cumt材料力学平面图形的几何性质幻灯片.ppt

附录Ⅰ 平面图形的几何性质,基本内容：,（1）静矩和形心,（2）惯性矩和惯性半径,（3）惯性积,（4）平行移轴公式,（5）转轴公式，主惯性轴,§I-1 静矩和形心,一、静矩,定义：,,—— 称为图形对坐标轴 z（或 y）的静矩,也 称为面积矩、或图形对坐标的一次矩静矩概念要点：,,(1) 静矩是对某个具体坐标轴而言的；,(2) 静矩为代数量，可以正值，也可以负值；,(3) 量纲：m3 二、静矩与面积形心的关系,形心C 坐标：,,静矩的实用计算公式：,,（1）若图形对某轴( z )的静矩等于零，则该轴( z )必过图形的形心；,（2）若某轴(z )过图形的形心，则图形对该轴(z )的静矩必为零即：,,静矩的性质：,三、组合图形的静矩与形心,1. 静矩,设：,其形心坐标为：,,由静矩的定义，有,即：,,静矩,,2. 形心,,例：计算由抛物线、y 轴和 z 轴所围成的平面图形对 y轴和 z 轴的静矩，并确定图形的形心坐标解：,形心坐标为：,例：确定图示图形形心 C 的位置解：,例：求图示阴影部分的面积对 y 轴的静矩解：,例：,杆件的横截面为工字形，选定如图所示坐标系试计算截面上画阴影线的部分对 z 轴的静矩。

解：,将阴影线部分分成两部分：Ⅰ和Ⅱ,—— 视为Ⅰ和Ⅱ的组合图形,矩形Ⅰ：,矩形Ⅱ ：,解：,由组合图形静矩的计算公式 ：,§I-2 惯性矩和惯性半径,一、惯性矩,定义：,,—— 称为图形对轴 z (或 y)的惯性矩,也称为图形对轴 z (或 y)的二次矩,惯性矩：,,(1) 是对某个具体坐标轴而言的；,(2) 是一个恒正的标量；,(3) 量纲：m4,二、惯性半径,将惯性矩表示成：平面图形面积A与某一长度平方的乘积，即,,或,,iz，iy ——分别称为平面图形关于轴 z 和轴y 的惯性半径三、极惯性矩,定义：,平面图形对某点 O 的二次矩，称为图形对该点的极惯性矩说明：,,(1) 是对某个点（或坐标原点）O 而言的；,(2) 是一个恒正的标量；,(3) 量纲：m4,(4) 与对坐标轴的惯性矩的关系：,四、组合图形惯性矩,例：求图示矩形对对称轴 y、z 的惯性矩解：,例：求图示圆平面对 y、z 轴的惯性矩解：,同理，对于空心圆截面：,§I-3 惯性积,1.定义：,—— 称为图形对轴 z 、 y 的惯性积,惯性积：,,(1) 是对某一对正交坐标轴(y、z)而言的；,(2) 是代数量；,(3) 量纲：m4,2.性质：,若在 y、z 轴中，有一个轴为图形的对称轴，则必有,几个主要定义:,(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。

2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴 的惯性积 ，则坐标轴 称为主惯性轴因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的主惯性轴可以证明：任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩问题：,推导：,由惯性矩的定义,代入:,,,,§Ⅰ- 4 平行移轴公式,平行轴定理：截面对于任一坐标轴的惯性矩，等于对其平行形心轴的惯性矩，加上截面面积与两轴间距离平方之乘积说明：,(1),必须是过形心轴的量;,(2),式中a 、b 为坐标，有正负;,例4：,试计算截面的形心主惯性矩解：,（1）确定形心及形心主惯性轴由于y、 z为对称轴，故y、z都为形心主惯性轴2）计算三部分对形心主惯性轴的形心惯性矩3）计算组合图形的形心惯性矩例5：试计算T形截面对形心轴的惯性矩解：,（1）确定形心轴的位置故yc、z为形心轴2）利用平行移轴定理，分别计算两矩形对形心轴的惯性矩3）计算整个图形对形心轴的惯性矩120,,,,,20,,,,,20,,,120,以zc1y为参考坐标系,解：,例：求图示平面图形对 y 轴的惯性矩 。

问题：,考察在新旧两种坐标下惯性矩、惯性积的关系，寻找主惯性轴a),(b),对旧坐标：,对新坐标：,新旧坐标变换式：,,(c),将(c)中的z1代入(b) 的第一式，有,§I-5 转轴公式 主惯性轴,新旧坐标变换式：,,(c),将(c)中的z1代入(b) 的第一式，有,,转轴公式：,主惯性轴方位,设正交坐标轴 是主惯性轴，其方位角为 , 则,,,主惯性轴方位：,或简写成：,主惯性矩公式：,求形心主惯性轴的位置及形心主惯性矩大小的步骤：,(1) 找出形心位置；,(3) 求 例：求图示平面图形形心主惯性轴的方位及形心主惯性矩的大小解：将原图形分成上、中、下三个矩形 过形心 C建立参考坐标系 yCz由,得形心主惯性轴的方位角 或,形心主惯性矩大小为,。