双曲线性质92条及其证明.doc

1. PF1 PF2 2a2x2.标准方程 2a2 y b2双曲线PF13.d1e14．点 P处的切线 PT平分△ PF1F2在点 P处的内角 .5．PT 平分△ PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 6．以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .7．以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切 .8．设 P 为双曲线上一点，则△ PF1F2的内切圆必切于与 P在同侧的顶点 .2x9．双曲线 2aPT 上的射影 H 点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点2y22 1 b2 12 交点的轨迹方程是 x2 a2a> 0,b >0)的两个顶点为 A1( a,0) , A2 (a ,0) ，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1与 A2P22by22 1.10．若 P0(x0,y0 )在双曲线11．若 P0(x0,y0) 在双曲线2x2a2x2a2y x0x2 1 (a>0,b>0)上，则过 P0的双曲线的切线方程是 02b a22y2 1(a>0,b>0)外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 b2y0y 1. b2 1.P1、P2，则切点弦 P1P2 的直x0xy0yb22xAB 是双曲线 2a2线方程是 2a212．13．1.2 y b2a> 0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦， M 为 AB 的中点，则 kOM14．15．16．P0(x0,y0 )在双曲线P0(x0,y0 )在双曲线2xPQ 是双曲线 2a2x若 双曲线 2ab12 A217．给定双曲线2 y b22B2 ;(2) L22C1：b2x22x2a2x2a2yb22by22 12y22 1b2 11(b> aa>0,b> 0)内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是a>0,b> 0)内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是>0)上对中心张直角的弦，则b> a >0)上中心 张直角2 a4A2 b4B22 2 2 2 |a2A2 b2B2 |2 2 2 2a y a b ( a> b> 0),22C2 ：b2x222abC2 上一定点 M ( 2 2 x0, a2 b2(ii) 对 C2 上任一点 P (x0 , y0 ) 在 C1 上存在唯一的点 M x2 y218．设 P(x0, y0) 为双曲线 x2 y2 1 ab它的任一直角弦必须经过直线 P1P2 通过定点M (mx0, my0) (m的弦22 ay2x19．过双曲线 2a有定向且 kBCb2b2x01( a> 0,b >o)12r1x0x2a2x2 a b12 (r1 b2 y b2y0yb2x0xa2|OP|,r2L 所在直 线方 程为 Ax By 12(aa2a2 x02ay0yb22x20．双曲线 2a2a2y02 y22 1 b2 1常数) .a> 0,b> o)角形的面积为 SF1PF2b2cot2，P(b2 a2. y02 .b2 .|OQ|) .(AB0) ,则 (1)b2 ab)2 ,则(i)对 C1上任意给定的点 b22ab22ab,使得 M '的任一直角弦都经过 P' 点.y0).a>0,b>0)上一点， P1P2为曲线 C的动弦,且弦 PP1, PP2斜率存在，记为1) 的充要条件是 k1 k21 m b21 m a2 .上任一点 A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P 为双曲线上任意一点F1PF2P(x0,y0) ,k1, k 2, 则则直线 BC，则双曲线的焦点a c2 b2cot2 , b2 cot ) .c 2 c 22221．若 P为双曲线 a2 b21（ a> 0,b > 0）右（或左）支上除顶点外的任一点 ,F1, F 2是焦点 ,PF1F2PF2F1 ，c a tan cot ) . c a 2 2则 c a tan cot （或 c a 2 2 22 22．双曲线 x2 y2 1 ab 当 M （x0,y0） 在右支上时， 当 M （x0,y0） 在左支上时，22 23．若双曲线 2 2a2 b2a>0,b> o）的焦半径公式： F1（ c,0）| MF1| ex0 a,|MF2 | ex0 a. | MF1 | ex0 a ,| MF2 | ex0 a.1（ a> 0,b > 0）的左、右焦点分别为F1、一点 P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d1与 PF2的比例中项 .x2 y224．