2011年中考数学圆的有关概念和性质.doc

圆的有关概念和性质知识考点：1、理解圆的定义，掌握点与圆的位置关系；2、理解弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、弓形、圆心角、圆周角等与圆有关的概念；3、掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，并会运用这些关系解决一些几何证明题和计算题精典例题：【例 1】在平面直角坐标系内，以原点 O 为圆心，5 为半径作⊙O ，已知 A、B 、C 三点的坐标分别为 A（3，4），B（－3 ，－3），C（4， ）试判断 A、B 、C 三点与⊙O 的位置关系10分析：要判断点与圆的位置关系就是要比较点到圆心的距离与半径的大小关系解：∵OA＝ 5432OA)(26102C∴点 A 在⊙O 上，点 B 在⊙O 内，点 C 在⊙O 外例 2】如图，△ABC 中，∠A＝70 0，⊙O 截△ABC 的三条边所截得的弦长都相等，则∠BOC＝ 分析：由于⊙O 截△ABC 的三条边所截得的弦长都相等，则点 O 到三边的距离也相等，即 O 是△ABC 角平分线的交点，问题就容易解决了解：作 OD⊥BC 于 D，OE⊥ AC 于 E，OF⊥AB 于 F，则 OD＝OE＝OF∴O 为△ABC 角平分线的交点∵∠A＝70 0∴∠ABC＋∠ACB ＝110 0∴∠OBC＋∠OCB ＝ ×1100＝55 021∴∠BOC＝180 0－55 0＝125 0【例 3】如图 1，在⊙O 中， AB＝2CD，那么（ ）A、 B、CDB2CDA2C、 D、 与 的大小关系不能确定分析：如图 1，把 作出来，变成一段弧，然后比较 与 的大小。

 AB解：如图 1，作 ，则CE2∵在△CDE 中，CD＋DE＞CE∴2CD＞CE∵AB＝2CD∴AB＞CE∴ ，即CEABD2例 2图 OF EDCBA例 3图 1 OEDCBA变 式 图 OEDCBAyx问 题 图 OCBA M变式：如图，在⊙O 中， ，问 AB 与 2CD 的大小关系？AB2略解：取 的中点 E，则C∴AB＝BE＝CD∵在△AEB 中，AE＋ BE＞AB∴2CD＞AB，即 AB＜2CD探索与创新：【问题】已知点 M（ ， ）在抛物线 上，若以 M 为圆心的圆与 轴有两个交点 A、B，且 A、B 两pq12xyx点的横坐标是关于 的方程 的两根（如上图）x02x（1）当 M 在抛物线上运动时，⊙M 在 轴上截得的弦长是否变化？为什么？（2）若⊙M 与 轴的两个交点和抛物线的顶点 C 构成一个等腰三角形，试求 、 的值pq分析：（1）设 A、B 两点的横坐标分别是 、 ，由根与系数的关系知 ， ，那么：1x2 x21qx21，又因为 M 在抛物线 上，所以qpxxAB 21212 4)()( y故 AB＝2，即⊙M 在 轴上截得的弦长不变。

pq（2）C（0，－1）， ，2xBC12xA①当 AC＝BC，即 时， ， ；210pq②当 AC＝AB 时， ， ， ， 或 ，4x31x332q1p32q③当 BC＝AB 时， ， ， 或 ，2 跟踪训练：一、选择题：1、两个圆的圆心都是 O，半径分别为 、 ，且 ＜OA＜ ，那么点 A 在（ ）1r21r2A、⊙ 内 B、⊙ 外 C、⊙ 外，⊙ 内 D、⊙ 内，⊙ 外1r2 1r22、一个点到圆的最小距离为 4cm，最大距离为 9cm，则该圆的半径是（ ）A、2.5 cm 或 6.5 cm B、2.5 cm C、6.5 cm D、5 cm 或 13cm3、三角形的外心恰在它的一条边上，那么这个三角形是（ ）A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不能确定4、如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆， 自上半圆上一点 C 作弦第 4题 图 PODCBACD⊥AB，∠OCD 的平分线交⊙O 于点 P，当点 C 在上半圆（不包括 A、B 两点）上移动时，点 P（ ）A、到 CD 的距离保持不变 B、位置不变C、等分 D、随 C 点移动而移动DB二、填空题：1、若 为⊙O 的直径， 为 ⊙O 的一条弦长，则 与 的大小关系是 。

dmdm2、△ABC 的三边分别为 5 cm、12 cm、13 cm，则△ABC 的外心和垂心的距离是 3、如图，⊙O 中两弦 AB＞CD，AB、CD 相交于 E，ON ⊥CD 于 N，OM⊥AB 于 M，连结 OM、ON、MN，则∠MNE 与∠NME 的大小关系是∠MNE ∠NME第 3题 图 NMOEDC BA第 4题 图 FOE DCBA4、如图，⊙O 中，半径 CO 垂直于直径 AB，D 为 OC 的中点，过 D 作弦 EF∥AB，则∠CBE＝ 5、在半径为 1 的⊙O 中，弦 AB、AC 的长分别为 和 ，则∠BAC 的度数为 23三、计算或证明：1、如图， 的度数为 900，点 C 和点 D 将 三等分，半径 OC、OD 分别和弦 AB 交于 E、F求证：ABABAE＝CD＝FB 第 1题 图 FOEDCBA第 2题 图 QPODCBA第 3题 图 MODCBA2、如图，在⊙O 中，两弦 AB 与 CD 的中点分别是 P、Q，且 ，连结 PQ，求证：∠APQ＝∠CQPCAB3、如图，在⊙O 中，两弦 AC、BD 垂直相交于 M，若 AB＝6，CD＝8，求⊙O 的半径。

4、如图，已知 A、B、C、D 四点顺次在⊙O 上，且 ，BM⊥AC 于 M，求证：AM＝DC＋CMD第 4题 图 MODCBA跟踪训练参考答案一、选择题：CABB二、填空题：1、 ≥ ；2、6.5cm；3、＞；4、30 0；5、15 0 或 750dm三、计算或证明：1、提示：连结 AC、BD，先证 AC＝CD＝BD，再利用角证 AC＝AE，BD＝DF 即可；2、提示：连结 OP、OQ∵P、Q 是 AB、CD 的中点，∴OP⊥AB，OQ⊥CD∵ ，∴OP＝OQCDAB∴∠OPQ ＝ ∠OQP ，∴∠ APQ＝∠CQP3、提示：连结 CO 并延长交⊙O 于 E，连结 ED、AE，设⊙O 的半径为 R，则∠EDC＝∠EAC＝90 0，∴∵AC⊥BD，∴AE ∥BD，∴ ，∴AB＝ED，∴ ，而224RE EDAB224RCDABAB＝6， CD＝ 8，∴R ＝54、提示：延长 DC 至 N，使 CN＝CM，连结 NB，则∠BCN＝∠BAD＝∠BDA＝∠BCA，可证得△BCN≌△BCM， Rt△BAM ≌Rt △BDN。