二次函数知识点总结及典型例题和练习极好.doc

二次函数知识点总结及典型例题和练习〔极好〕知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数叫做二次函数的一般式2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点3、二次函数图像的画法--------五点作图法：〔1〕先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴〔2〕求抛物线与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图如果需要画出比拟准确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像例1】函数y=x2-2x-3，〔1〕写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点然后画出函数图象的草图；〔2〕求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：〔3〕根据第〔1〕题的图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0知识点二：二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：〔1〕一般式：〔2〕交点式：当抛物线与x轴有交点时，即对应的一元二次方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。

如果没有交点，那么不能这样表示〔3〕顶点式：当题目中告诉我们抛物线的顶点时，我们最好设顶点式，这样最简洁例1】抛物线与x轴交于A〔1，0〕，B〔3，0〕两点，且过〔-1，16〕，求抛物线的解析式例2】如图，抛物线与x轴的一个交点A在点〔-2，0〕和〔-1，0〕之间〔包括这两点〕，顶点C是矩形DEFG上〔包括边界和部〕的一个动点，那么：〔1〕abc0 〔＞或＜或=〕〔2〕a的取值围是【例3】以下二次函数中，图象以直线x = 2为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )A．y = (x − 2)2 + 1 B．y = (x + 2)2 + 1 C．y = (x − 2)2 − 3 D．y = (x + 2)2 – 3知识点三：二次函数的最值如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值〔或最小值〕，即当时，如果自变量的取值围是，那么，首先要看是否在自变量取值围，假设在此围，那么当x=时，；假设不在此围，那么需要考虑函数在围的增减性，如果在此围，y随x的增大而增大，那么当时，，当时，；如果在此围，y随x的增大而减小，那么当时，，当时，。

OO-1OxOy1323【例1】二次函数的图像〔0≤x≤3〕如下图,关于该函数在所给自变量取值围,以下说确的是( )A．有最小值0，有最大值3 B．有最小值－1,有最大值0C．有最小值－1,有最大值3 D．有最小值－1,无最大值【例2】某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．〔1〕设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值围；〔2〕设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；〔3〕一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大" 最大利润是多少元"知识点四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a>0a<0 y 0 x y 0 x 性质〔1〕抛物线开口向上，并向上无限延伸；〔2〕对称轴是x=，顶点坐标是〔，〕；〔3〕在对称轴的左侧，即当x≤时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x≥时，y随x的增大而增大，简记左减右增；〔4〕抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，〔1〕抛物线开口向下，并向下无限延伸；〔2〕对称轴是x=，顶点坐标是〔，〕；〔3〕在对称轴的左侧，即当x≤时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x≥时，y随x的增大而减小，简记左增右减；〔4〕抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：>0时，抛物线开口向上<0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：〔0，〕3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点横坐标。

因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点例1】抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是. 【例2】二次函数有( )A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值【例3】由二次函数，可知〔〕A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大【例4】函数的图象与x轴有交点，那么k的取值围是( )A. B. C.且 D.且【例5】以下函数中,当x>0时y值随x值增大而减小的是〔〕．A．y = x2 B．y = x－１ C．y = x D．y = 【例6】假设二次函数．当≤l时，随的增大而减小，那么的取值围是〔〕 A．=l B．>l C．≥l D．≤l知识点五、二次函数图象的平移①对于抛物线y=ax2+bx+c的平移通常先将一般式转化成顶点式，再遵循左加右减，上加下减的的原那么化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法在用顶点坐标公式法求出顶点坐标后，在写顶点式时，要减去顶点的横坐标，加上顶点的纵坐标。

②沿轴平移：向上〔下〕平移〔m＞0〕个单位，变成〔或〕③当然，对于抛物线的一般式平移时，也可以不把它化为顶点式：向左〔右〕平移〔m＞0〕个单位，变成〔或〕【例1】将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A． B． C． D．【例2】将抛物线y=x2－2x向上平移3个单位,再向右平移4个单位等到的抛物线是_______.【例3】抛物线可以由抛物线平移得到,那么以下平移过程正确的选项是( )A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位【补】抛物线y=2x2-3x-7在x轴上截得的线段的长度为______________【公式】抛物线y=ax2+bx+c在x轴上截得的线段的长度为______________知识点六：抛物线中， a、b、c的作用〔1〕决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.〔2〕和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②〔即、同号〕时，对称轴在轴左侧；③〔即、异号〕时，对称轴在轴右侧.口诀---左同，右异〔a、b同号，对称轴在y轴左侧〕〔3〕的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点〔0，〕：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，那么.【例1】如图为抛物线的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，那么以下关系中正确的选项是( ) A．a＋b=－1 B．a－b=－1 C．b<2aD．ac<0 【例2】抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如下图，那么以下结论中正确的选项是( )A．a>0 B．b＜0 C．c＜0 D．a＋b＋c>0【例3】如下图的二次函数的图象中，星同学观察得出了下面四条信息：〔1〕；〔2〕c>1；〔3〕2a－b<0；〔4〕a+b+c<0。

你认为其中错误的有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．1个【例4】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为，以下结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac－b2=4a；④a+b+c＜0.其中正确的个数是〔〕 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例5】如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕的图象的一局部，给出以下命题：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．其中正确的命题是．〔只要求填写正确命题的序号〕【例6】如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有一样的对称轴，那么以下关系正确的选项是〔〕A．m＝n，k＞h B．m＝n ，k＜h C．m＞n，k＝h D．m＜n，k＝h知识点七：中考二次函数压轴题中常用到的公式APBO1、两点间距离公式：如图：点A坐标为〔x1，y1〕，点B坐标为〔x2，y2〕，那么AB间的距离，即线段AB的长度为〔这实际上是根据勾股定理得出来的〕2、中点坐标公式：如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，，中点的坐标为．由，得，同理，所以的中点坐标为．3、两平行直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1=k2，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它平行的另一条直线的k值。

4、两垂直直线的解析式分别为：y=k1x+b1，y=k2x+b2，那么k1×k2=-1，也就是说当我们知道一条直线的k值，就一定能知道与它垂直的另一条直线的k值〔对于这一条，只要能灵活运用就行，不需要理解〕以上四条，我称它们为坐标系中的"四大金刚〞【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．〔1〕求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；〔2〕点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；假设不存在，请说明理由．〔3〕请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．【例2】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A〔﹣1，0〕，C〔2，3〕两点，与y轴交于点N．其顶点为D．〔1〕求抛物线及直线AC的函数关系式；〔2〕设点M〔3，m〕，求使MN+MD的值最小时m的值；〔3〕假设抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？假设能，求点E的坐标；假设不能，请说明理由；〔4〕假设P是抛物线上位于直线AC上方的。