《量子力学》课程19.ppt

量子力学主讲教师:冉扬强量子力学课程十九量子力学 第七章 自旋与全同粒子 §7.2 电子的自旋算符和自旋函数 五、自旋函数及其矩阵表示 §7.4 两个角动量的藕合 一、总角动量 二、 的共同本征态 §7.5 光谱的精细结构量子力学§7.2 电子的自旋算符和自旋函数 五、自旋函数及其矩阵表示1、自旋态的描述由于电子具有自旋，要描述电子，除空 间三个自由度以外，还必须引入自旋这个自 由度，相应的描述电子状态的波函数中还应 包含自旋变量通常取自旋在某一方向（ 轴）的投影 作自旋变量，由于 只能取 两个分立值，因此电子波函数可以用二分量 波函数表示，量子力学称为旋量波函数，其物理意义如下：表示电子自旋向上（ ），在 时刻空间 处的几率密度， 表示 电子自旋向下（ ），在 时刻空间 处的几率密度归一化条件为： （对空间积 分对自旋求和）： 量子力学力学量 在 表象的矩阵为的平均值为2、自旋函数当电子的自旋和轨道运动相互作用小到可 以忽略时，电子的自旋状态不影响轨道运动， 这时可把旋量波函数 写成量子力学是描述电子自旋状态的函数，叫自旋 函数。

它的变量 可取 和 这两个值 描述自旋 取值为 的自旋函数用 表示；描述自旋 取值为 的自旋函数 用 表示自旋算符只对波函数中的自 旋函数 有作用自旋函数 与 是 的本征函数，其对应的的本征值分别为 和 ，即这两个函数是彼此正交的量子力学3、自旋函数的矩阵形式在 表象中， 、 的矩阵 表示为：量子力学§7.4 两个角动量的藕合前面我们分别讨论了粒子具有轨道角动 量或自旋角动量在同一原子内，电子既 有自旋角动量，也有轨道角动量，因此还 需讨论既有自旋角动量，又有轨道角动量 的情况，换句话说，需要讨论轨道角动量 和自旋角动量的藕合问题下面我们以轨 道角动量和自旋角动量的藕合为例，讨论 两个角动量的藕合 一、总角动量设 分别表示轨道角动量和自旋角动量子力学量算符，它们满足对易关系属于不同自由度，彼此对易，即以 表示 的和称为体系的总角动量，它满足角动量的 一般对易关系其分量形式为角动量平方 与 的对易关系为由于量子力学所以注意： 与 都不对易。

二、 的共同本征态由于所以 有共同本征函数在表象中，设 的共同本征函数为1、由于 为 的本征态， 为量子力学常数），所以即 都是 的本征态，而且对应的本征 值相同 2、由于 为 的本征态，即 是 的本征态，相应的本征值相差 综合1、2，量子力学3、 为 的本征态在 表象可求得本征值 和归一化波函数对于 量子力学共 个值对于共 个值总结起来， 的共同本征态可记为对应的本征值为对于量子力学对于量子力学 §7.5 光谱的精细结构光谱的精细结构与自旋轨道藕合有关下 面讨论在无外场时，电子自旋对类氢原子的能 级和谱线的影响对于类氢原子，如果不考虑电子自旋与轨 道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿为若不考虑核外电子对核的屏蔽，则根据前面的讨论，若不考虑电子的自旋，电子 的能量只与 有关，能量为 度简并，现在把 电子的自旋加进去（不考虑电子自旋与轨道量子力学相互作用），自旋 可取两个值，因此能量度简并。

现在把电子自旋与轨道相互作用的 能量加进去，则哈密顿为式中 表示自旋与轨道相互作用的能量根据上面的讨论，能量本征态可选为的共同本征态，即令其中 为 的共同本征态由于量子力学所以所以在电子的径向方程有一项能量应与 有关即当 给定后即具有相同的量子数 的能级有两个，但 由于自旋轨道藕合很小，这两个能级差别很 小，很靠近，这就是产生光谱精细结构的原 因例如，对于氢原子可计算出量子力学其中 为精细结构常数 。