一步得到SB⊥DE，结合已知EF⊥SB，由线面垂直的判定得结论；（3）根据二面角的定义得到∠EFD是二面角C﹣SB﹣D的平面角，根据三角形的边角关系进行求解即可．【解答】（1）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接OE．∵点O、E分别为AC、SC的中点，∴OE∥SA，又OE?平面BDE，SA?平面BDE，∴SA∥平面BDE；（2）证明：∵SD=DC，E是SC的中点，∴DE⊥SC，又SD⊥底面ABCD，∴平面SDC⊥平面ABCD，∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥DE，又SC∩BC=C，∴DE⊥平面SBC，又SB?平面SBC，∴SB⊥DE，又EF⊥SB，EF∩ED=E，∴SB⊥平面EFD；（3）∵EF⊥SB，SB⊥平面EFD，∴∠EFD是二面角C﹣SB﹣D的平面角，设AD=1，则SD=CD=2，则SC=2，SB==3，BD===，DE=，在三角形SDB中，SB?DF=SD?BD，即DF===，在三角形SBC中，sinCSB=，即EF=SE=，在三角形DEF中，cosEFD=====，即二面角C﹣SB﹣D的余弦值是．【点评】本题综合考查空间中线线、线面的位置关系和空间中角的计算，涉及二面角的平面角，传统方法和坐标向量法均可，考查的知识面较广，综合性较强，运算量较大．19. （本小题共14分）如图，四边形是正方形，平面，//，，，为的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：//平面；（Ⅲ）求二面角的大小． 参考答案：（Ⅰ）证明：依题意，平面．　如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系．                                          ……2分依题意，可得，，，，，，．　因为，，所以．                                 　……5分所以.                                                 ……6分（Ⅱ）证明：取的中点，连接．因为，，，所以，所以．                                                ……8分又因为平面，平面，所以平面．                                           ……9分（Ⅲ）解：因为，，，所以平面，故为平面的一个法向量．……10分设平面的法向量为，因为，，所以 即令，得，，故．               ……12分所以，                          ……13分所以二面角的大小为．                           ……14分 20. 已知函数f（x）=|x+1|+|m﹣x|（其中m∈R）．（1）当m=2时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若不等式f（x）≥6对任意实数x恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】R5：绝对值不等式的解法；3R：函数恒成立问题．【分析】（1）当m=2时，f（x）≥6，即|x﹣2|+|x+1|≥6，通过讨论x的范围，从而求得不等式f（x）≥6的解集；（2）由绝对值不等式的性质求得f（x）的最小值为|m+1|，由题意得|m+1|≥6，由此求得m的范围．【解答】解：（1）m=2时，f（x）≥6，即|x﹣2|+|x+1|≥6，x＜﹣1时，﹣2x+1≥6，即x≤﹣，故x≤﹣，﹣1≤x≤2时，得：3≥6不成立，x＞2时，得：2x﹣1≥6，即x≥，故x≥，故不等式的解集是{x|或x≤﹣x≥}；（2）f（x）=|x+1|+|m﹣x|≥|（x+1）+（m﹣x）|=|m+1|，由题意得|m+1|≥6，则m+1≥6或m+1≤﹣6，解得：m≥5或m≤﹣7，故m的范围是（﹣∞，﹣7]∪[5，+∞）．21. （14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，CD=，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC?面ABCD，所以BC⊥PD．因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥DC．PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．DE?面PDC，DE⊥BC，在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，其中，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．设，则．DF⊥PB得，解得．所以．设平面FDA的法向量，。