高数二知识点汇总.docx

专科起点升本科高等数学〔:〕知识点汇总常用知识点:、常见函数的定义域总结如下:、ykxb一，一、一〔1〕2一般形式的定义域：xCRyaxbxck〔2〕y—分式形式的7E义域：xW0x〔3〕yxx根式的形式定义域：x>0〔4〕ylogax对数形式的定义域：x>0二、函数的性质1、函数的单调性当x1*2时，恒有f(x1)f(x2),f(x)在x1,x2所在的区间上是增加的当x〔x2时，恒有f(x1)f(x2),f(x)在X,x2所在的区间上是减少的2、函数的奇偶性定义：设函数yf(x)的定义区间D关于坐标原点对称〔即假设xD,那么有x⑴偶函数f(x)——xD,恒有f(x)f(x)2)奇函数f(x)——xD,恒有f(x)f(x)三、根本初等函数1、常数函数：yc,定义域是(，)，图形是一条平行于x轴的直线2、哥函数：yxu,(u是常数)它的定义域随着u的不同而不同图形过原点3、指数函数定义：yf(x)ax,(a是常数且a0,a1).图形过〔0,1〕点4、对数函数定义：y f (x) loga x,(a是常数且0 , a 1)图形过〔1,0〕点5、三角函数正弦函数：ysinx(2)(4)D(f)余弦函数：yD(f)正切函数：yD(f)余切函数：yD(f)cosx.tan x.{x|xcotx.{x|x),),R,xR,xf(D)f(D)(2kk ,k1,1]。

1,1]1)2,kZ}，f(D)).Z},f(D)).5、反三角函数(2)(4)反正弦函数：y反余弦函数：y反正切函数：y反余切函数：yarcsin x,arccosx,arctanx ,arccotx,D(f)D(f)D(f)D(f)1,1],1,1],f(D)f(D)[0,)，f(D)),f(D)一,一)2 2(0,)一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值’’因此遇到大局部简单题目的时候，可以直接代入进展极限的求解2、传统求极限的方法〔1〕利用极限的四那么运算法那么求极限〔2〕利用等价无穷小量代换求极限〔3〕利用两个重要极限求极限〔4〕利用罗比达法那么就极限函数极限的四那么运算法那么设limuA,limvB,那么xx〔1〕lim(uv)limulimvABxxx〔2〕lim(uv)limulimvAB.xxx推论[a)[im(Cv)Climv,(C为常数)〔b〕limun(limu)nxxulimuA〔3〕limux——一，(B0).xvlimvBxan,那么limx xoP(x) P(xo)〔5〕设P(x),Q(x)均为多项式,且 Q(x)0,那么limx xoP(x)Q(x)P(xo)Q(xo)〔4〕设P(x)为多项式P(x)aoxna1xn1三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当x0时，sinx~x,tanx~x,arctanx~x,arcsinx~x,ln(1x)~x,x12e1~x,1cosx—x。

□ 0时，sinD~D ,其余类似2对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当四、两个重要极限sinx重要极限Ilims-1x0xsin它可以用下面更直观的构造式表不：lims1口0□x1重要极限IIlim1—ex其构造可以表示为：lim1八、洛必达(L'Hospital)法那么a g (x)型不定式，存在有lim1(x2xag(x)一元函数微分学、导数的定义设函数y f (x)在点小的某一邻域有定义，当自变量x在x0处取得增量 x〔点x0 x仍在该邻域〕时，相应地函数y取得增量 y f (x0 x) f(x0)如果当x 0时，函数的增量 y与自变量 x的增量之比的极限.. y .. f (x0 x) f(x0)lim = lim 0 ^~°a = f (x0)x 0 x x 0 x注意两个符号 x和%在题目中可能换成其他的符号表示求导公式1、根本初等函数的导数公式〔4〕〔5〕〔6〕〔8〕(C)(x )(ax)0(C为常数)1x 〔 为任息常数〕axlna (a 0,a 1) 特殊情况(10g a X)1logae x(sin x)(cos x)(tan x)(cot x)cosxsin x12cos x12- sin x(arcsinx)_1_1 x2(1x1)〔10〕(arccosx)--(1x1) x(ex) ex0,a 1),1 (In x)x〔11〕(arctan x)1 x21〔12〕(arccotx)21x2、导数的四那么运算公式〔1〕[u(x)v(x)]u(x)v(x)〔2〕[u(x)v(x)]u(x)v(x)u(x)v(x)〔3〕[ku]ku〔k为常数〕〔4〕u(x)u(x)v(x)u(x)v(x)v(x)v2(x)3、复合函数求导公式：设yf(u),u(x),且f(u)及(x)都可导，那么复合函数yf[(x)]的导数为dydydu'———f(u).(x)odxdudx三、导数的应用1、函数的单调性-'■•_,_f(x)0那么f(x)在(a,b)严格单调增加。