P 为双曲线 2 2 1（a>0,b>0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， a2 b2 当且仅当 A,F2,P 三点共线且22 双 曲 线 x2 y2 1 ab 2 2 2 （a22 b22）22 k 0且k a2 b2k2P 在左支时，等号成立 ., F2(c,0)F2，左准线为 L ，则当 10,b>0）上存在两点关于直线 l ： y k（x x0） 对称的充要条件是过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直x asecP 是双曲线y btanx2设 A,B 为双曲线 2aa> 0，b>0）上一点，则点 P对双曲线两焦点张直角的充要条件是2 y2 k （a>0,b>0， k 0,k 1 ）上两点， b2其直线 AB 与双曲线2x2aAP BQ .30．2x在双曲线 2 a221 x222a2 y b2 2 y b21 中，定长为 2m（ m 0 ）的弦中点轨迹方程为a2 cosh2 t b2sinh2t ,coth tabyx,x0时t0，弦两端点在两支上31．12yb21tan21相交于 P,Q ,则22 xy a2 b2设 S 为双曲线是 AB 中点，则当2x32．双曲线 2a233 ． 双 曲 线A2a2 B2b234．设双曲线F1PF22x2a2yb2(x2 2 2 2a2 sinh2 t b2 cosh2 t ，cothtbx,y ay0时t0，弦两端点在同支上2by2 1（a>0,b>0）的通径，定长线段S时，有 (x0 )minac2 2le (c2c 2e的两端点 A,B 在双曲线右支上移动，2cb ,e );当 l S时，有 (x0)mina记 |AB|= l ，M (x0 , y0)2ab 4b2 l21（ a>0,b > 0）与直线 Ax Byx0)2 (y y0)222ab2 (Ax0 By0 C) .22x22 y22 122 ab1 ( a > 0,b>0PF1F2|P1A1| |P2A2 |22 xy a2 b2 b2.a> 0,b> 0）的两个焦点为F1、, F1F2Psin0 有公共点的充要条件是 A2a2) 与 直 线 Ax By C 0 有B2b2 C 2 .公共点的充要条件是F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△，则有(sin sin )ce. a1 （ a> 0,b>0）的实轴的两端点 A1 和 A 2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于PF1F2 中，记P1 和 P2，则2236．已知双曲线 a2 b21（b>a>0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点， 且OP OQ（. 1） 1 2 |OP|21 1 1 ;2 2 2 ; |OQ |2 a2 b22）|OP|2+|OQ|2 的最小值为4a2b2 a2b24a b 2 ;（3） S OPQ 的最小值是 a2 bab2 x 37．MN 是经过双曲线 2a|.2x 2a12. a2弦，则 | AB|2 2a|MN38．MN是经过双曲线12 |OP|2 x2 39．设双曲线 2 a2a|MN |1b22yb2b22yb2a21（a> 0,b> 0）过焦点的任一弦（交于两支 ），若 AB 是经过双曲线中心O 且平行于 MN 的2 y b21 （ a> b> 0）焦点的任一弦（ 交于同支 ），若过双曲线中心O 的半弦 OP MN ，则1（ a> 0,b>0）,M（m,o） 为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过M 引一条直线与双曲线相2 a A 1P、A 2Q（A 1 ,A2为两顶点）的交点 N在直线 l：x 上.m 40．设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交 P、Q两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MF⊥ NF.交于 P、Q 两点，则直线AP 和 AQ 分别交相应于焦点41．过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则42．设双曲线方程MF ⊥ NF.2x2a2 y b21,则斜率为 k（k ≠ 0的）平行弦的中点必在直线 l ： y kx 的共轭直线 y' ' b2k x 上 ,而且 kk 2 .a243．设 A、 B 、C、D 为双曲线2by22 1相交于 P,且 P 不在双曲线上2x2 a |PA| |PB|a>0,b>o）上四点 ,AB 、CD 所在直线的倾斜角分别为，直线 AB 与 CD,则|PC| |PD |2 2 2 2b cos a sin2 2 2 2b cos a sin。