高等数学教学教案（共66单元）31定积分概念.doc

教 案任课教师： NO:序号1授课日期学生年限班级项目（章节）§5.1 定积分的概念授课时数2教学目标与要求1. 理解定积分的概念2. 掌握定积分的几何意义教学难点与重点难点：定积分概念的理解重点：定积分的概念和几何意义授课方法引入法、讲练结合作 业P128:2、3、5教 学 内 容 及 过 程时间分配一、课程引入—两个实例1.曲边梯形的面积曲边梯形的定义：由闭区间上的连续曲线，直线，及轴围成的图形abxyo如图所示，求闭区间上曲边梯形的面积？分析：用平行于y轴的直线将大曲边梯形分成若干个小曲边梯形，在每个小曲边梯形上用一个小矩形近似，从而得到曲边梯形面积的近似值无线细分，得到曲边梯形面积的精确值步骤：1)分割：在区间内任意插入个分点把区间分成个小区间，长度分别记为：，把曲边梯形分成了个小曲边梯形，面积分别记为： ，则整个曲边梯形面积2)取近似：在 上任取一点，以为高，为底做一个小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，即： 3)求和：把个小矩形的面积相加，就是整个曲边梯形面积的近似值，即：4)取极限：当分点个数无限增多且所有小区间长度的最大值趋于零时，上述和式的极限就是曲边梯形面积的精确值，即：。

2.变速直线运动的路程问题：设一质点做直线运动，其速度为连续函数，求该质点在时间段上所经过的路程分析：已知可计算匀速运动路程当t变化很小时，速度v(t)的变化也很小，可近似看作匀速步骤：1）分割：在时间段内任意插入个分点把分成个小时间段，，…，.这些小时间段的长度分别记为：，则相应的路程就被分为个小路程段，且2）求近似：在每个小时间段上任取一个时刻，用时刻的瞬时速度近似代替在小时间段上的速度，就是质点在小时间段上所经过路程的近似值，即3）求和：把个小时间段上所有的近似值都加起来，就得到质点在时段上所经过路程的近似值，即4）取极限：当分点个数无限增多且所有小时间段长度的最大值趋于零时，上述和式的极限就是路程的精确值，即二、课程内容1.定积分的概念设函数在区间上有定义，在上任取分点，把区间分成分成个小区间，各个小区间的长度分别记为：；在每个小区间上任取一点，做乘积；把这样的个乘积求和；如果当无限增大且所有小区间长度的最大值趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分，记为，即：，此时称函数在区间上可积为被积函数，称为积分区间，称为积分变量，称为被积表达式，与分别称为积分上限和积分下限。

说明：（1）两个任意选取；（2）函数在区间上的定积分是一个确定的常数，只与被积函数及积分区间有关，与积分变量用什么字母无关；（3）一般地，积分下限小于积分上限，若，则规定，特殊地，当时，；（4）前面两个实例：，2.定积分的几何意义1），，则2），，则3）在上有正有负时，表示轴上、下各部分面积的代数和3.定积分的性质性质1：被积函数的常数因子可以提到积分号的外面，即 （为常数）性质2：两个函数和（差）的定积分等于它们定积分的和（差），即性质3：（定积分对区间的可加性）如果把积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上的定积分之和，即时，有性质4：若在上连续，且时，有性质5：（定积分中值定理）如果函数在上连续，则至少存在一点，使下式或4．课堂练习例1：用定积分表示图中阴影部分的面积 分析：利用定积分的几何意义求解上题例2：利用定积分的几何意义，求下列定积分的值1）； （2）； （3）； （4）分析：根据定积分几何意义，先画出图形，再面积5.课堂小结本节课以概念讲解为主，两个引例求解过程较为复杂，学生听起来会比较累。

在教学中要尽量降低难度，用通俗易懂的语言阐述，鼓励学生集中注意力另外多做练习巩固定积分的几何意义，可通过作图求面积或给图列式子等不同方式反复强化6.作业本节课作业分两部分：1）仔细阅读课文，进一步理解两个引例的求解思路、理解定积分的概念2）书面作业P128：2、3、520分钟15分钟15分钟20分钟10分钟20分钟教学反思板 书 设 计§5.1 定积分的概念一、 课程引入 二、课程内容 引例1 曲边梯形的面积 0 1.定积分的概念（难、重点）步骤:1)分割 2.定积分的几何意义（重点） 2)取近似 3.定积分的性质 3)求和 4.课堂练习 4)取极限 例1引例2 变速直线运动的路程0 例2步骤:1)分割 5.课堂小结 2)取近似 6.作业 3)求和 4)取极限。