'■•_,_f(x)0那么f(x)在(a,b)严格单调减少2、函数的极值,.....f(x)0的点一一函数f(x)的驻点设为Xo〔1〕假设xXo时，f(X)0；xXo时，f(x)0,那么f(x0)为f(x)的极大值点〔2〕假设xx0时，f(x)0；xx0时，f(x)0,那么f(x0)为f(x)的极小值点〔3〕如果f'(x)在Xo的两侧的符号一样，那么f(Xo)不是极值点3、曲线的凹凸性一''f(x)0,那么曲线yf(x)在(a,b)是凹的f(x)0,那么曲线yf(x)在(a,b)是凸的4、曲线的拐点〔1〕当f(x)在Xo的左、右两侧异号时，点(Xo,f(Xo))为曲线yf(x)的拐点，此时f(x0)0.''〔2〕当f(x)在Xo的左、右两侧同号时，点(Xo,f(Xo))不为曲线yf(x)的拐点5、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值四、微分公式_'dyf(x)dx,求微分就是求导数一元函数积分学、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式公式可以用求导公式来记忆2、不定积分的性质----'..._-.._-...〔1〕[f(x)dx]f(x)^df(x)dxf(x)dx，、—,.———〔2〕F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C〔3〕[f(x)(x)(x)]dxf(x)dx(x)(x)dx。

〔4〕kf(x)dxkf(x)dx〔k为常数且k0〕2、根本积分公式〔要求熟练记忆〕〔1〕0dxC1〔2〕xdxxC(a1).a1-1.-〔3〕-dxInxC.x一x1x一〔4〕adxaC(a0,a1)Ina〔5〕exdxexC〔6〕sinxdxcosxC〔7〕cosxdxsinxC-1〔8〕2—dxtanxC.cosx-1〔9〕——;2-dxcotxC.sinx1〔10〕,dxarcsinxC.,1x21〔11〕——^dxarctanxC.1x23、第一类换元积分法对不定彳^分g(x)dx,将被积表达式g(x)dx凑成.一____._'.__.....g(x)dxf[(x)](x)dxf(x)d(x),这是关键的一步常用的凑微分的公式有:.1f(axk b) xkf(axb)dxf(axb)d(axb)adx—f(axkb)d(axkb)ka〔4〕〔5〕-1.f(.x)一dxf(1)口dxxx2f..xd.x11f()dxxf(ex)exdxf(ex)d(ex)〔6〕-1f(lnx)dxf(lnx)d(lnx)xf(sinx)cosxdxf(sinx)d(sinx)〔8〕f(cosx)sinxdxf(cosx)d(cosx)〔10〕〔11〕〔12〕〔13〕f(tanx)f(cotx)12-cosx1dx..2sinxdxf(tanx)d(tanx)f(cotx)d(cotx)f(arcsinx)f(arccosx)f(arctanx)」—dx1x2t1dx1x2—2dxxf(arcsinx)d(arcsinx)f(arccosx)d(arccosx)f(arctanx)d(arctanx)3dxd(ln(x)(x))((x)0)4、分部积分法udvuvvdu、定积分公式1、〔牛顿一莱布尼茨公式〕如果F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］上的任意一个原函数，那么有bf(x)dxF(b)F(a)。

a2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线yig(x),y2f(x)及两条直线Xia和x2b所是下面的曲线,y2是上面的曲线〕,那么其面积可由下bSa[f(x)ag(x)]dx.yoy——g(x)围成的式求出:〔其中Vi3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线yf(x)(f(x)0)和直线xa,xb(ab)x轴所围平面图形绕可由下式求出：x轴旋转一周所形成的旋转体，如下图yf(x)那么该旋转体的体积bVxa一2f(x)dx一2f(x)dx.yx+dx多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数2、全微分公式：dzdf(x,y)AxBy3、复合函数的偏导数一一利用函数构造图如果u(x,y)、v(x,y)在点(x,y)处存在连续的偏导数—ux处，函数zf(u,v)存在连续的偏导数的连续偏导数，且zzuzvzzu-,xuxvxyuy4、隐函数的导数对于方程F(x,y)0所确定的隐函数yf(x),可以由以下公式求出f[(x,y),—v,且在对应于(x,y)的点(u,v)y(x,y)］在点(x,y)处存在对x及yy对x的导数y:。